Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

Скачать файл (12,09Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 11.04.2024

Просмотров: 95

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Приведем пример применения соотношения (1.94). При регистра ции числа 7-квантов сцннтилляционным счетчиком результаты из мерений для различных энергий Дг оказались равными:

Мэв		0,01	1	2	3	4	5	6
Щ (£,•)		880	165	84	42	4	3	0
	’Ч(Еі)		0,140	0,072	0,036	0,003	0,002	0
Р і ~	"ѵ	0,75	0,140	0,072	0,036	0,003	0,002	0
Р і ~	"ѵ
Величина	х =	т определяется следующим образом:
		_	k
		X =	EjPi = 0,415.
		i=i
Для оценки		а 2 можно	написать

=(x— EiPi)2= Q,U7.

£=1 Следовательно, мы имеем

4 -= 0 ,3 5 4 .

X
Для нахождения квантили	при f = п — 1 = 1177 воспользу

емся тем обстоятельством, что при достаточно больших п величина

•j/2%2 распределена приближенно			нормально, причем в соответст
вии с (1.48) можно написать
	Хо.оі =	*(l — - ^	+ «0,99 V ж ]		'
Подставляя	значения	і і — 1178 и		ц0і99=2,33	(из таблицы для
Ф (и) при и =	и п.оэ), находим
	Хо.оі = \ м		=	1296.
Поскольку
	-£ -= 0,354			1,1,
	X		I

то это означает, что наша гипотеза должна быть принята, т. е. рас пределение, к которому относится выборка, является распределе нием Пуассона.

Г л а в а 2

МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

§ 1. Принцип максимума правдоподобия. Метод наименьших квадратов

Рассматриваемый ниже принцип был впервые сформулирован Р. Фишером [12].

Данный принцип позволяет находить оценки для неизвестных параметров распределения (в частности, \ и а2), причем данные оцен ки обладают следующими весьма важными свойствами:

1. Оценки состоятельны, т. е. оценка а неизвестного параметра а стремится к а при увеличении числа испытаний:

2.Оценки асимптотически нормальны, т. е. разброс оценки а относительно а подчиняется нормальному распределению для п—>оо.

3.Оценки асимптотически эффективны, т. е. при любом другом

способе обработки данных всегда имеет место больший разброс:

cr2 = D (a ) < D * (а) = а * 2,

где D* — дисперсия для любых других способов обработки.

4. Оценки достаточны, т. е. они используют максимум инфор мации, содержащейся в обрабатываемых данных эксперимента. Принцип максимума правдоподобия формулируется следующим об разом.

Метод обработки результатов, который дает наибольшую (мак симальную) вероятность получения при измерениях фактически уже полученных данных, является наилучшим.

Если р (у, a) dy — вероятность определенного значения не прерывной случайной величины у с неизвестным параметром а, то

вероятность получения значений у г, у у	тможет быть	записана
в виде
dP = Ldyxdya. .. dyT — р (уха) р (у2а) ... р (yra) dyxdy2.. ,dyr		(1.95)
Функция
L (Уі, • • • > Ут) = Р (Уіѵ) Р (У&) ■■■ Р (Уга)-		(1-96)
называется функцией правдоподобия для	данной выборки объема г.

Заменяя величину а на ее оценку а таким образом, чтобы функ ция L имела максимум, можно написать дЫда = 0. Это — условие максимума функции L.

Используем в качестве функции L функцию нормального рас пределения

	П	( Х [ — Х)2
	І=1	( Х [ — Х)2
L(xit X, s2) = (2ns2) '/г exp	І=1	2s2	(1.97)
L(xit X, s2) = (2ns2) '/г exp			(1.97)

Вместо соотношения (dlda)L можно взять уравнение

•^ [ln L Q /;		а)]= 0 .	(1.98)
Подставляя сюда L при а =	х,	будем иметь
— p - S	(* ;-* } = 0,		(1.99)
і= і
т. е.
	i= 1		(1.100)
Если взять	i= 1
Если взять
J r [ ln L ] = 0,			(1.101)
то получим
sa= - ^ S		(х>~х)\	(1.102)
	г=і
Таким образом, оценки для \	и ст2 найдены нами с помощью прин
ципа максимума правдоподобия. Можно показать,			что максимум

функции правдоподобия при независимости вероятностей pt от па раметра а приводит к методу наименьших квадратов для отклоне ния чисел Х[ от их средних значений. Коэффициенты заданного аргіогі аналитического полинома, который соответствует наилуч шему сглаживанию экспериментальных точек при условии их слу чайного разброса и нормального распределения величин xt отно сительно \ (z;), могут быть полностью определены с помощью спо соба наименьших квадратов.

