Файл: Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика.pdf

U

=

£/о + и = (Q0 +

(d0 + *)/(С0 dQ)

или

СГ0

+

и « і (і й С о ) - 1 +

(*70 /i © d„) v + г/0 ,

(3.17)

З д е с ь пренебрежено величинами

второго

порядка

малости

по

сравнению с q/Qo и x/cfo, а переменные

величины

в ы р а ж е н ы

через

скорость v и ток / вместо

х и V- Д л я

переменных

н а п р я ж е н и й

по­

лучим

и = {Uо/і со d0 ) ^ + (і © С 0 ) — 1 г.

(3.18)

Если переменное н а п р я ж е н и е и подается

к конденсатору

через

внешнее сопротивление Za, то в правой части

(3.18)

следует

учесть

падение

н а п р я ж е н и я на

нем zBi.

Обозначив

(mCQ)~l

= zo, получим:

и =

(Uо/і со dg) v -J- (z0

+

zH ) і.

(3.19)

и = M\V

(3.20)

+

z3i\

Здесь z3=z0+z„,

Mi =

U0(md0)-i.

В уравнениях

(3.20)

все знаки перед членами в правых частях

противления

получим

в ы р а ж е н и е :

г = гэ-МуЬ-

(3-21)

В

отличие

от (3.11) з н а к перед кинетическим

сопротивлением

здесь

отрицателен. Однако, если принять во внимание, что Mi —

число

мнимое,

то, введя М — t7o(cudo)_ 1 ,

мы снова

получим

форму ­

лу, полностью

с о в п а д а ю щ у ю с (3.11).

Т а к и м образом, если определить коэффициент

электромехани ­

ческой связи ка к абсолютную величину;

\Fli]u=o

=

\ Ф \ І = О

== М,

(3.22)

то формулы

д л я z и §

д л я обоих типов

преобразователей

(элект­

кую систему уравнений п р е о б р а з о в а т е л я —

(3.10) или (3.20)

— н а ­

д о принять в том или ином случае. Б о л е е

того, остается

неизвест­

ным, насколько общим может считаться соотношение (3.22)

и как

поступить в случае преобразователей других типов.

Ж е л а т е л ь н о , конечно, найти какие-то общие правила,

которые

лозволили бы в любом случае составить систему уравнений

преоб­

разователя, не о б р а щ а я с ь к длинным выводам и проверяя

себя с

О б щ а я

теория

обратимого электромеханического преобразова ­

теля м о ж е т

быть

построена на основании энергетических соотно­

соотношения определяются

функцией

Л а г р а н ж а ,

которая пред­

с т а в л я е т собой разность кинетической

и

потенциальной

энергии

системы. К а ж д а я степень

свободы характеризуется

обобщенными

скоростью и перемещением . Обобщенные

перемещения в

частном

энергии системы

будут квадратичными

функциями

обобщенных

скоростей

(х)

и перемещений

(х).

Кинетическая энергия одной изолированной 1-й степени

свободы

составит

1/2

/щх2.,

а потенциальной — 1/2 Stxf

,

где /я,- и

5,- — инер-

циальный

и позиционный коэффициенты

(масса и упругость)

дан­

ной степени свободы. Если система состоит из п связанных

м е ж д у

собой степеней свободы,

то д о б а в л я ю т с я

энергии связей:

инерци-

а л ь н ы х — 1 / 2

niikXiXh и

п о з и ц и о н н ы х — 1 / 2

SikXiXh-

К р о м е

этого, м о ж н о

представить себе,

что

среди квадратичных

форм д л я

энергии существуют и члены вида

\!2gihXiXhl

з а в и с я щ и е

от произведения перемещения в одной степени

свободы

на скорость

в другой . Это т а к

называемые

гироскопические члены.

Они

возни­

к а ю т при наличии в

р а щ а ю щ и х с я масс в механических системах или

магнитных полей —

в электрических.

Рмс. З.й. Иллюстрация

связи:

а — гуігцруїгой; б — м н е р ц и а л ы г о й ; в —

гараакатгичесжой

Инерциальные,

позиционные

и гироскопические связи м о ж н о

лярно

ей. Это т о ж е один из

видов систем с двумя степенями

сво­

боды.

Гироскопическая связь

в такой системе осуществляется,

ес­

ка в плоскости чертежа возникнет гироскопический эффект:

маят ­

ник станет двигаться т а к ж е и в плоскости, перпендикулярной

чер­

личества д в и ж е н и я J і такого, что в сумме

с моментом / отклонен­

ного маятника первоначально з а д а н н ы й

вдоль вертикали

момент

Jo сохраняется. Характерно, что в первых

двух случаях связи осу­

ществляются по общей линии движения, а в третьем — по

в з а и м н о

КИНеТИЧеСКуЮ ЭНерГИЮ СИСТемЫ К=

V V

(mihXiXh+gihXiXh)

и п'о-

2

ft I

і

пенсирующих моментов количества д в и ж е н и я и поворотов

маятни ­

ка

в его

двух

плоскостях

качания

вытекает,

что

коэффициенты

gik

и ghi

равны по

абсолютной

величине и противоположны

по зна­

ку-' gik=—gki-

В то ж е время

очевидно,

что если инерциальные и

позиционные

связи

отличны

от нуля,

то

суммы

коэффициентов

mik + гпы

и s^+Ski

д о л ж н ы

быть отличны

от нуля,

т а к

к а к

в

выра ­

ж е н и я х

д л я

К

и Т члены, вида

maXiXk

и тмХрХі

всегда

встречаются

в

паре

друг

с другом . Н о

тогда соответствующим

выбором

всегда

м о ж н о

сделать тш = Шм

и Sik = Shi. Эти свойства симметрии

коэф ­

фициентов ты

и Sih и антисимметрии gik

являются

основными д л я

теории

преобразователя . М о ж н о всегда

перенормировать величины

этих коэффициентов, чтобы не было необходимости

писать

м н о ж и ­

тель 1/2

перед двойными

суммами .

