Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

числом испытаний, если вероятность рп данного события для всех, испытаний данной серии одинакова, но с увеличением а стремится к нулю, причем произведение

Данное определение можно сформулировать и несколько иначе.

Пусть вероятность появления некоторого события в интервале (пространства, времени ит. д.) длиной Ах пропорциональна длине интервала Ах, т. е. рп = рДли Тогда вероятность появления т независимых событий в интервале х есть

причем здесь Я = рх4. Для распределения Пуассона среднее зна­

чение т = X = о- = Я. Данное распределение, в отличие от нормального распределения Гаусса, является несимметричным (см. рис. 6). Кривые распределения ртимеют максимум вблизи сред­

него значения т = Я, где они могут быть приближенію аппроксгг . мированы симметричным нормальным распределением Гаусса. Осо­ бенно широкое применение распределение Пуассона имеет в ядерной физике. Проиллюстрируем это несколькими примерами.

Пусть измеряется интенсивность излучения какого-либо источ­ ника (радиоактивного вещества, космических лучей и т. д.).

При многократном повторении числа замеров импульсов счет­ чика среднее число т импульсов т равно

Уі nil

Поскольку для распределения Пуассона а = -j/~ и а =

то средняя ошибка при измерении т равна

Полагая здесь в = 0,01, находим, что для получения данной погреш­ ности надо зарегистрировать п-т = 104 импульсов.

Влияние фона при измерениях учитывается следующим образом.

4 Если вероятность наступления какого-либо события связана СО временем tt причем значение этой вероятности пропорционально'^, а отдельные события не­ зависимы, то формула Пуассона имеет вид

где Рт (/)—вероятность наступления т событий за время і\ Я — вероятность появления одного события в единицу времени (среднее число событий в единицу времени).

39

Число импульсов, регистрируемых счетчиком за время t, с уче­ том фона, обозначим через N lt причем

Поскольку, как было показано выше, средняя ошибка при из­ мерении числа импульсов N равна -j/дг, то флуктуации суммарного

отсчета и фона в единицу времени равны соответственно

Здесь ѵ0 и ѵх — ошибки замеров фона и суммарного сигнала.

Минимальное число импульсов, которое необходимо зарегист­ рировать для получения заранее выбранной точности, может быть найдено следующим образом: если полезный сигнал в q раз больше среднего фона N „, то для выполнения отношения 6ѵ/6ѵ0 = q не­ обходимо зарегистрировать (q У 1)N 0 импульсов. При этом наи­ более вероятная ошибка, определяемая как 0,67, имеет такое же значение, как и ошибка замера фона 8ѵ0, умноженная на q.

Можно написать:

где t — полное время, в течение которого измеряется фон и полез­ ный сигнал.

Для того, чтобы величина бѵ/ѵ была минимальной (при заданном общем времени измерения t), необходимо, чтобы было выполнено условие

УѴ<о + Ѵ У > і) Vl — Vp

Дифференцируя, находим соотношение между tt и t0, при котором величина бѵ/ѵ минимальна:

к к___ ^ к Уѵ7 ~ У Ѵ ~ 1/ѵГ '

Выразив t-± через t 0 по формуле

tx - to Y ^ ,

40

Получим

t —/о "I" t\ —tü у ч _-|- /о --= t$ V VI '+V vp

В этом случае величина öv/v = (Sv/v)mln будет равна

/ бѵ \ ___________ I___________

l~jraln = (У У - У У ) У ^ '

Если погрешность измерения задана заранее, то необходимое время измерения равно

Рассмотрим теперь доверительные границы и критерий значи­ мости для распределения Пуассона.

Пусть имеется выборка объема п, для которой число интересую­ щих нас событий равно х 0 (п). Тогда для всей генеральной совокуп­ ности испытания при п-э-оо можно написать

где £ — генеральное среднее для всей совокупности испытаний. Величины I (х0) и 1 (х0) могут быть найдены по формулам:

Примером использования соотношения (1.92) является следую­ щая задача.

Пусть имеется счетчик фотонов, с помощью которого фиксиру­ ются импульсы от космических лучей, причем число импульсов в единицу времени незначительно. Если при работе счетчика в тече­ ние времени t 0 им было отмечено N 0 (t0) импульсов, то с помощью формулы (1.82) можно оценить, какое в среднем число импульсов.

41

было бы нм зарегистрировано за такой же промежуток времени, если полное время наблюдения оо (при условии, что средняя интен­ сивность излучения и эффективность счетчика не зависят от вре­ мени).

Полагая, например, t 0 — 1 мин, N a (t n) = 3, находим / = 2(3 + 1) = 8.

Для достоверности результата, равной 0,99 при / = 8, имеем

Х і - 0 , 9 9 = 2 0 , 1 .

Таким образом, верхняя граница для £ равна:

¥ =0,5xf-o,99 = Ю,05.

Можно сказать, следовательно, что при весьма большом времени измерения (f-мэо) в течение произвольно выбранного интервала дли­ тельностью /0 только 1% из фактического результата может превы­

шать предсказанное значение I = 10,05.

Если бы в течение того же времени измерения t 0 счетчик не за­

Перейдем к критерию сравнения данного распределения с рас­ пределением Пуассона.

Как было отмечено выше, для распределения Пуассона генераль­ ное среднее значение £ равно дисперсии о2. Поэтому путем сравне­ ния оценок для £ и а2, найденных по данной выборке {х;}, можно судить о том, принадлежит ли данная выборка к генеральной сово­ купности, распределенной по закону Пуассона.

то с достоверностью (1 — Р) можно считать, что данная выборка не относится к генеральной совокупности, распределенной по закону Пуассона.

42