Файл: Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика.pdf

Dt

= *tk$k,

(3-142)

где є;/; — составляющие тензора

диэлектрической проницаемости.

Тензор е имеет очень

простой вид: вцг¥=0 при i — k и Bik — 0 при

іфк,

т. е. имеются всего три компонента

диэлектрической проницае­

мости

єн, &гг, єзз, которые

показывают,

что только

соответственные

компоненты

векторов

электрической

индукции

и

напряженности

поля связаны

м е ж д у собой.

П р я м о й пьезоэффект

в

кристалле

описывался

соотношением

(3.92) для электрической индукции D в некотором

з а р а н е е

задан ­

ном направлении и механическим н а п р я ж е н и е м

сг т а к ж е в некото­

ром

з а д а н н о м

направлении . Если ж е представить механические на­

п р я ж е н и я в общем виде

как тензор

с составляющими

Oifc, а

элек­

трическую индукцию как вектор, то тогда следует

обобщить

выра ­

жение

(3.92), записав его так:

D , = - d /

r t

f f £ f t .

(3.143)

Это

равенство

'означает,

что їв общем

случае л ю б а я

из

составляю ­

щих

тензора

н а п р я ж е н и я

о,ь может

вызвать

поляризацию

вдоль

любой

из координатных

осей и

что

пьезомодуль

d

представляет

собой тензор третьего р а н г а

с составляющими di i h .

Аналогично это­

му обратный пьезоэффект запишется так:

lpq

= -dlpqEi.

(3.144)

Равенства (3.143) д а ю т значения составляющих вектора элект­

рической индукции в отсутствие электрического поля.

Д л я получе­

ния

полного

значения компонента

вектора D к

правым

частям

(3.143)

следует, очевидно,

добавить

правые

части

равенства

(3.142):

Я і = (вj)f f

—

« а » .

(3.145)

Здесь

символ

( е / ) а

означает, что компоненты

тензора

диэлектри­

ческой проницаемости берутся дл я случая отсутствия

механических

напряжений . Система

трех

равенств

(3.145) составляет

обобщенное

лярной

форме (3.101)

. Вместо второго ур-ния (3.101)

обобщенное

в ы р а ж е н и е будет

с о д е р ж а т ь в общем случае девять уравнений д л я

девяти

компонент

sp f / :

lPq

= — d ipc, % і +

spq i k aik.

(3.146)

ной

форме. Пользуясь

упрощенной записью в соответствии с

табл . 3.1 и равенствами (3.141), м о ж н о написать:

Di

= Ы 0

Ші — d [ n

ст„

\

^ 1 4 7 )

lm =—din$i

+

SmnoJ

Эта

тензорная запись системы местных уравнений пьезопреобра­

зователя в ф о р м е у в (развернутом виде представится так:

Єц Шх

—

d\x<3x—dxtfi—di3a3—di4a4—dtbab—dlsaa,

Д >

=

Є 2 2 Шг

— d%i

Сті—dnif3i>—йгз^з—d%tPi—ttjsCFg—d2e°e>

D 3

=

Е з з Шз — Й31

o i — d 3 2 a 2 — d 3 3 a 3 — d s 4 0 4 — d 3 5 a b — d 3 e a e ,

В

этих равенствах опущены индексы а у составляющих є; т и £

у

а т а к ж е учтено общее соотношение симметрии, вследствие

бинируя их так, чтобы оси и плоскости симметрии были либо перпендикулярны,

либо

параллельны друг другу, либо -оси симметрии шли под некоторым углом

друг

к другу. Эти 32 группы равбиваются на 6 систем симметрии: триклинная,

минтартрат, тартрат калия. Пьезоэлектрическими

свойствами обладают

также

дерево и некоторые жидкие кристаллы. (Приводам

данные составляющих

е, s,

d, р для главнейших пьезоэлектрических кристаллов.

S i i = 0,39-10-»,

d3 i=0,32-il0-1 2 ,

ви=7,1,

5 [ 2 = _0,103-И0-Э ,

rf33= 1,927-Ю"1 2 ,

822 = 7,1,

s3 3 =0j625-.10-»,

d2 2 =—0,3 1 3-10-1 2

833 =6,6

sis=—0,016 - 10 - ',

d,5=3,67-10-»2 ,

p =3,1.

SM=1,&1-IU)-9 ,

sK =0,058-iIO-9 ,

Сернистый цинк (цинковая

обманка)

sn=il,94-)10-».

rfi4=3,09-10-12.

s2 3

= — 7,3-10-°,

sn = 22,9-,10-9,

Сегнетова соль (двойная

кислая калиево-натриевая

соль виннокаменной

кислоты)

s , i = 5 , 1 8 - Ю - 9 ,

s5 5 =32,8-:10-9 ,

гіі4=2,6-10т»,

s i 2 = — 1 , 5 3 - Ю - 9 ,

s3 3=3,34-10-9 ,

rf25=—56.3-10-12,

544=7,98-10-9 ,

5вб=.10,08-і10-9 ,

а!зб=.11,6-.1і0-12,

s2 2=3,49-10-8 ,

s 2 3 = —1,03-10-9, p=:l,77.

