Файл: Волков Е.Б. Основы теории надежности ракетных двигателей.pdf

Многомерные моменты (1.58)

и (1.59) называются ц е н т ­

р а л ь н ы м и ,

если Ci = f.ii. Широкое использование находит дву­

мерный центральный момент первого порядка

( i -бЗ)

где

Oij — обозначение, называемое

к о в а р и а ц и е й

и tj.

При i—j из соотношения (1.63)

следует выражение для цент­

рального момента второго порядка

(дисперсии)

случайной вели­

чины U(tj):

м [(*/ — Рт)2]=

°и =

(1• 64)

где

а] — обозначение

дисперсии Оц. Значение

oi=

‘j/"°/

имеет

специальное

название — с р е д н е е

к в а д р а т и ч е с к о е

от­

к л о н е н и е

случайной величины ti.

Из неравенства

Коши-Бу-

няковского [22] можно заключить,

что а2,<С а^°2

и,

следова­

тельно, отношение

Qij = JU-

>

(1-65)

0i°j

называемое к о э ф ф и ц и е н т о м

к о р р е л я ц и и f* и tj,

изме­

няется в

пределах —l^ Q ij^ l .

Для

независимых

случайных

величин ti

и tj величины

Oij = Qij — 0.

Рассмотрим случайный вектор tN=(t\, t2, ..., tN). Среднее

значение ц,- его компонентов образуют вектор средних

p,jv=(|.ii,

Ц2, • • •, i-ijv). Каждая из величин ti

имеет ковариации Oi.i(/=l, N)

с остальными из N—1

величин, причем Oii= Oj2. Набор

огц и на­

бор Qij при г'= 1, N, /=

1, N образуют ковариационную и корреля­

ционную матрицы (таблицы)

||oiy.|| и ||q/;-||:

3 l 3123 13---3lAr

1 Sl2 0X3'

•Q iw

a 2la232 3 " ,3 2Ar

Q21 1 623-

• 62W

l K y l l =

; |l e , y l l =

aN l aN 2° N s - ■Д у

б д ц Qn z ■•. 1

Здесь

Oij= OiOjQ{j.

(К 67)

1. 1.8. Среднее значение и дисперсия

функции случайных аргументов

Пусть z = <p(t{, t2, ...,

^jv) = q>(/jv)— некоторая

функция, не­

прерывная по tj, i= 1, N,

где ti — непрерывные случайные вели­

чины; tN= (t\, i2, ..., tx ) .

Для случайной

величины

z = ср(-)

требуется

найти

среднее

значение рг = М[ср(•) ]

и дисперсию сг22.

Тогда из

общих

соотно­

шений (1.62) и (1.64)

можно получить

СО

СО

jV

(1. 68)

Рг = Л4 [<р(7дг)]= [. . .

f /(г/л^ЖЫ П dyt\

°I= •— JСО

— — JСО

/ й ы и ы -!*■«]*/ Пв з 1

diJi-

с1-69)

Если ti — дискретные случайные величины, то

= м [<р(7дг)]= 2

2

• • • 2

? Ш р Ы ;

(1-70)

*1

V3

Чдг

= 2 2 • ■• 21 fo ( ж —ы 2 р ы)<

•»!

Va

М [ср(0]>?(^),

если

^ 0 > 0 ,

(1.71)

и

Л* [<р (01 < <Р(Iх).

если

atz

< 0.

М г= М ['р(^1,^2,--., ^v)] ~ '?(liii ^ i'-mН-лОт" Ai + А2:

(I - 72)

° 1 = м i[c p (o -^ ]2)

6m + a; + a;.

(i.73)

i = l

чины ti, z = y ( tu

tN) ;

Ь1 =

М й \

;

(1.74)

‘

dti

‘1г н

дг, а; и д2) д'

— поправки на нелинейность функции ср(-) и за­

висимость случайных величин U.

и Д2,

Д2

оправдывается тем, что

Это название величин Ai,

Д[

^

N

где cii — некоторые константы,

и когда, кроме того, t{

независи­

мы [см. соотношение

(1.45)], то справедливо равенство Ai=Ai =

= А2=А2=0. В общем случае приближенно

1 V i

/d2<?(-)\

2.

д _

.

Лх_ 2

( dt*

‘ ‘

2

4*4 [dtfitjJ'rW r*]

1

/-1

1

‘<1

(1.75)

N

,. +

V

( s3 l ( J \

(1.76)

i ' = -1L 'V ( e i < j y

A 1i = - 2

i f I ,

, T 4 j y t i » l l ) ‘r ’-f ‘ГЧ ’

a; = 2 21*m

w

(1.77)

i < J

Вместо обозначения

^ в выражениях (1.75) — (1.77) можно

i<j

Л’- l N

использовать также

^шя

"V .

