Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
§ 2. Учет квантовых флуктуаций. Флуктуационно-диссипационная теорема. Обобщенная теорема Найквиста
Если случайные возмущения каких-либо параметров системы коррелированы во времени, то можно ввести так называемую функ
цию корреляции |
__________ |
|
|
ф(т) = x(t) x ( t -\-х), |
(2.13) |
с помощью которой могут быть определены Фурье-компоненты x^ ве
личины |
X2. |
соотношения |
|
|
Используя известные |
|
|||
|
|
оо |
|
|
|
ха = (2JT)_1 ^ x(t) exp [/со/] dt, |
(2.14) |
||
|
|
— со |
|
|
|
со |
|
|
|
|
X (t) — j |
ха exp [— tcotf] da, |
(2.15) |
|
получим |
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
ер (т) = |
j'j хшха' ехр [і (соt + со' (t + |
т)1 dadco' = |
|
|
|
— ОО |
|
со |
|
|
|
= |
J (х)ш ехр [ — шт] dco |
(2.16) |
и для |
обратного преобразования |
— оо |
|
|
|
|
|||
|
|
оо |
|
|
|
(х)а = (2я)_1 J ф (т) ехр [('сот] dt. |
(2.17) |
||
|
|
—-оо |
|
|
При замене величин х их |
операторами х получим квантовые обоб |
|||
щения этих соотношений. Учитывая, что операторы х (f) vCx (t + -t) не коммутируют друг с другом, получим следующее выражение для функции ф (т) [3—5]:
Ф(т) = -і- [X(t) X (t + х) + X (t + т) X (tf)l; |
(2.18) |
(x)l 8 (со + сй')=-^- (ха Ха' + х Ш'Ха). |
(2.19) |
Найдем связь между функцией (х)2м и средней диссипацией энер
гии в единицу времени Е = (со/2) к" \F0 12 (здесь и" |
— мнимая |
||
часть функции к = к' |
+' і к" , связывающей «возмущающую» силу |
||
F |
' со «смещением» |
% — ѵ!' (®)F = % (со)х/2 (F„ехр |
[—tcof\ + |
+ |
Е* ехр [ісоП) для случая, когда на систему действует внешнее |
||
периодическое возмущение вида |
|
||
|
V = — F x ~ — ^-(/^ехр [ — Ш] + Ejexp [ш^])х). |
(2,20) |
|
53
Поскольку вероятность перехода из состояния п в состояние т под действием периодического возмущения определяется формулой
Рп т = я N 2 (2А2)“ 1 K J 2 {б (со + сотп) + S (со + еопт)}, (2.21)
то поглощаемая (а следовательно, и диссипируемая) системой энер гия будет равна
£ = |
2 |
Рпт^тп = ПІ^ОІ2 (2Щ-1 |
т,2 |
п |
К ,,,]2 {б (со + |
<Вдт) - |
( 2. 22) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— б (со + сотп)}, |
||
т. е. с учетом |
соотношения |
É = т |
и" |
|.F0 |2, получим |
|
|||||||
|
х"(со) = я(Гг)-1 2 |
Kml2 {б (со + |
<опт) - |
б (со + сопш)}. |
(2.23) |
|||||||
Усреднение с |
использованием |
|
распределения |
Гиббса |
= |
|||||||
=ехр = |
[—(F — En)/kT] |
величины |
|
и" (со) дает |
|
|||||||
к" |
(©) = я (h)'1(1 — exp |
|
ha |
|
|
|
exp |
|
l^nml 6 (СО-f-C0nm), |
|||
|
W |
|
|
|
kT |
|||||||
|
|
|
|
|
m, n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.24) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где F — свободная энергия системы. |
|
|
|
|
||||||||
|
Поскольку величина (х)ю может быть представлена в виде |
|||||||||||
|
|
(x)l = ~Y 2 |
l^ml2 [б (со + |
C0nm) + |
б (со + |
C0m„)]t |
(2.25) |
|||||
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
то ее усреднение приводит к следующему выражению:
(х)! = -^-11 + ехр |
Йсо |
F — E |
*]\х« |
!б(со + сonm) = |
' W |
2 ехР kT |
= (2«)-iÄxwc t h ( Ä . (2.26)
Эта формула, которая носит название флуктуационно-диссипа- ционной теоремы Каллена и Вельтона, в частном случае, для флук туации мощности, дает
/ |
^ = (2n)-1rj©Kct/i |
(äf)A < o = |
|
|
|
|
|||
|
|
:(я)-і |
Гшк |
, |
|
lh(üK |
Асо. |
(2.27) |
|
|
|
|
|
2 |
“г |
ехр (Йсок/кТ) — 1 |
|
|
|
Это — обобщенная формула |
Найквиста, |
которая |
позволяет рас |
||||||
считывать флуктуации |
в |
термодинамически равновесной |
системе |
||||||
с |
дискретными уровнями |
энергии |
Ек = |
Ьсщ.. |
|
|
|||
Так, например, по ней можно оценить величину предельно обнаружимых сигналов, которые может зарегистрировать квантовый усилитель с оптической накачкой или параметрический усилитель.