S i 3 = —2,lil-10-9 ,

Диэлектрическая постоянная так же, как л

яьезоконстаиты, резко

зависит

от температуры: Єатіп~(250,

ест т о ї » 1600

в интервале —іЮч-25°С.

эти значения

даны . Д л я

ответа на поставленные

вопросы

необходи­

мо перейти

к

новой системе координат,

совпадающей с направле ­

ниями ребер и граней пьезоэлемен­

та, т. е. надо произвести

поворот

координатной

'системы

л

найти со­

с т а в л я ю щ и е

є,

d,

s по

новым

осям .

Эта о п е р а ц и я — переход к новой си­

стеме « о о р д и н а т — представляет со­

бой

клаосический

прием

тензорного

исчисления.

П р а в и л а

такого

пере ­

хода

р а з р а б о т а н ы

и позволяют

ана­

литическим путем установить пове­

дение

пьезоэлемента

при

любой

ориентации

относительно

главных

осей. Этим способом пользуются ігри

теоретическом

исследовании

вопро­

са

о

расположении

пьезоэлемента

или, как говорят, о выборе

«среза

Рис. 3.20.

'К

определению

на­

кристалла»

д л я

получения

опти­

правления среза кристалла

мального

(пьезоэффекта.

Ф о р м у л ы

перехода

довольно громоздки,

хотя,

по существу,

не с л о ж н ы . На

примере сегнетовой

соли, без

о б р а щ е ­

нии кристаллографических осей.

С о с т а в л я ю щ и е тензора пьезомо -

д у л я д л я сегнетовой соли имеют

вид:

dn

О

О

52 dn

О

О

0

О

О

дуль

dik.

И з приведенного расположения составляющих пьезомо-

д у л я

видно, что при

приложении

электрического

поля

вдоль осей

xi и

Хг

наибольший

пьезоэффект

проявляется в

виде

деформаций

І4 и

|г,- Эти д е ф о р м а ц и и

согласно данным

табл .

3.1

соответствуют

чистому сдвигу, который

не

всегда удобен

д л я

использования в

преобразователях .

Рассмотрим, какую

д е ф о р м а ц и ю

испытывает

к в а д р а т н а я пластинка

ОАВС

(рис. 3.20) с ребрами единичной дли­

ны,

р а с п о л о ж е н н а я

в плоскости Х\Х3 так, что ребро

OA

составляет

угол

ф с осью Хз,

а

электрическое поле приложено

в

направлении

Хг. Из геометрических

построений на рисунке можно легко найти:

ОЕ — sin ф,

АЕ =

cos ф,

AD = АЕ tg у = cos ф | 5

,

OD = [(AE)2+(OD'f]V2

=

[cos 2 ? +

( s i n ? + £ 5 c o s 9 ) 2

j 1 / : :

«

» 1 + 1 / 2 І 5 5 І П 2 Ф ,

( § Б « 1 ) .

| ; =

OD — OA = OD —

l = — 5 б sin 2 ф.

(3.148)

З д е с ь отброшены

величины

порядка

малости %\ . З а м е н и в

в

(3.148)

<р на я/2 — ф, получим продольную

д е ф о р м а ц и ю ребра ОС

(вдоль

новой оси х\ ) :

1 [ = -

у І 5 з і п 2 ф .

(3.149)

Наконец, взяв разность углов поворотов или, пользуясь

малостью

углов а, р, разность тангенсов углов поворотов отрезков

OA и ОС,

найдем д е ф о р м а ц и ю

сдвига:

= DA cos ф — С С cos (л/2 — ф) = £5 [cos2 ф— cos2

(я/2 — ф)] =

= £ 5 с о э 2 ф .

(3.150)

Д е ф о р м а ц и и -£р |д и Ъ,'ъ можно записать в виде:

С о п о с т а в л я я

g

2

,

&з=^з2 ^2'.

% — d52

ЇЇі-

£,[ — d\2

эту запись с

(3.149) и

(3.150) и имея в

виду, что | 5 =

= di4<§2,

м о ж е м

записать составляющие

пьезомодулей относитель­

но

новых осей х\,

х'3

дл я поля, действующего в направлении

AV

б;

d'2l

=

j - du sin 2 ф

d'^ =

~Y

di4,sm2(p

d'25

— du cos 2 ф

0

Шг

| 0 ~ ~

О т с ю д а .видно, что «поворот н-а угол ф = 4 5 °

о б р а щ а е т d'^

в

нуль, а

d'2l

и d'23

делает

по абсолютной величине

максимальными,

равны ­

ми

du/2.