Файл: Римский-Корсаков А.В. Электро-акустика.pdf

В т о р ым требованием будет требование

равенства механическо­

го сопротивления эквивалентной системы

с сосредоточенными па­

вой

частоте:

где

зэ — сопротивление

эквивалентной системы

с сосредоточенны­

ми

п а р а м е т р а м и ;

g

— сопротивление

конструктивного

эле­

мента.

Эквивалентная система с одной степенью свободы без

затуха ­

ния состоит из двух элементов, поэтому условия

(2.15)

и

(2.16)

полностью

определяют

их. Если мри

о)-*0 5 = іш/п, то,

очевидно,

п;э=т

и

дл я

такого

конструктивного

элемента

получим

систему

э кв ив ал ентных пар аметр ов :

тэ

= т;

сэ = со-2

т~1.

(2.17)

Если

при ®-*-0$ = ( і ш с ) - 1 , то сэ = с и система

эквивалентных

па­

раметров имеет вид

с э =

с;

тэ = с-1 cof2.

(2.18)

При таком выборе эквивалентов скорость

колебаний точки

при­

л о ж е н и я силы в эквивалентной системе будет совпадать

со

скоро­

стью

колебаний точки

приложения силы к

конструктивному

эле­

В ряде случаев на конструктивный элемент а п п а р а т а

действует

не сосредоточенная сила, а равномерно

распределенное колебатель ­

ное давление со

стороны акустической

системы. Н а п р и м е р , при

работе телефона

или микрофона иа

мембрану действует

звуковое

давление .

При расчете такого конструктивного элемента следует

выбрать

«точку приведения», т. е. ту точку элемента,

д в и ж е н и е которой нам

необходимо знать д л я

дальнейшего

расчета

аппарата . Это может

быть, например,

точка

мембраны, к которой

механически

подсоеди­

даваемой

звуковым давлением

(р) на п л о щ а д ь элемента ( 5 )

к ско­

рости (v)

точки

приведения:

b =

pSlv.

(2.19)

Определив з

из в ы р а ж е н и я

(2.19), м о ж н о найти по ф - лам

(2.17)

и (2.18) элементы с э и тэ.

дение вблизи резонанса. Если з

р а з л о ж и т ь в ря д по та около ре­

зонанса:

g (со) =

g (сої) + ь' (сої) (со — ші) +

-у b" М

(со — coi)2 +

то, так как

g (сої) = 0 , в первом приближении

получим

5 ' Ы = а > 1 ) ,

(2.20)

получим с точностью до членов

второго

порядка совпадение хода j

с Зэ вблизи резонанса.

Сопротивление

эквивалентной системы

с сосредоточенными па­

р а м е т р а м и имеет

вид j

3 —ттэ+

(icoc3 )_ 1 , тогда

5з = [icom3 +

(ішсз)- 1

] ' =

2 i m 3 ,

со = (гаэ с э Г' / 2 .

П р и р а в н и в а я абсолютное

значение §'(а>і)

нашего конструктивного

элемента величине

2 тэ.

найдем

искомый

эквивалентный п а р а м е т р

д л я области вблизи

резонанса:

тающий около резонанса сил, при

к о т о р о м у

(соі)=0 .

Если

область

работы а п п а р а т а л е ж и т вблизи резонанса скоростей

конструктив­

ного элемента, то $ (соі)->-оо, и дл я

расчетов

надо

пользоваться

сравнением обратных величин, та к

н а з ы в а е м ы х податливостей

з — 1

реальной и эквивалентной систем элемента . В этом случае

условие

эквивалентности имеет вид: (ЬТ1У~(Ь~1 У П Р И

со = сох-

Р а с с у ж д а я

аналогичным путем

относительно податливости

око­

ло резонанса

скоростей и выбирая

эквивалентную схему

в

виде

с. = 0,5

d а ь

(2.22)

частот, и частотная

характеристика

точного

значения

сопротивле­

ния

этого

элемента.

Рассмотрим подробно процедуру нахождения пгэ и сэ для кон­

структивного элемента в виде консольной

балочки (стержня,

з а ж а ­

того

одним

концом),

к свободному концу которой приложена

сила.

Д в и ж е н и е

свободного конца входит в расчет

аппарата .

Теория поперечных колебаний тонкого стержня дает точное зна ­

чение сопротивления:

5 =

і со т (1 +

ch kl cos kl)/(cos kl

sh kl

— ch kl sin kl)

(2.23)

где

m = pil —

полная

масса балочки;

/ — ее длина;

р; —

погонная

масса; Е — модуль упругости; / — плоский момент инерции

поперечного сечения

балочки

Резонансы

сил

(# = 0 )

н а б л ю д а ю т с я

при условии:

1 + c h £ „ / c o s M

= 0.

