Файл: Кравченко Р.Г. Основы кибернетики учеб. пособие.pdf

ствием случайного возмущения М величина X может флюктуи­ ровать, случайно отклоняться от ее заданного значения, прини­ мая одно из возможных ее разнообразий. В этом случае воз­ никает неопределенность в том значении разнообразия X, ко­ торое может возникнуть на выходе системы. В таких случаях управляющая система должна играть роль коррегирующего устройства, уменьшающего неопределенность возможного зна­ чения величины X. Так как степень неопределенности процесса управления зависит от того разнообразия, которое может при­ нимать величина X, будем рассматривать энтропию Я как функцию разнообразия, принимаемого X: Н(Х). При реализации в системе управления управляющих воздействий неопределен­ ность системы будет функцией не только того разнообразия, которое может принять выход системы X под воздействием внешних возмущений М, но и зависеть от тех управляющих воз­ действий, которые будут реализованы в целях компенсации внешних возмущений. Если количество разнообразий системы, в которых она может находиться под воздействием возмущений М, составляет величину Н(Х), то число разнообразий, в кото­ ром будет находиться система при использовании эффективных управляющих воздействий У в целях компенсации воздействий M:H(X\Y), будет меньше величин Я(Х). В результате таких опытов удается установить количество разнообразий, в которых может находиться система при реализации определенных уп­ равляющих воздействий, их вероятность. Таким образом, вели­ чина Я будет зависеть от значений, принимаемых X в зависи­ мости от заданной величины Y : H(X\Y) . Степень уменьшения неопределенности состояния системы, достигаемая посредством управляющих воздействий, может быть выражена таким соот­ ношением: Н( Х ) — H(X\Y)=1(X У ) .

Таким образом, величина 1(Х У ) отразит уменьшение разно­ образия в состоянии системы, которое может быть достигнуто с помощью управляющего воздействия У. Величина I(X\Y) определяет количество информации в величине У относительно величины X, где У рассматривается как случайная величина из множества управляющих воздействий, которые в процессе уп­ равления используются с определенной вероятностью. Если, на­ пример, с помощью фиксированного управляющего воздействия У, компенсирующего определенное возмущение внешней среды М, мы можем достоверно предсказать ожидаемое значение ве­ личины X на выходе системы, то энтропия такой системы будет равна 0, исходя из того, что вероятность предусматриваемого

П

171

В таких системах количество информации, содержащееся в сиг­ нале о состоянии выхода системы, исходя из посылок теории информации, равно 0, так как заведомо известно получателю (приемнику) информации, какое сообщение будет получено. Таким образом, в этом случае состояние выхода системы не содержит неопределенности, его энтропия равна 0 и разрешаю­ щая способность получаемой информации в этом случае также равна 0. Правомерно сделать вывод о том, что детерминирован­ ный источник не может генерировать информацию. Предельные возможности управления в таких детерминированных системах должны выражаться в том, что флюктуирующему множеству возмущений M j система управления должна быть в состоянии противопоставить такое множество управляющих воздействий Yj, которое в любом случае обеспечило бы полную компенсацию внешних воздействий и поддержание выходной величины У в заданном программой управления состоянии Jo-

Однако в реальной жизни мы чаще имеем дело с явлениями,

мер, в том, что не может быть изготовлено двух абсолютно одинаковых деталей, выращено несколько абсолютно одинако­ вых деревьев, животных. Компенсация с помощью воздействия Yj возмущения Mj при неоднократном повторении также не обеспечит получения одного значения У*. Величина Уг будет флюктуировать, т. е. случайно отклоняться от своего среднего значения. Как известно, информация передается в том случае, если в сообщениях, генерируемых источником, содержится слу­ чайность, а мера информации отражает статистические свой­ ства источника информации.

Если случайная величина У принимает значения У1; У2, ..., Улг, а случайная величина X — значения Х и У2, ..., X L , то услов­ ной вероятностью P ( X i \ Y j ) называется вероятность того, что X примет значение Л,-, если известно, что У приняло значение Yj. Условная вероятность, усредненная по всем возможным значе­ ниям У, составит безусловную вероятность Р ( Х Л : Р ( Х Л —

= ^ P { Y i ) P { X i \ Yj ) .

Как известно из теории информации, первоначальная неопределенность сигнала равна его энтропии: H(Xj) = = —2Р(Уj) log2P(Xj), которая является мерой статистического разнообразия возможного значения величины У*. Энтропия воз­ растает по мере роста числа разнообразий, в которых может находиться управляемая величина X, что пропорционально ло­

гарифму их, а также вероятности появления того либо иного разнообразия Уг.

Приведенной формулой безусловной энтропии определялась бы неопределенность величины Уг-, если бы однозначно она определялась воздействием Yj. При этом при получении значе­ ния Xj неопределенность в системе исчезла бы, что позволяет

172

сделать вывод о том, что в полученном сообщении содержалась величина информации, равная разрешенной ею неопределенно­ сти: /(Х ,)=Я (Х ,).

