Файл: Слабкий Л.И. Методы и приборы предельных измерений в экспериментальной физике.pdf

Отношение s2/s2равно 3,48, в то время как v2 (Д, f 2) = на0,05 (7; 6)= = 4,2. Таким образом, s2/s2< ѵ2 и число 18 не следует отбрасывать.

Помимо рассмотренного критерия Фишера для решения вопроса о том, является ли одно или несколько «подозрительных» измерений принадлежащим к общей совокупности {xj с генеральным средним £ или не является, могут быть использованы следующие статисти­ ческие критерии:

1) Для случая одного резко выделяющегося наблюдения грани­ цы значимости хМр для совокупности {х,,} при известных заранее

Для случая, когда а2 известна, а £ — неизвестна, доверительные

на практике), то в этом случае для определения доверительных гра­ ниц Х(„)р можно воспользоваться формулой

оценка s2 для er2 была заранее известна из других (например, более

ранних) измерений.

Если же величина s2 также неизвестна, то доверительные грани­

где gp-квантиль дается таблицей в [20].

2) Для случая двух резко выделяющихся в каждую сторону на­ блюдений, при известных а2 и оценке s2, значимость результата

может быть установлена на основе критерия

где V2 — квантиль, ѵг — распределения.

Преобразуя (1.66), получим

І = < * ( / х . / , ) . st

34

f

где /,— число степеней свободы для выборки с оценкой s2; f2— число степеней свободы для данной рассматриваемой выборки.

Критерий (1.66) сводится, таким образом, к рассмотренному вы­ ше критерию Фишера.

§ 7. ^-Распределение и критерий значимости Стьюдента. Мощность критерия

В большинстве физических измерений мы всегда имеем дело с некоторой выборкой значений хІУ х 2, ■■., хп, «взятых наудачу» из предполагаемой генеральной совокупности {xj с дисперсией а2 и генеральным средним |, к которой принадлежат наблюденные зна­ чения xlt х 2, . . ., хп.

При этом, как правило, нам не известны ни а2, ни |. Собственно говоря, задача заключается именно в нахождении величины |, точ­ нее, границ ее возможного отклонения. Предполагается, что зара­ нее нам не известно, является ли распределение (х£) нормальным или нет. Распределение Стьюдента (Госсета) применимо даже в том случае, если выборка взята из общей совокупности, для которой распределение может несколько отличаться от нормального.

Это — наиболее часто употребляемое в практике распределение,

Т а б л и ц а 4

П р и м е ч а н и е : *. выражено в долях интерференционной полосы; а* = 0,230, s = = 2,03. ІО"2-

Напомним, что при том же значении f «-критерий значимости дает

X — 1,96 у ш С Е С Х + 1 ,9 в ^ = ,

т. е. если бы величина а была нам известна заранее, то границы для

£ _Е

где X = -—т=- ■I и £ 0 — две гипотезы, которые необходимо разли- s/1/n

чить. Для п > 10 функция мощности ^-критерия практически не

36

отличается от функции мощности для «-критерия, для которого, как известно, при 1 — Р = 0,95 можно написать

Отклонение (или неотклонение) величины х 1 — х 2 от нуля может служить оценкой значимости данного предполагаемого расхожде­ ния (или совпадения).

Оценку s2 дисперсии о2 = о2 (хх — х 2) можно получить, учи­ тывая, что оценки S2 и s2 имеют «веса», равные соответственно /д =

= « 1 — 1 И /2 = п 2 — 1.

одной и той же генеральной совокупности с генеральным средним а2. Это можно установить, применяя дисперсионное отношение Фишера.

37

чимой, т. е. хг и л'3не относятся к одной общей совокупности с одним генеральным средним

§ 8. Распределение Пуассона и его применения

Можно показать, используя, например, локальную теорему Муавра — Лапласа, что нормальное распределение Гаусса

по сравнению с £. Однако в целом ряде задач бывает необходимо учи­ тывать значительные отклонения от среднего. Так, например, в случае броуновского движения при подсчете числа частиц в малом объеме 6У, видимом в поле зрения микроскопа, флуктуации числа частиц могут быть велики, т. е. отклонения от среднего являются значительными. В этом случае необходимо использовать не рас­ пределение Гаусса, а распределение Пуассона.

Рис. 6. Распределение Пуассона

Рт

Число событий, т

Другим примером применения распределения Пуассона может служить предельный случай независимых испытаний, проводимых сериями, причем і-я серия состоит из і независимых испытаний.

Распределение случайной величины х, определяемое выражением

называется распределением Пауссона. Величина рт есть вероятность появления т раз рассматриваемого события в серии с п оо

38