54
(Для механических’ измерительных систем квантовые ограничения чувствительности подробно рассмотрены в [6].)
Поскольку для оптических частот Гмвк ^ ІгТ, то формула (2.27) преобразуется к виду
/ І |
^ = (п)-1 Й(0 4- ІгТ А©. |
(2.28) |
Вернемся теперь |
снова к классической формуле |
Найквиста. |
Легко видеть, что при Д-э-оо величины U-N и W2N также неограни
ченно растут. Этот парадокс, однако, возникает вследствие неучета токов утечки за счет паразитных реактивных элементов (в частности, емкостей).
В случае, когда в цепи, кроме активных сопротивлений, имеют ся еще реактивные элементы (емкость и индуктивность), уровень шума цепи не увеличивается, поскольку ни идеальная емкость, ни идеальная индуктивность не рассеивают необратимым образом энер
гию. Однако формулы для U~N и WN применительно к цепям с индуктивностью и емкостью буДут отличаться от соответствующих
выражений (2.6) |
и (2.4), поскольку реактивные сопротивления zL |
и zc зависят от |
частоты. |
Для случая последовательно соединенных L и С, нагруженных на активное сопротивление R, величина UNcна емкости при резонан
се будет |
равна |
|
|
|
|
|
UN = |
(4kTzRAf)lh = |
, |
(2.29) |
|
где |
гд = (©2С2^2)- і |
|
|
(2.30) |
|
|
|
|
|||
При параллельном включении R и С величина Ö2, |
определяется |
||||
формулой |
[7, 8]: |
|
|
|
|
|
Ъ І |
- і к Т к ' І |
J |
. |
(2.31) |
|
|
h |
|
|
|
Следует отметить, что в некоторых типах сопротивлений (на пример, в угольных сопротивлениях) помимо теплового шума имеет место так называемый избыточный шум, который возникает при про пускании тока через это сопротивление, причем мощность этого шу ма-, особенно в области низких частот, может превышать мощность теплового шума, рассчитанного по формуле Найквиста.
Формула для мощности токового шума в случае "угольных со противлений имеет вид [7]:
|
" > * = /&Д = |
, |
(2.32) |
|
Г |
|
|
где |
k x — коэффициент пропорциональности, зависящий |
от мате |
|
риала проводника, степени его чистоты, |
структуры и обработки; |
||
А. ~ |
2; р, ~ 1; / — величина тока через |
сопротивление. |
|
55
Что касается проволочных сопротивлений, то в них избыточный токовый шум отсутствует.
В дальнейшем, при рассмотрении шумов в полупроводниковых приборах, мы более подробно остановимся на этом.