Но во многих процессах управления после воздействия У значение управляемой величины X определяется условной ве­ роятностью Ру(Х), или Р(Х| У), и усредненная неопределенность

возможно только в том случае, если величина энтропии не кор-

количества информации в случайной величине У о случайной величине X величину, на которую в среднем уменьшается неоп­ ределенность величины X, если нам становится известно значе­ ние величины У, т. е. разность между безусловной и условной энтропией: I ( Y \ X ) = H ( X ) — H ( X \ Y ) . Количество информации равно 0, если управляющее воздействие и управляемая вели­ чина независимы, количество информации достигает макси­ мума— величины Я(Х), когда управляющее воздействие одно­ значно определяет'значение управляемой величины, т. е. когда Р(Х|У) = 1, и, следовательно, Я (Х |У )=0, т. е. в этом случае неопределенность управляемой величины X при воздействии У равна 0. При этом важно, чтобы определенному значению У однозначно соответствовало определенное значение X . Однако одному значению X может соответствовать некоторое множество значений У. Этим определяется альтернативность в выборе У (например, действительных чисел, векторов и т. п.) в достиже­ нии заданного значения управляемой величины Х0.

В общем случае количество информации удовлетворяет не­ равенствам: /(X; У )^Я (У ) и /(X; У )^Я (Х ). Управление со­ стоит в уменьшении неопределенности управляемой величины X. Для уменьшения неопределенности Я(Х) управляющая сис­ тема должна располагать достаточным разнообразием различ­ ных управляющих воздействий в соответствии с соотношением Я (Х )^/(Х ; У), если информацию рассматривать как величину снимаемой разрешаемой неопределенности в возможном со­ стоянии величины X под воздействием величины У при наличии

Это неравенство выражает предельные возможности управ­ ления. Оно превращается в равенство в тех случаях, когда управляющее воздействие У однозначно определяет значение управляемой величины X, т. е. когда управляющая система точ­ но определяет, какое отклонение получает управляемая вели­ чина X под воздействием возмущения М , и совершенно точно определяет выбор нужного воздействия У.

173

Г л а в а 9

АВТОМАТИЧЕСКОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ

Одной из ветвей научного аппарата кибернетики является теория автоматического регулирования, которая находит при­ менение и в изучении экономических систем. Эта теория реа­ лизуется в саморегулирующих системах.

Кибернетике предшествовала теория сервомеханизмов — устройств, которые замещают человека в обслуживании какойлибо машины или процесса. Данная теория в настоящее время представляет собой хорошо развитую область математики, бла­ годаря чему удалось установить, что теория автоматическо­ го регулирования имеет более широкую область применения, чем технологические процессы в промышленности, и может рас­ сматриваться поэтому как составная часть общей теории управ­ ления.

Под автоматическим регулированием обычно понимается ре­ гулирование, осуществляемое без непосредственного участия че­ ловека. Но при этом необходимо исходить лишь из относитель­ ного неучастия человека в процессе регулирования. Особенно наглядно это можно проиллюстрировать на примере управления производством.

Производство подчинено удовлетворению материальных по­ требностей человека, и данной цели подчинено управление и ре­ гулирование всех производственных процессов. Чтобы обеспе­ чить функционирование системы в интересах человека, он дол­ жен сам принимать участие в управлении ее состоянием и развитием. В противном случае функционирование системы от­ клонится от желаемого для человека состояния.

Из нашего практического опыта можно привести множество примеров, когда даже направленное регулирование развития систем имеет непредвиденные последствия, подчас нежелатель­ ные, которые затем учитываются для осуществления необходи­ мых корректировок.

С другой стороны, неразумно было бы разграничивать сис­ темы на автоматические и неавтоматические только по степени участия в управлении человека. Управление действиями стаи дельфинов, например, происходит без участия человека, но этот процесс вряд ли можно отнести к автоматическим. Не случайно поведение этих животных сейчас столь пристально изучается учеными.

175

Таким образом, автоматическое регулирование во всех слу­ чаях является автоматическим лишь относительно.

Автомат. В технике термином «автомат» пользуются для обозначения системы механизмов и устройств, в которой про­ цессы получения, преобразования, передачи и использования энергии, материалов и информации, необходимые для осуществ­ ления ее функций, осуществляются без непосредственного уча­ стия человека. К системам такого типа относятся, например, станки-автоматы, торговые автоматы и др.

В кибернетике используется термин «дискретный автомат», или кратко просто «автомат», для обозначения более абстракт­

ства Х\

3)в каждый момент времени модель может находиться в од­ ном из состояний zu z2, ..., Zi\

4)состояние модели в каждый момент времени определяется входной величиной у в этот момент и состоянием z в предыду­ щий момент времени;

5)модель осуществляет преобразование ситуации на входе

У= (yit у2, ..., ут) в ситуацию на выходе Х= (хи х2, ..., хп) в за­ висимости от ее состояния в предыдущий момент.

Дискретная модель удобна для описания многих кибернети­

ческих схем.

Автоматы, у которых ситуация X на выходе однозначно опре­

Отметим, что преобразование входных величин в выходные, выполняемое дискретными автоматами без памяти, осуществля­ ется на основе двухбуквенного алфавита, как было показано ра­ нее. Оно эквивалентно преобразованиям, совершаемым в фор­ мальной логике, и поэтому такие автоматы еще называют логи­ ческими автоматами.

Представим совокупность всех возможных исходных данных, перерабатываемых каким-либо алгоритмом А, в виде последова-

176