(2-24)

Из этого уравнения можно найти

1,875;

^ 2 /

= 4,694;

kal

да7,85;

k„I да я(2л

— 1)/2,

л > 4 .

(2.25)

Н а й д е м

та

и сэ для случая,

когда

первый

резонанс

балочки ле­

ж и т

в верхней

части

рабочего д и а п а з о н а . Условие (2.15) принимает

вид

« і

=

( т , с , ) - " 2 ;

сої =

k\ (EJ/Pl)m

=

3,515

(EJ/Plf2JP,

(2.26)

а условие

(2.16)

gcwo=і со т lim {(1 +ch

kl cos kl) (cos kl

sh kl—ch

kl

sin kl)}~1

=3E //(i

со P).

fc-»0

(2.27)

Теперь легко найти

сэ = 13/{3EJ),

(2.28)

т3

= 0,243 т.

(2.29)

Итак, консольную балочку вплоть д о первой резонансной час­

тоты

(и

д а ж е несколько

выше) м о ж н о

заменить простой

колеба ­

тельной системой с массой, составляющей

0,243 от массы

балочки,

и гибкостью сэ—1ъ1{ЪЕ1).

Величина

с э

соответствует

статическому

прогибу

балочки

тех

ж е

размеров под действием единичной си­

л ы — это статическая

гибкость

балочки.

Р а с с м о т р и м теперь работу балочки вблизи

ее резонанса . В

этом

случае определим

| %'\ с помощью

(2.23), подставив

затем

в

полу­

ченное

в ы р а ж е н и е

условие

резонанса

(2.24).

П о л а г а я

§ =

= i(amu(kl)/v(kl),

где

ы = 1 +ch k l c o s k l

и

v = cos

klsinkl—chklX

Xsin&Z, находим д/dkl

(u/v).

П о д с т а в л я я

из (2.24)

u = 0 , получаем:

(djdkl)k.=k

п,

5= u'/v.

Так как dkl

u-—v,

то u'fv=

I и тогда

- ^ = i m U / D + i c o m T 7 r

= i c o m ^ - ; ( и = 0 )

П р о д и ф ф е р е н ц и р о в а в

и подставив

в полученное

в ы р а ж е н и е зна­

чение <ол = /г2

(EJ/pi)

1 / 2

, найдем:

= 0,5 і т.

(2.30)

Окончательно

искомое

соотношение

д л я тэ

в соответствии с

(2.21)

будет

/?г э =0,25

т, т. е. вблизи любого из

резонансов балочки ее

эквивалентную

массу

удобно

принимать

равной

одной

четверти

полной массы. Гибкость следует рассчитывать

дл я

к а ж д о й

резо­

нансной частоты в соответствии с

(2.25) :

сэп

=

— 1

- — =

4l3(kn

/ ) - 4 (EJy1

,

в частности

со2 отэ

с л

=

P/(3,G5

EJ).

(2.31)

К а к видно, эквиваленты

т3

и

сэ

дл я

области

около

первого

резо­

нанса очень м а л о отличаются

от

«низкочастотных»,

определяемых

по ф-лам

(2.28)

и (2.29).

. П р и

работе консольной

балки

вблизи

резонанса

скоростей

(^ ->-со) резонансные частоты

следует

искать из условия

равенства

нулю з н а м е н а т е л я

в ы р а ж е н и я

(2.23):

t h * „ /

= t g * „ / .

(2.32)

располагаются при значениях knl>n.

Т а к

как thkl

отличается от

единицы менее чем на 0,003 д л я kl>n,

то

(2.32) можно заменить

простым соотношением: tgknl=\;

knl

= n/4 + nn. Подстановка

(2.32)

в (2.22) и вычисление

производной дают:

сэ = [l3/(EJ

kn Iі)] sin knlshkn

1(1

+ c h £ „ / c o s

.

Так к а к k„l^$>\,

то с большой точностью

можно

пользоваться

приближенными соотношениями:

с э

= Р {К

I)'2

{EJ)~l

=

16 /3

л~2

(EJ)'1

( 4 л + 1 ) - 1

|

(2.33)

т э

= 4 т я 2 ( 4 / г + 1 ) 2

В табл . 2.1

приведены

некоторые

в а ж н е й ш и е

ф о р м у л ы

д л я .

44

45