векторы касательных напряжении кручения и нормальных
|
|
|
|
|
напряжений |
изгиба |
направлены |
под прямым углом друг |
к другу. В таких случаях |
|
пользуются |
специальными |
|
теориями |
прочности |
(они |
|
рассматриваются в |
более |
|
подробных |
курсах |
сопро |
|
тивления |
материалов), ко |
aj |
торые позволяют учитывать |
Рис. |
226. Опас |
Рис. 227. Усилия, дей |
ные |
точки в |
ствующие на |
вал: |
прямоугольном |
а — исходная схема, |
б — ре |
|
сечении |
зультирующая схема |
влияние совместного действия нормальных и касательных напряжений и на их основе подсчитывать эквивалентные (равноопасные) им нормальные напряжения.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§ 150. |
Задачи |
с |
решениями |
|
|
|
|
З а д а ч а 32. |
На |
строгальном |
станке |
резцом |
обрабатывается |
деталь (рис. 228). Усилие, |
испытываемое резцом от сопротивления ме |
|
|
|
талла резанью |
Р = |
10 |
кН, |
размеры |
|
|
|
сечения |
резца |
b-h= |
30 мм X 40 мм. |
|
|
|
Определить наибольший вылет / резца, |
|
|
|
при котором напряжение изгиба не |
|
|
|
превысит допускаемого [а и ] = |
100 н/мм2 . |
|
|
|
|
1. Общая |
схема |
решения. |
|
|
|
|
|
Резец |
можно |
рассматривать |
как |
|
|
|
балку, |
защемленную |
одним |
концом и |
|
|
|
нагруженную |
изгибающей |
силой |
на |
|
|
|
другом. |
Максимальные |
напряжения |
|
|
|
изгиба |
возникают |
в |
защемленном |
се |
|
|
|
чении; |
по условию их величина не |
Рис. 228. Обработка |
детали должна |
превысить |
допускаемых. Зная |
строгальным |
резцом |
осевой |
момент |
сопротивления изгибу |
|
|
|
(его |
легко |
определить |
по |
размерам |
сечения 6 X ft) и допускаемые напряжения, можно по формуле проект ного расчета определить величину соответствующего им изгибающего момента. И, наконец, зная момент и силу, легко определить плечо силы, т. е. вылет резца.
2. Определение |
величины |
изгибающего момента, |
действующего |
в опасном |
сечении. |
|
|
|
|
|
Из формулы проектного |
расчета |
на изгиб |
|
|
|
|
W |
~~[ |
и ] |
|
определяем |
А 4 И = [ а и ] • №, |
где |
для |
прямоугольного |
сечения отно- |
сительно нейтральной оси у — у 1^=—_. После подстановки числовых данных получаем
|
|
30 • 402 |
|
|
|
|
|
|
|
/ И и = 1 0 0 - - ^ ^ - = |
8- 105Н-мм = 800 |
к Н - м м . |
|
3. Определение |
наибольшего вылета резца |
|
|
|
|
|
|
|
М» = |
Р-1, |
|
|
|
|
|
откуда, |
|
|
|
|
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 80 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Итак, должно |
быть |
/ ^ |
80 |
мм. |
|
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
33. |
Двутавровая |
балка АВ |
(рис. |
229) |
служит опорой |
подъемного механизма, |
наибольшая |
грузоподъемность |
которого |
Р = |
= 40 кН. Длина пролета / = |
4 м. Определить размеры профиля балки, |
если для материала балки |
[о"и] == |
100 н/мм2 . Расчет |
произвести |
для |
случая, когда |
механизм |
с грузом находится |
в середине |
пролета. |
|
Рис. 229. Двутавровая балка под |
Рис. 230. Схема для расчета |
вижного механизма |
балки |
1. Общая схема решения.
