Файл: Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика.pdf

считать механическим

выходом.

Перемещение

y(U/2)

этого

конца

и действующая на него сила

F

будут,

следовательно,

определять

режим механического выхода. Тогда,

очевидно,

о ( — I J 2 )

=0

и

F

=

= S1 o(A/2), что даст на основании

(3.121)

два уравнения

для

на­

хождения величин Yi и Уг"

d % - f F 3

k cos

( Ш 2 )

+ Yik

sin (kkj2)

=

0

(3.123)

d % + Y2

k cos (kkl2)

— УгЫ sin (JWj/2)

=

FI{S1

EL)

Н а й д я с помощью

(3.123)

У, и У2 и подставив

в (3.120) и (3.122),

получим искомые

уравнения

пьезоэлектрического

преобразователя,

выполненного

в виде

стержня из

пьезоэлектрического

материала,

работающего

на поперечном пьезоэффекте, с одним свободным

кон­

цом и вторым

н а г р у ж е н н ы м :

v = (ctg kk)

(i S O - 1

(p Et)-y2F—і

со d {kk)~l

tg (JWi/2) U

г = — Ш { Ы 2 Г {

tg(kk/2)F

+ і соСс т [1— №+2\2(Щ~1

tg(kkj2)]U

где Si = kk

—

п л о щ а д ь торца

стержня,

к которому

приложена

сила

F=Sia{hl2);

v = my{li/2)

—

скорость

іконца

стержня;

С с

=

= 8 о

У з / 4 я / 2 —

емкость свободного

от

напряжений

стержня;

/ — ток;

U=

% 12

—

напряжени е

на

электрической

стороне

пье-

зопр еоб р а з о в ател я.

Уравнения

написаны в форме //. Коэффициент

преобразования

рассматриваемого

преобразователя

Mb

= ia>d(kl2)~4g{kli/2),

к а к

ническими резонансными свойствами стержня .

Величина механи­

ческой податливости преобразователя в отсутствие

электрического

напряжени я (т. е. когда

обкладки

преобразователя

замкнуты

нако­

ротко) г/и — ( i S ) - 1 ( p £ g

) - 1 / 2 c t g £ / i

показывает,

что в условиях £7 = 0

при возбуждении силой F стержень ведет себя

как

обычная

меха­

ническая линия, по которой распространяются

продольные

волны

волны,

то

kk

-С

1,

ctg kk fa

IKkU),

yn

«

l / ( i со p Si IT).

Так

к а к pSrh

— масса

стержня,

то,

как

и

следовало

ожидать, в

этом

случае

(т. е. на низкой частоте)

стержень под

действием си­

лы F движется как сосредоточенная

масса. Резонансы сил и ско­

ростей чередуются по мере повышения

частоты как

обычно: kU =

— ( 2 п + I ) я / 2

— резонансы сил . и

kU = nn

—

резонансы

скоростей.

Рассмотрим теперь наш преобразователь при отсутствии нагруз ­

ки на

механической стороне

(F = 0).

Тогда в соответствии со вто­

рым

из ур-ний (3.124)

ток . -текущий

через

преобразователь, может

быть представлен суммой двух токов:

V = 0 )

=

j <»c i u +

і » c о

(Ш2Г1

tg (кІг/2)

U.

(3.125)

Чувствительность такого

пьезоэлемента,

ка к приемника

давле ­

ния, имеет вид:

І и/р

і

= £ (/?//„) [ ( і

- х 2 ) k k c t g k k

+

я 2 ] - 1 .

(3.130)

При /г/і<СІ

имеем

\ Ulp\i=a=gl\llu

как и следовало ожидать . Пр и

kko.tgkk

= — А 2 (1 — А, 2 ) - 1

наступает

первый

резонанс. Пр и

грубом

приближени и

(А,=0)

-с увеличением

частоты

чувствительность

в

среднем

а)

1^

п а д а е т

к а к

l/(kik),

гори

kwk

=

- с п ь

= (2n + 1 ) я/ 2

н а б л ю д а ю т с я

резо ­

° — Г ~

нансные

выбросы

чувствительности,

а гори knl=nn

— минимумы .