Будем предполагать, таким образом, что общий вид функцио нальной зависимости известен, т. е. можно заранее установить, должна ли данная функция быть линейной, квадратичной, показа тельной и т. д.

В общем случае задача решается следующим образом.

Если ошибки измерений подчиняются нормальному закону рас пределения

	ft ІУі) — (а і/'Л2зт)~1 exp	г — уМ ]-
	ft ІУі) — (а і/'Л2зт)~1 exp	2а2
		2а2

при ох = а 2 = ... = ак = er, где у = ср (х) — «истинная» функ циональная зависимость, то на основе выборки у ъ г/2,..., ук можно

подобрать такие значения ср (хх), ср (х2),...,	ср (хк), при которых ве
роятность для случайных величин у ъ у у	к попасть в интервал

(г/;, Уі + dtj) максимальна,		т. е.
f \| (ст\|/2я )_1 ехр	2 a2	Xi)r] dlJ =

— А ехр [ — 2^ö У] [Уі —Ф (х;)]2| = max, (1.103)

'1=1

где А — некоторый			постоянный			коэффициент.
Для	выполнения		этого	условия			необходимо,			очевидно,	чтобы
			1	[г/і-ф (х г)]2= тіп ,							(1.104)
			2^3 Е	[г/і-ф (х г)]2= тіп ,							(1.104)
			і—1				cp (xt).
откуда	и	определяются величины					cp (xt).
Для	функции вида				Ь,		с,
			У = Ц>(х\ а,		Ь,		с,	. ..)			(1.105)
неизвестные параметры могут быть найдены из условия
		П
		У, ІУі — ф {Xi', а,				Ь,	с , . . ,)]2 =ш іп.				(1.106)
		f= 1
Используя		соотношения
			[ і/і- ф (^ ;		а,	Ь,		с,	. . ,)]2 =	0,
			[г/і —ф(х;;		а,	Ь,		с,	. ..)]2 = 0,		(1.107)
			[г/і —ф(х;;		а,	Ь,		с,	. ..)]2 = 0,

получим п уравнении, позволяющих определить /г неизвестных па раметров а, b, с,...:

2 [^ г- ф ( х г; а, Ь, с, . . ,)]2 (^ - j = 0,

(1.108)

2 [Уі — ф(хг; а, Ь, с, - - -)]3 (§F ). = 0,

Рассмотрим два случая — линейной и квадратичной зависимости функции.

§ 2. Случай линейной функциональной зависимости

Для функции у = ах + b =		ф (х; а,	Ъ) будем иметь
да	*’	{ д а } ; - * 1'
É 2-- 1		Зср	(1.109)
		Зср
		дЬ)і =	1.
дЪ	1	дЬ)і =	1.
Следовательно, система	(1.108)	примет	вид

Е [Уі—(aXi + b)] xt = 0;

І — 1

E Il/г — (а*г + ö)] = 0.

г=і

Раскрывая скобки и деля оба уравнения на п, получим

п п п

S ХіУі				Е	А	Е		**
1=1				.1=1		и і=1		0;
	/г	а •						0;
	/г
		Е		уі		Е
		t=i			а £=1л			b = 0.
			/г		а £=1л			b = 0.
Вводя для статистических					моментов		обозначения:
	*	Е*і .				*	Еі/і .
				п		и	п
*.		E jc?			*	г	1	Е хіуі
«г [*] =		- —		;	a lfi [X,		у] = — -— ,
находим
		b = ггСу— ат*х;
а*. I	[*, У] —аа2 [х] — {гпу —шпх) гпх = 0,
откуда следует,	что
		«І.і		Іх,	у] —	тпхт у		К*ху
		а 2 [х] — (m*)2						Dx