Файл: Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика.pdf

где Rn — полное

магнитное сопротивление

магнитопровода;

т) — коэффициент

механических потерь при

деформации стержня;

ницаемость цепи

комплексной:

іг = [л0 ехр{—іф};

і?ц

= LRоцЄхр{іф};

L = L 0 exp{ — іф} . Тогда

к

активному

сопротивлению

добавится

еще

величина

сопротивления

потерь

на

гистерезис:

(cousin ф) /і?оц

~

fH'(inpN2/R0lx,

, т а к

как всегда можн о

считать ф <

1.

Коэффициент электромеханической связи т а к ж е

будет

комплек­

сным: М=М0ехр{—іф},

что поведет

к

дополнительному

увеличе­

нию /'.

Преобразователь с неоднородной

деформацией

Если длина магнитострикционного стержня, несущего

возбуж ­

д а ю щ у ю обмотку,

равна

или более

четверти

длины

волны, то

де­

ф о р м а ц и я

и механические

н а п р я ж е н и я в нем становятся

существен­

но неоднородными по длине. Смещения

сечений

стержня

у=у(х)

в этом случае с л о ж н ы м образом зависят от

координаты

х вдоль

стержня . Д е ф о р м а ц и я

%(х)

в ы р а ж а е т с я

как

ду/дх,

т а к

что

F'(x)

=

=

SE'dy/dx—M'i.

Число

витков

на

единицу

длины

п

и

сечение

с т е р ж н я

5 будем

считать

независимыми от

х. П р и неоднородной

д е ф о р м а ц и и силы инерции элементов стержня

уравновешиваются

градиентом

механического

напряжения . В р е ж и м е синусоидальных

колебаний это динамическое равновесие запишется так:

pSdzy/dtz=

=—tfpSy^dF'/dx^SE'dZy/dx2,

ігде

р

—

плотность

материала

с т е р ж н я . Обозначая через

ст=

(Е'/р)

112

— скорость

распростране ­

ния волн с ж а т и я

в стержне, получим

— ш2 у

= с2тдг

у1дхг.

(3.86)

Решение

проще

всего

искать

в виде y=YiQ.oskx-\-Y2^kx,

где

Yi,

У2

—

постоянные

интегрирования

и k=w!cm.

Интегрируя

второе

ур-ние

(3.82), получим

і

U

=

^U'dx

=

M'ly

(I) — у (0)] +

і со L І.

(3.87)

6

Пусть

на

границе

х = 0

(начало

стержня)

к

стержню

подсоеди­

нена

механическая нагрузка §і,

а

на конце

его, х=1,

з а д а н ы

сила

F2

и

скорость уг-

Тогда,

учитывая

очевидные

соотношения:

у (0)

=

і со Ух,

у (/)

=

і ш Yx cos

kl +

і со Y2

sin

kl,

dyldx

=

— k Yx sin kx

-f- k Y2

cos

kx,

У2=У(1),

F2

=

F(l),

F(0)=hy{0)

=

SEy(0)-Mi,.

F„ = М

1 — cos

kl

—

і {bxlw) sin hi

cos kl +

/ (fo/Mi) sin kl

sin

/г/ —

і (frjw) cos W

•

+

1Ш •

Уі

=

cos kl

-j-

і (ЗІ/К») sin

sinW

\

U

1

+

4 я ц 1

!

sin W -

A,'

(3.88)

icoL1 — cos /г/ —£і

j

kl(coskl-\- і (ui/tti)sinM

—/V/

і (J,/а') sin Л/

cos kl+

где ш = 5 У Е'р

—

волновое сопротивление

стержня .

Если

такой

преобразователь

нагрузить

на стороне / /

нагрузкой

противления

преобразователя, состоящего из магнитострикционно-

го стержня,

нагруженного с

обоих

концов механическими нагруз ­

ками

и Зг:

2

=

UII

= і со L +

+

і

(M2/w)

2 (1 — cos kl) — і ( g l

-f За) w~l sin kl

(3.89)

(1 + Зі fo№)

sin kl -

і (3! + h) w~~l c ° s &

рого слагаемого

(которое

является

кинетическим . сопротивлением)

может обратиться в нуль

и z будет

бесконечно большим .

Н а п р и ­

мер, если стержень нагружен симметричными н а к л а д к а м и ,

з а м ы ­

кающими ярмо,

и накладки коротки

но сравнению с длиной

волны

в системе

преобразователя,

то,

не

учитывая излучения, можно по- (

д о ж и т ь Зі

= § 2 =

'шт.

Тогда

на

механическом резонансе я р м а

(со = шо)

(1 — coo m2/w2)

sin kl

+ 2

сй0 rn w~x

cos kl = 0.

быть в ы р а ж е н о через

скорость

v = i<nx, а д е ф о р м а ц и я

£ —

через

скорость

д е ф о р м а ц и и

x=ico£, после чего

(3.94)

приобретает

вид

аналогичный

виду соотношения

(3.51):

T]/a( cg= 0 )

= x/£(a=o) = — і со d = — М.

