Файл: Гольдин И.И. Основы технической механики учеб. пособие.pdf

окружности, представляющей траекторию точки, к центру этой окружности (рис. 105).

Вектор ускорения а равен сумме составляющих векторов ат и в„, т. е. а — ат + ан и является диагональю прямо­ угольника, построенного на этих векторах. Величина уско­ рения равна:

а = Уа- + аЪ = У(гг)2 + (rco2)2 = г V&2 + со4 .

Острый угол а между направлением вектора ускорения а точки вращающегося тела и направлением радиуса нахо­ дится из формулы

,ат е.

1§ а = а н = о з -

§52. Основные случаи вращения тела вокруг

неподвижной оси

Определив общие кинематические характеристики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси: угловую скорость со и угловое ускорение е, а также установив их связи с ли­ нейными скоростями v и ускорениями а отдельных точек тела, остановимся на двух случаях, наиболее часто встре­

ным вращением тела называется его вращательное движение с постоянной угловой скоростью со. По определению угловой скорости имеем:

Уравнение (43) называется уравнением равномерного вращения тела.

146

Можно начать отсчет времени с того момента, когда мы начинаем рассматривать процесс вращения тела. Это озна­ чает, что принимается условие t0 = 0. Тогда уравнение (43) примет вид:

наем отсчет угловых перемещений от начальной точки, лежащей в неподвижной плоскости, то уравнение еще

Равнопеременным (равноускоренным или равнозамедленным) вращением тела называется такое его вращательное дви­ жение, при котором за равные, произвольно взятые проме­ жутки времени угловая скорость тела изменяется на одну и ту же величину. Отсюда следует, что угловое ускорение е тела, т. е. величина, характеризующая быстроту изменения его угловой скорости, постоянно. В этом случае величина

Из выражения для е получим после преобразований:

Для определения углового перемещения ср вращаю­ щегося тела поступим следующим образом. Предположим, что отсчет времени ведется с момента, когда угловая ско­ рость равнялась со0, при этом t0 = 0. Через время t угловая скорость станет равной о>. При равноускоренном вращении величина средней угловой скорости за промежуток вре­

В заключение приведем еще одну формулу для угло­ вого перемещения. Исключая из уравнений (44а) и (45а) время t, получим:

С равнопеременным вращением тел обычно встречаются при изучении процессов пуска в ход и остановки машин.

§ 53. 0 плоскопараллельном движении твердого тела

В предыдущих параграфах мы рассмотрели частные случаи плоскопараллельного движения твердого тела — поступательное и вращательное. При поступательном дви-

148

жении все точки тела движутся одинаково. Определив движение какой-нибудь одной точки, т. е. найдя ее переме­ щение, скорость и ускорение, мы тем самым можем судить о движении тела в целом. При вращении тела вокруг не­ подвижной оси различные его точки перемещаются поразному. Однако мы сумели отыскать для этого случая кинематические характеристики: угловые перемещение, ско­ рость и ускорение, общие для всего тела. В общем случае

Рис. 106. Любое плоское перемещение тела можно различными спосо­ бами (а — г) представить как сумму поступательного и вращательного перемещений

для определения плоскопараллельного движения достаточно знать движение двух точек тела, находящихся в одной плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Другими словами, движение отрезка, соединяющего две точки сечения тела, вполне определяет плоскопараллельное движение тела.

Если мы определим перемещение этого отрезка, то вместе с тем найдем перемещение всех точек твердого тела.

как результат двух перемещений: поступательного, при

149

нием Л 2 В 2 (рис. 106, а). Вместе с поворотом отрезка на угол ф поворот на тот же угол и вокруг той же оси совер­ шают и все точки тела. Следовательно, любое плоское перемещение тела можно рассматривать как результат двух перемещений: поступательного и вращательного. Отметим, что разложение результирующего перемещения на поступательное и вращательное не однозначно. Если мы изменим величину поступательного перемещения, то изме­ нится при этом и положение оси, вокруг которой необходимо

поворот отрезка на угол ср, а затем осуществить его посту­ пательное перемещение (рис. 106, г). Следует обратить внимание на то, что во всех этих случаях не изменяется величина угла ср, на который нужно повернуть отрезок Л 1 Б 1 до совмещения с Л 2 б 2 . Так как угловое перемещение тела остается одним и тем же, то и угловая скорость при повороте тела является общей кинематической характери­ стикой для всех точек тела, движущегося плоскопарал­ лельно.

Таким образом, любое плоское движение тела можно различными способами представить как сумму двух дви­ жений: поступательного и вращательного. Будем рассмат­ ривать поступательное движение тела как переносное движение относительно неподвижной системы отсчета. Пусть оно происходит с некоторой скоростью VA, равной скорости некоторой точки А тела. В соответствии со ска­ занным выше мы можем рассматривать вращательное дви­ жение тела относительно оси, проходящей через выбранную точку А. Вращательное движение является относительным. Оно происходит вокруг оси, движущейся поступательно. Теперь мы можем найти скорость любой другой точки тела, воспользовавшись сложением переносной и относительной

скоростей (см. § 42): 0 а б с = 0 п е р + 0 т н . Выберем точку В

тела и обозначим ее скорость VB- Эта скорость точки В относительно неподвижной системы отсчета является абсо­ лютной скоростью. Переносная скорость точки В равна скорости VA- Так как одновременно точка В вращается вокруг оси, проходящей через точку А, то ее относитель­ ная скорость VBA равна линейной скорости вращения. Следовательно, скорость произвольной точки В тела можно найти, сложив векторы скорости VA И VBA (рис. 107): Юв =

= VA + VBA.

150