Известна схема нагружения балки, следовательно, можно опреде лить опасное сечение и величину изгибающего момента в нем. Поскольку также известно допускаемое напряжение, то задача сводится к опре делению W по формуле проектного расчета. Для стандартного профиля
(двутавра), зная |
W, можно по справочнику определить соответствующий |
размер |
профиля |
балки. |
|
|
2. |
Определение опасного сечения и величины изгибающего момента |
в нем. |
|
|
|
|
Представив |
конструкцию в виде |
упрощенной расчетной |
схемы |
(рис. 230) и применив метод сечений, |
легко определим, что |
опасное |
сечение в середине пролета и момент в этом сечении
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р-1 |
|
40-4000 |
= |
, |
1 П , |
„ |
|
|
|
Ми = —-.— = |
|
-. |
|
|
4 • 104 |
кН • мм. |
|
|
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
3. Определение необходимого профиля двутавра. |
|
Из формулы |
проектного |
расчета |
|
|
^ [сти] |
определим |
|
После подстановки числовых данных получаем W |
4-105 мм3 . Рацио |
нальное расположение |
профиля |
такое, |
|
как на рис. 216, а. |
При этом |
ось г — г нейтральная |
(в справочнике ось х — х). Вычисленной мини |
мальной величине W = 4 • 105 мм3 по справочнику соответствует двутавр |
№ 27а, у которого |
Wx |
= 4,07-105 м м з _ |
|
|
|
|
|
З а д а ч а |
34. Определить |
опасное |
|
сечение и |
величину |
изгибаю |
щего момента в нем для балки, |
нагруженной |
по схеме рис. 231, а. |
Для решения задачи надо применить метод сечений, предварительно |
определив реакции |
в |
опорах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Отбрасываем |
связи |
|
(опоры) и заменяем их действие |
реакциями |
(рис. 231, б). Определяем |
величины реакций, |
решая уравнения равно |
весия: |
|
|
|
|
%мА=о. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— RB -4a + P-3a + 3P-2a = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
RB=-~P. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£ Л 1 В = 0 . |
|
|
|
|
|
|
RA-4a |
|
— З Р - 2 а — Р - а = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
^ |
= |
4 - Р . |
|
|
|
Проверка: |
|
|
|
Е Р у |
= |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- ^ Р |
|
+ " 4 ~ Р - З Р - Р = |
0 - |
|
|
Правильность определения |
реакций |
подтверждается. |
|
2. Изображаем схему балки (рис. 231, в) со всеми силами, включая реакции, и применяем метод сечений. Линии действия сил являются границами участков. Будем интересоваться сечениями, в которых при ложены силы. Порядок рассмотрения сечений может быть любой и в каждом случае можно рассматривать равновесие как левой, так и правой частей. Поскольку влиянием поперечной силы мы условились пренебрегать, достаточно вместо всех условий равновесия выяснить лишь равновесие моментов.
Определить изгибающий момент в интересующем нас сечении — это значит подсчитать сумму моментов всех сил, расположенных либо
Получаем Мц
справа, либо слева от этого сечения. Ведь именно эту сумму моментов должен уравновесить возникающий в сечении момент внутренних сил упругости.
Пронумеруем |
сечения, |
п |
|
|
" |
" |
" |
" |
в. |
как показано на рис. 231, |
|
Ясно, что момент в сечении |
/ |
|
удобнее |
рассматривать |
как |
|
сумму моментов сил, распо |
|
ложенных |
в |
сечении |
слева. |
|
Поскольку |
таких |
сил |
нет, |
|
то ясно, |
что Л4\ = |
0. |
Точно |
|
также для |
сечения |
IV, |
рас |
|
смотрев сумму моментов сил, |
|
действующих |
от |
сечения |
|
справа (таких сим нет), полу |
|
чаем Miv= |
|
0. |
|
|
|
|
|
В сечении / / момент оп ределим как сумму моментов всех сил, действующих слева.