§ 3. Нетепловые шумы. Эквивалентная температура нетепловых шумов
В подавляющем большинстве случаев предельная чувствитель ность экспериментальных приборов и установок ограничивается не тепловым, а каким-либо другим источником шума. Например, при гравитационных измерениях наибольшие помехи вносят вибра ции, сейсмические колебания и т. д., которые, вообще говоря, так же могут быть формально охарактеризованы величиной эквивалент ной шумовой температуры. Так, если имеется только один тип коле бания с энергией Е — tx2/2 (t — жесткость, х — амплитуда коле бания), то величина Та определяется следующим образом. Введем шум-фактор F* = WBJ k T 0Д/, где Т 0— температура окружающей среды, и определим величину Т3 как
|
|
TB= (F * -l)T o . |
|
(2.33) |
Тогда |
при F* )§> 1 получим |
|
|
|
|
г . - Т, (F' - |
1) - Г, |
l) Ä ■Z f - - 4 |
(2.34) |
(здесь |
k — постоянная |
Больцмана). |
|
|
Оценим величину эквивалентной температуры лабораторного
стола |
массы |
пг — 25 кг, |
который |
«вибрирует» с частотой со = |
|
= ІО2 |
радіо и |
амплитудой |
х 0 = |
ІО-8 см. |
|
Поскольку 0,5 £х2 = 0,5 mco2x2 |
= |
1,25 • 10“ 8 эрг, то Тэ ~ ІО8 ° К |
|||
и если частота таких колебаний окажется в пределах полосы изме рений А/ прибора, то предельная чувствительность измерительной системы будет определяться в основном именно такой высокой экви валентной температурой. Отсюда следует, что необходима эффектив ная «развязка» прибора от лабораторного стола. Одним из способов «развязки» является установка прибора на «антисейсмическую» платформу — массивную плиту на мягких амортизаторах, обеспе чивающих возможно большее разнесение частот собственных коле баний стола и платформы. Уменьшение шумов в этом случае будет пропорционально квадрату отношения частот (/0//і)2 стола и ос нования.
Г л а в а 2
ШУМЫ В ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ ПРИБОРАХ
§1. Флуктуационные шумы
вэлектронных приборах
Рассмотрим шумы в электронных лампах. Известны следующие типы шумов электронных ламп: дробовой шум, эффект мерцания или «фликкер-эффект», шум токораспределения в многоэлектродных лам пах, микрофонный шум, ионизационный шум.
Дробовой шум для диодов и триодов возникает как из-за дис кретной структуры электронного потока, так и вследствие статис тического характера эмиссии потока электронов из катода.
В случае диода имеются, как известно, три области вольт-ампер ной характеристики: это-— область насыщения, область простран ственного заряда и область отрицательного напряжения.
Врежиме насыщения анодный ток зависит только от типа катода
иего температуры и не зависит от анодного напряжения.
Среднее значение тока I {t) через диод определяется выражением
TJt)=nqo] I{t)dt, |
(2.35) |
—со |
|
где tiqQ— среднее число электронов, достигающих анода за еди
ницу |
времени; |
/ (t) — так называемый мгновенный ток, |
равный |
|||
|
I (t) = |
|
00 |
G (со) exp [jat] da, |
|
|
|
(2зт)-1/2 |
j |
(2.36) |
|||
|
|
|
— со |
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
|
|
G (со) = |
(2я)_,/г ^ |
I' t exp [ — jat] bt. |
(2.37) |
||
|
|
|
|
|
о |
|
Здесь |
<7о — заряд электрона; |
т — время пролета электрона от ка |
||||
тода |
к аноду. |
функции I (t) |
можно найти среднеквадратическое |
|||
С |
помощью |
|||||
значение флуктуационного тока через диод (а следовательно, и че рез включенное последовательно с ним анодное сопротивление R L)-
[ І - Щ |
] 2 = пЧа J P ( t ) d t = ^f]G(w)G*(<o)da,2 |
(2.38) |
|
где |
--- CO |
0 |
|
G* (со) G* (со) = |
(я Ѳ4)-1 -2<7о [Ѳ2 + 2 (1 - |
cos 0 - 0 sin Ѳ)]; |
(2.39) |
Ѳ = сот— угол |
пролета. |
|
|
67