Тогда окончательно

функция

Л а г р а н ж а запишется так:

(я)

L

=

K —

T=Y£

(mtkxt

k

+ gikXtxk

-

saxixk).

(3.23)

Если в системе имеется

рассеяние энергии,

то д л я описания ее,

кроме функции L , следует

использовать еще

функцию рассеяния:

(л)

D = 2 £ r , ' * * £ X f e '

( 3 - 2 4 )

і k

равенства внешних сил силам реакции

со стороны системы.

Н а й д я

частные производные по координатам

xt от потенциальных

членов,

ния (d/dt)

импульсов

(т. е. частных

производных

инерциальных

членов по скоростям ХІ) с обратными

знаками, — реакции ускоре­

ния. Все эти действия

могут быть записаны с помощью одного

д и ф ­

ференциального

оператора

[d2,/(dtdxi)—d/dxi]L.

Полученная

система сил

реакций

д о л ж н а уравновешиваться

внешними

силами

Если в системе

имеется

рассеяние

энергии, то

частично внешние силы работают против сил, обусловленных

рас­

сеянием. Эти последние находят при

помощи

D дифференцирова ­

нием по скорости ХІ. В результате известные

уравнения

Л а г р а н ж а

записываются:

[д2Цд!

д xt) — dldxt]

L = Ft

— (д/д xt)

D.

(3.25)

Эти уравнения остаются ф о р м а л ь н о правильными

не только,

когда введенные величины хи

Fu піц,,

Su„ пь

имеют

размерности

линейного трения, но и во всех случаях, когда

L имеет

размерность

энергии, D — мощности, a Ft

и ХІ описывают

соответственно

внеш­

ние

воздействия и положения

некоторых избранных

независимых

величин, характеризующих систему. Поэтому

и Х\

носят

назва ­

ние «обобщенных» сил и координат соответственно.

Подставив

(3.23)

и (3.24) в

(3.25), получим

(л)

%hkXk

= Fi,

(3.26)

ft

где

l i k

=

mik d2 /5/2 +

(glk + rik)

діді + sik.

(3.27)

Ограничиваясь случаем периодического синусоидального движе ­

ния и полагая Хк~Xmuexp{Ш},

имеем: Wfe=A';t = icox,{. Тогда из

(3.27)

получим п уравнений

вида:

(п)

Y,zikvk

=

Pu

'

(3.28)

ft

і со

+ (і со)

где

zik

=

mlk

+ (glk

+ rik)

- 1 sik.

Коэффициенты Zik р а с п а д а ю т с я на суммы

симметричных сла­

гаемых:

ге1к

=

і со тш + г а

+ (і со)- 1

sik,

(3.29а)

а антисимметричных:

Zaift

=

gtk-

(3.296)

Д и н а м и ч е с к а я система может быть

весьма сложной — о б л а д а т ь

большим

числом

степеней

свободы.

Однако

при

рассмотрении

свойств преобразователя

нас, как правило,

интересуют

только дв е

из всех независимых степеней свободы

системы: это те, к

которым

прикладываются

внешние

воздействия

или реакции

других

систем.

Все остальные степени свободы преобразователя

являются

внут­

ренними

—• к

ним не прикладываются

воздействия извне.

Тогда

вся

система п

уравнений

будет

состоять

из

(п—2)

однородных

уравнений

(для которых Fi — О) и двух уравнений с правой

частью:

2 / 1 *

vk

=

Fi

к

=

F2

k

(3.30)

=

0

к

=

0

Путем

исключения

(n—2) из

интересующих

нас

скоростей

(vs,

vi„...,

v„) система (3.30) может быть

сведена

к системе

двух

уравнений:

!

'

P

•

( з . з і )

z2lvx

+ z22v*_ = F2

J

4

Новые

коэффициенты

z'ik

в ы р а ж а ю т с я через Zik

системы

(3.30).

П р и

этом

можно

показать,

что в силу

соотношений

(3.29) дл я z '.k

сохраняется

аналогичное

свойство:

zik

2 '

(3.32)

' « ~~' "ct'ft

Sift

В

дальнейшем

будем

интересоваться

только

системой

(3.31),

поэтому дл я удобства записи опустим штрихи у

коэффициентов

этой новой системы.

Система

ур-ний (3.31)

содержит

основные соотношения,

на ко­

ми

скоростями

на обеих сторонах его. З н а я коэффициенты

z i i t z1 2 ,

2гь

222, м о ж н о

определить,

какие силы F\ и F2

д о л ж н ы действовать

на

преобразователь, чтобы

получить ж е л а е м ы е

обобщенные

скоро­

сти

НІ И 02-