7
=—£- Р х
Х2а=-7^- |
Р-а. |
|
В |
сечении |
/ / / момент |
подсчитаем |
как |
сумму мо |
ментов |
всех |
сил, |
действую |
щих слева: |
|
|
А |
|
В |
|
2а |
|
|
а) |
|
|
ЗР |
|
Ял |
|
|
|
2а |
|
|
S) |
|
7АР |
ЗР |
SAP |
|
|
|
Ш |
W |
Мш |
= - - Р - З а - З Р |
а = |
|
|
4 |
|
|
|
|
- |
9 |
Р. |
а. |
|
Очевидно, что рассмотрев сум |
му моментов всех сил, дейст |
вующих |
справа, |
мы |
полу |
чили |
бы |
ту |
же |
величину |
9/4 Р-а. |
|
|
|
|
В |
приведенных |
выше |
уравнениях |
положительным |
изгибающим |
моментом ус |
ловно |
считали тот, который |
возникает при прогибе балки |
Рис. 231. Определение опасного сече |
выпуклостью вниз (т. е. сжа |
тые волокна наверху). |
|
|
ния: |
3. Строим эпюру |
изги |
а — исходная схема нагружения балки, б, |
бающих |
моментов |
(рис. |
в — силы, |
приложенные к балке, г — эпю |
231, г), изображая их в виде |
ра |
изгибающих моментов |
отрезков |
в выбранном |
мас |
|
|
штабе. Ординаты моментов с положительным знаком откладываем
вверх от осевой линии эпюры. |
Концы отрезков соединяем |
прямыми |
линиями, ибо изменение момента на участках могло |
быть прямолиней |
ным: ведь при неизменных силах |
изменились лишь |
плечи. |
|
По эпюре видим, как изменяются моменты по длине балки. Опас |
ным сечением будет сечение / / / и |
момедт в нем равен 9/4 |
Р-а. |
§ 151. Упражнения и вопросы для повторения
1. Заполнить приведенную ниже таблицу сравнительной харак теристики деформаций растяжения и изгиба.
Характеристики
Схема нагружения бруса (балки)
Внутренний силовой факт, приводящий к напряжениям
Характер распределения деформаций по сечению
Вид напряжения (нормальное, касатель ное)
Геометрическая величина, характеризую щая способность сечения сопротив ляться деформации
Расчетная формула для определения мак симальных действительных напряжений
Изгиб (чистый) Растяжение
2.Чем отличается характер деформации в деталях, изображенных на рис. 232, а и б?
3.Приведите примеры деталей, испытывающих в работе сложное
|
|
сопротивление. |
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Какие |
внутренние |
силовые |
фак |
|
|
торы |
возникают |
в |
поперечном |
сечении |
|
|
балки при |
чистом |
изгибе? |
при |
попереч |
|
|
ном |
изгибе? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
В чем различие между распределе |
|
|
нием нормальных напряжений в сечении |
|
|
при |
изгибе |
и при |
растяжении? |
|
|
|
|
6. |
Какие зоны существуют в продоль |
|
|
ном |
сечении |
изогнутого |
бруса? |
|
|
|
|
7. |
В каких |
точках |
поперечного |
се |
|
|
чения напряжения при изгибе будут |
|
|
наибольшими? |
|
|
|
|
|
|
|
i |
8. |
Как |
подсчитывается |
величина дей |
|
ствительных |
максимальных |
напряже |
|
б) |
ний с т т а х при изгибе? |
|
|
|
|
|
9. |
ЧТО |
|
такое |
«эпюра |
изгибающих |
Рис. 232. Два случая на |
|
моментов» |
и |
с |
какой |
целью ее строят? |
пряженного |
состояния: |
|
10. |
Что |
такое |
продольный |
изгиб? |
а — сжатие, |
б — продоль |
|
11. |
Какие существуют виды |
сложных |
ный |
изгиб |
сопротивлений? |
|
|
|
|
|
|