1=1

]=1+1

и

2Г1'='?1(^Л."-.*ЛГ1, $!,

5*)

(1-78)

г 2 = ?2^11 ^■••1

7л Z21---1 Хс)|

(1• 79)

где N ]^ . N 2 (так, ч т о

аргументов — общие), k

и

с — число

аргументов вида ^

и

а £г- и %,• — независимы.

Тогда

можно

показать, что коэффициент корреляции между z t и z2

6 z,z

' (^11 ^2 1а?~Ь h 2 h% 32“Ь

( 1• 50)

г, Za

где aZi и зг2 — средние

квадратические

отклонения

случайных

величин ф1 (-)

и фг(-)>

определяемые из соотношения

(1.73).

При этом

d?i (•)

д <?2 (•)

при i = \ , N 1.

( 1. 81)

Ь1/

dti

/,

h i

Ч v-i

dti

1.1.9. Среднее значение и дисперсия

условных случайных величин

Условные

случайные

величины

вида

U\t\ = х \,...;

ti-i=Xi~\,

( Vixf (U.N-

Л-Д'-l) (lUN

(1.82)

— CO

а ее дисперсия

/ ( Х \ , Х ч , . . . , X N —i )

•; tДГ—!— Л'дг-

(1.83)

°лг|1,2... x -i = M

— (J'.v|.v,....x x_ ^

l/Ii ==-

Для дискретного случайного вектора tN

хх _ г = М [^/у | -Д;...; /Д- i = Л'лг- J =-

bN

v,v р (tN = V,v; ti = Л'ь...: /д'-i = Л-Д'-О

v

wN =nN______________________________________

(1.84)

Условное среднее Р/Vi.v„...,,vу_,

называется

также

ф у н к ­

цией

р е г р е с с и и величины

tN

на tь /г,...,

tN-\. В

случае

когда

{Ajv|jt,... a-v_ выражается в виде

N-1

(1.85)

P - .V I- r ......... Л д - ___ 1=

?0 +

^ ? / Л '/>

1-1

случайной величины Д-/Д = л'j; ... ;

Cy- i= *.y- i была минимальной.

С этой целью находится

min М

JV-1

t±—Дц• ■■> ^

X.N—

(1.86)

iN —

Ро 4" 'V, Piti

Ро» Pf

Обозначим

через

3*, 3[,...ф]у_1

коэффициенты,

доставляющие

быть вычислены,

если известны вектор средних цд и ковариаци­

онная матрица llcTijll

случайного вектора

Соответствую­

щие выражения имеют вид [81]:

Рд==Pw — 2

Р*!1/!

Р ; = 2 a(b)JjN ПР11 t , j = \ , N — 1, (1-87)

i-1

/=1

где olJV)

и cfjjv — элементы

матрицы

Ца'^Ц и

матрицы Нст^-П,

||3(Л')|| — матрица,

обратная

к ковариационной

матрице

||а^||,

в которой г = 1, N,—1;

/= 1, N—1

(N-я строка и N-й столбец вы­

черкнуты) .

элементов

oij

матрицы

||сгД|, обратной

Для

вычисления

к ||о,-j||, используется соотношение

qU=

( 1. 88)

Здесь

а\

а 1 2 ” - а 1N

°21

°2

• • • a 2/V

— определитель матрицы ||а,-;.||;

(1.89)

^лп-г,... xN_^= i v +

Аг—1

(1.90)

^

V (•*,• —i\-);

/= 1

®V|1,2......Л '-1 =

3ЛГ ( 1 ~

S7v|I,2,...,Ar- l ) '

(1.91)

Здесь

02

=

J ____!Д / I

-

(1.92)

ЦЛ/-|1,2,...,ЛГ-1

1

,

(ЛГ)|

2 >

IаЧ I V

где | сг,-jV) | — определитель

| сгг-j |

с

вычеркнутой

TV-й строкой и

N-u столбцом.

Выражения

(1.90) — (1.92) называются соответственно

сред­

ней квадратической регрессией tN на tu t2, ..., V -i,

минимальной

дисперсией случайной величины

tNjt\ = Xi\ ...;

V - i= a'.v- i

(или

средней квадратической остаточной дисперсией tN

на лгь дг2, -..,

= р-аЧ-ех я (-«1— h-i); aI |i= al ( 1 — е?2)-

П-93)

ным значением корреляции между tN и {tu

V -i), причем

0 ^ 6 jv|i,2......w-i=£7l. Из соотношения (1.92)

следует [81], что