(3.95>

Т а к и м образом, соотношения взаимности,

вытекающие

из

свойств

пьезоэффекта,

приводят

к

уравнениям

в форме у.

Пр и

этом следует

сопоставлять т]->оь

yr+vz,

a-^-Fz и

<§->-іч,

т а к

что

уравнения примут вид:

Tl = r / n g - i c o d a

J

уи

и

г/ . П о л а г а я в

первом'

из

X =

— i e o d l - f - г/22 or/"

Теперь м о ж н о найти коэффициенты

V

22

ур-ний (3.96) ст=0, получим

Уп=

T]/g(o=0) =

і со£>/£«т=о) =

і со є а

/4я.

(3.97)

Следовательно,

z/ц в ы р а ж а е т

обычное

соотношение

м е ж д у

по­

диэлектрической

постоянной.

П р и этом, поскольку

имеем

дело с

пьезоэлектриком, приходится

у к а з ы в а т ь , что диэлектрическая

по­

стоянная

относится к

кристаллу, в

котором нет механических на­

п р я ж е н и й

( а = 0 ) . С этой

целью єс т

пишем с н и ж н и м индексом а.

П о л а г а я во втором

ур-нии

(3.96)

<§ = 0 ,

найдем

#22 =

і со £/CT(cg=0) •

(3.98)

ческому

н а п р я ж/22

определяется отношением

д е ф о р м а ц и и к

механи­

К а к

видно,

г

е н и ю

в

отсутствие

электрического

поля. Д л я

эле­

мента

объема

упругого

тела

<т/£ — это его

модуль

упругости, т а к

что м о ж н о

написать:

ИндексУ22

=

і с о / % .

(3.99)'

<g У величины

Ещ означает, что модуль упругости

опреде ­

лен д л я случая,

когда

электрическое поле в кристалле отсутствует.

Теперь уравнения дл я пьезопреобразователя могут быть

з а п и ­

саны так:

ті =

(і со є / 4 я) % — і со d а )

с

.

(3.100)

Х =

— icod g + (i co/£<g) tr]

пользуют не скорости деформаций % и плотности токов

т), а сами

деформации и плотности з а р я д о в . Тогда вместо ур-ний

(3.100) по ­

лучатся

следующие:

D

=

(є /4 л)Ш —

dn)

'

ст

'

а \

(3.101)

|

=

- d g

+ £ g a

(

Т а к а я

запись

несколько экономнее. М о ж н о т а к ж е записать уравне ­

ние в форме

z:

(3.101а)

П р и этом модуль упругости ED

следует

определить в отсутствие по­

л я р и з а ц и и (D = 0), а не поля, и диэлектрическую

постоянную

—

в отсутствие

деформации

(£ = 0),

а

не механических

напряжений .

П а р а м е т р взаимности

f т а к ж е

будет

другой.

Уравнения (3.101) и (3.101а) н а з ы в а ю т местными уравнениями

пьезопреобразователя, так ка к они описывают

связи

м е ж д у

вели­

чинами

электрического поля

и

механического

напряженного

со­

стояния тела в данном месте

— данной

бесконечно

малой области

этого

тела.

Преобразователь с однородной деформацией

Д л я

того

чтобы

перейти

к

уравнениям,

характеризующим

пьезоэлектрический преобразователь в целом, надо

знать характер

распределения напряженности

поля,

механических

напряжений

и т. д. по всему

объему пьезома -

F

териала преобразователя . Б об­

щем

случае

з а д а ч а

м о ж е т

ока­

заться весьма сложной . Простей­

шим

и

практически

наиболее

в а ж н ы м

случаем

является

пьезо-

кристалличеекий

элемент,

в

ко­

тором

д е ф о р м а ц и я

и

напряжен ­

ность поля однородны . Предста ­

вим себе пьезоэлемент в виде па ­

раллелепипеда (рис. 3.13).

Д л я такого пьезоэлемента

мо­

Рис. 3.13. .Пьезоэлемент с яопереч-

жно написать следующие соотно-

шения"

ы ь г м пьезоэффектом

l

=

xlllt

a=F/Su

D =

qlS2,

% =

Ulk,

(3.102)

где х — изменение длины ребра пьезоэлемента

k в результате од­

нородной деформации £, а — механическое напряжение, со­

ответствующее

силе

F,

равномерно

распределенной по

грани

с п л о щ а д ь ю

S i ' и в ы з ы в а ю щ е й д е ф о р м а ц и ю

\,q

— з а р я д ,

воз­

никающий на обкладке, помещенной на грани с п л о щ а д ь ю

S2 ,

U — н а п р я ж е н и е

м е ж д у

о б к л а д к а м и , находящимися на

про­

тивоположных гранях, на расстоянии ребра 1г.

И з

рис. 3.13 следует, что рассматривается

случай

т а к называе ­

мого поперечного

пьезоэффекта:

k

приложение

электрического

на­

п р я ж е н и я в направлении

ребра

вызывает д е ф о р м а ц и ю пьезоэле­

мента

вдоль перпендикулярного ему ребра k.

. .