Файл: Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика.pdf

ния уравнений преобразователя удобнее пользоваться

местными

уравнениями

в форме z

[см

(3.101а)],

откуда

вследствие

d/dxD = &

следует da/dx=EDd2y/dx2

и

равенство

(3.119)

примет

вид:

р д2 y/dt2

= ED д2

уїдх2.

(3.133)

Теперь, как видно, скорость распространения механической вол­

ны

определяется модулем упругости

в

отсутствие

поляризации

CLI =

(EDlp)>/2

. Д а л ь н е й ш и й

ход

выкладок

аналогичен

предыдуще ­

му примеру,

однако,

отыскивать

придется

не ток і (который теперь

прямо определяется

через поляризацию

i — lihdDldt),

а

н а п р я ж е н и е

+ Л/2

на о б к л а д к а х

U=

J

£(x)dx

с помощью

второго

из ур-нин

-Л/2

(3.101а) и ур-ния (3.133). Д л я пьезопреобразователя

с

продольным

лучим

уравнения:

U =

(і ш С 6 ) - 1

[ 1 — {V tg kl)lkl]i

—

(//і со) (1 —cos kl) c o s - 1 &

v

F

=

— ( / / i со) (1 — cos kl)

cos - 1

kl

і + і w tg klv

.. (3.134)

k

=

ш/яі,

ai = (ED/p)112,

w

=

ai p 5 i

Рассмотренные в

начале п а р а г р а ф а

3.11

соотношения

отно­

сятся к такому случаю, при котором вид деформации

пьезокрис-

талла и вид механического н а п р я ж е н и я

з а р а н е е

выбраны

и

счи­

тается, что они скалярно связаны между собой

модулем

упругости.

Точно т а к ж е заранее

выбран вид пьезоэффекта

и вид

электричес­

кой

поляризации этого

пьезокристалла . М е ж д у

тем

известно,

что

д а ж е

в изотропном упругом теле приложение

усилий

в

одном

на­

правлении вызывает деформации не только в

этом

ж е

направле ­

нии,

но и в перпендикулярных ему.

В

анизотропном

теле

— в

кристалле — упругие свойства еще более с л о ж н ы : связь

м е ж д у

на­

п р я ж е н и я м и и возникающими д е ф о р м а ц и я м и

зависит еще

от

ори­

ентации приложенных напряжений или деформаций

относительно

кристаллической решетки кристалла .

Так как

структура

кристал ­

можно считать,

что величина

и направление деформации кристал­

ла зависят от

направления

приложения усилий по отношению к

| = scr, которая

учитывает только

связь какой - то одной

составляю ­

щей д е ф о р м а ц и и |

с

одним

видом

н а п р я ж е н и я

а

через

м о д у л ь

гибкости s, в общем случае

п р е в р а щ а е т с я

в

систему

из

девяти,

уравнений дл я девяти составляющих %ц{:

feu

= S U

11 O i l +

S u 12 0"i2

+

• +

s l l 33 О33

1

s 12 11 O i l +

S12 12 СГ12

+

• +

S 12 33 С33

X>ik — Sik 11 °І1

ik pq ®pq

• ~r sik

33 О33

(3.138)

^33 — S S311 Oil ~T"

•

• •

~f" S 33 33 C33

Эта система

равенств

по п р а в и л а м ,

принятым

в тензорном

исчис­

лении, кратко записывается так:

iik

— Silt pq

Gpq-

(3.139)

З а п и с ь

(3.139)

предполагает, что

в

к а ж д о м

из

равенств,

относя­

щемся к данной комбинации значков ik, производится

суммирова ­

ние по всем

комбинациям значков pq, пробегающим

значения

1, 2,

3. Система состоит из ряда

таких

равенств

(в нашем

случае из де­

вяти), в к а ж д о м из которых

значки

ik имеют

определенную

комби­

нацию двух

из трех в о з м о ж н ы х значений

1, 2, 3.

Величины

Sihpg

составляют

квадратную таблицу из 81-го значения

и

представляют

нент Sikpq

сокращается

с 81 до 21, та к как

sik

pq

ski pq — sik qp — ski

(3.140).

: qp-

Р е ш а я

систему равенств (3.138) относительно напряжений,

по­

лучим

новое тензорное

в ы р а ж е н и е : о Р Ч — сРЧік%ш,

где c p

q i h

—

мо­

дули упругости, составляющие тензора 4-го ранга,

п р е о б р а з у ю щ е ­

го деформации

в н а п р я ж е н и я

opq.

С о с т а в л я ю щ и е

£ ^ с повторяющимися значками, т.

е. | « ,

£22.,.

£зз — это д е ф о р м а ц и и

с ж а т и я —

р а с т я ж е н и я вдоль

осей,

д е ф о р м а ­

ции gift при і ф к

— это деформации сдвига. Соответственно

напря ­

жения

а,:;г

при i = k —

нормальные н а п р я ж е н и я ,

а

Oik при і

ф

к —

касательные н а п р я ж е н и я . Вид составляющих

д е ф о р м а ц и й

и

на­

ным, ТО Н е о б х О Д И М О ПреДПОЛОЖИТЬ, ЧТО CTifc —CTfej И £ i b =

ifcj. В этом.

случае тензоры д е ф о р м а ц и й и напряжений становятся

симметрич­

ными и число независимых компонентов н а п р я ж е н и я

и д е ф о р м а ­

но: Ы = 1т, при этом, если i = k, то т—\,

2, 3, а если іфк,

то т = 4,

5, 6.

Иными словами, индексами 1, 2, 3 обозначают

три

независи­

мых

деформации с ж а т и я — р а с т я ж е н и я

и индексами

4, 5, 6 — три

Ряс. ЗЛ9. Вады

деформаций

упругого тела:

а — растяжения

(ожаггия);

б—сдвига

независимых

деформации

сдвига. Точно та к ж е

поступают и с со­

с т а в л я ю щ и м и

а. Д л я

перехода

от двойных значков

к одинарным

с л у ж и т т а к а я

таблица .

Т А Б Л И Ц А 3.1

ik или pq

11

22

33

23 или 32

31

или 13

12 или 21

т или п

1

2

3

4

5

6

С помощью этого перехода равенства

(3.139)

и

(3.140)

можно уп­

рощенно записать так:

(3.141)

Здесь т а к же , к а к и в

(3.139) и

(3.140), производится

суммиро­

вание по повторяющемуся

значку.

Величины

констант

упругости

с т п (или гибкости

smn)

определяют д л я к а ж д о г о

упругого мате­

риала (кристалла)

экспериментальным

путем.