о

1

В ы р а ж е н и е

(3.125)

относится

к

идеальному случаю — случаю пре ­

образователя, работающего без по­

терь энергии при д е ф о р м а ц и и

пьезо-

электрика . В действительности, та­

кие потери всегда имеются и,

к р о м е

того, механическая

энергия

теряет­

ся из-за 'Оттока ее в систему

-подвес­

ки с т е р ж н я

и, наконец,

н а

излуче­

ние в в и д е

акустических

волн

в

ок­

р у ж а ю щ у ю

среду.

Поэтому

ток

не

достигает бесконечно больших зна­

чений. iB эквивалентных

схемах

это

соответствует

наличию

небольшого

сопротивления

в плече,

и з о б р а ж а ю ­

щем эквивалент длинной линии. Та­

к а я исправленная

картина

д а н а

на

рис. 3.18. Появляется, конечно, до­

полнительно

активная

составляю ­

Рлс.

3.1в. Эквивалентная

схема

щ а я тока .

пьеэовреобразователя-двигателя

с

Предположим ,

что

потери

энер-

учетом

механических

потерь

в

ГИИ обусловлены

излучением

ВОЛН

кристалле (а), составляющие тока

колеблющимся концом стержня . Та-

преобразователя (б)

кое излучение

создает

нагрузку —

гл = —iakctg(A//2). Аш =

2ЯИ

сопротивление

излучения

на

меха ­

р ^1 1% Із

нической стороне. В случае излуче­

(2д + 1)я •, /

f i _

ния плоских волн сопротивление из­

лучения

чисто

активно. Д л я

просто­

ты будем

учитывать

лишь

активное

сопротивление

излучения

і?и =роСо5і. Поступая как и пр и

вычисле ­

нии (3.128),

т. е. п о л а г а я

У = — F / R m

легко

найти ток с

п о м о щ ь ю

ур-ний (3.124)

. Опуская

промежуточные

выкладки,

приведем при­

ближенное в ы р а ж е н и е дл я тока

вблизи

резонансов

сил с т е р ж н я ;

і » [ і © С

+ 2 и {d%

lafRz

(и — і ctg £ 4 / 2 ) _ 1 J

U,

(3.131)

где x = 7?i r S~1 ( f ^ p ) - ' / 2 — о т н о ш е н и е

акустического

сопротивления

излучения к волновому механическому сопротивлению пьезо­

электрического стержня .

Перепишем

(3.131)

несколько иначе-

і = і со С, U

+

і - і - S i

(р Eg) 1 / 2

(d£cg / з ) - 2

і

U.

Теперь

видно,

что эквивалентная

электрическая

схема

преобра­

зователя

д о л ж н а

быть

составлена из

двух

п а р а л л е л ь н ы х

ветвей

(см. рис.

3.18). П е р в а я

из

них, к а к

и

раньше, —

емкость

з а ж а т о г о

кристалла, а

вторая

—

длинная

разомкнутая

на

конце

линия,

на эквивалентного сопротивления определяется в ы р а ж е н и е м

г'э

=

—Rn(dE%

13)~2. Величина

волнового

сопротивления

линии

zx

=

= -—- Sx(p

E<gy/2(dE<gl3)~2.

Р а з д е л и в вещественную и

мнимую

со­

с т а в л я ю щ и е тока во втором слагаемом

правой части

(3.131),

по­

i = ic +

i r +

ix\

(3.132)

где іс =

і со С

U,

ir =

U г'э (/-;2 + z\ ctg2

km)-x,

ix

= iUzxctgkkl2(г'э2

+ z\ctg2kkl2)-'

.

r'3

= ±RAdE%l3)-2,

Сэ =

±с%&Е%13)\

L ' 3

=

~m3{dE%l3)-2.