Добавлен: 12.04.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
3.1.2. Абсолютно неупругий удар
Удар материальной точки о неподвижную поверхность
Прямой удар материальной точки о неподвижную поверхность
Косой удар материальной точки о неподвижную поверхность
Теорема о движении центра масс системы материальных точек при ударе
Прямой центральный удар двух абсолютно твердых тел
Рассмотрим атт массы м, закрепленное в точке о подпятником, а в точке в – подшипником (рис. 4).
Учитывая, что в данном случае, а, из формулы [6]
Условия отсутствия ударных реактивных импульсов атт, вращающегося относительно неподвижной оси
, и в первом приближении не зависит от остальных параметров тел (формы, скорости и т. п.).
Если неизвестны потери энергии, либо происходит одновременное столкновение нескольких тел или столкновение точечных частиц, то определить однозначно движение тел после удара невозможно. В этом случае рассматривается зависимость возможных углов рассеяния и скоростей тел после удара от начальных условий. Например, при столкновении двух элементарных частиц рассеяние может произойти лишь в некотором диапазоне углов, определяющемся предельным углом рассеяния.
В общем случае решение задачи о столкновении кроме знания начальных скоростей требует дополнительных параметров.
Абсолютно упругий удар — модель ударного взаимодействия (соударения), при которой полная кинетическая энергия системы сохраняется. В классической механике при этом пренебрегают деформациями тел. Соответственно, считается, что энергия на деформации не теряется, а взаимодействие распространяется по всему телу мгновенно. Хорошим приближением к модели абсолютно упругого удара является столкновение бильярдных шаров или упругих мячиков.
Математическая модель абсолютно упругого удара работает с учетом следующих принципов [3, 6]:
Для математического описания абсолютно упругих ударов, расчета конечных скоростей после удара используется закон сохранения энергии
(
- массы первого и второго тел, 
- скорость первого тела до, и после взаимодействия, 
- скорость второго тела до, и после взаимодействия) и закон сохранения импульса. При этом все импульсы складываются векторно, а энергии скалярно.
Зная начальные скорости и массы из законов сохранения можно вывести конечные скорости после столкновения [6]:
; 
.
Абсолютно упругий удар элементарных частиц, как частный случай, может выполняться совершенно точно при столкновениях элементарных частиц при низких энергиях. Это является следствием принципов квантовой механики, запрещающей произвольные изменения энергии системы. Если энергии сталкивающихся частиц недостаточно для возбуждения их внутренних степеней свободы — перевода энергии частицы на верхний соседний дискретный энергетический уровень, то механическая энергия системы не меняется. Изменение механической энергии может также быть запрещено какими-то законами сохранения (момента импульса, чётности и т. п.). Надо, однако, учитывать, что при столкновении может изменяться состав системы. Простейший пример — излучение кванта света. Также может происходить распад или слияние частиц, а в определённых условиях — рождение новых частиц. В замкнутой системе при этом выполняются все законы сохранения, однако при вычислениях нужно учитывать изменение системы.
Абсолютно упругий удар в пространстве, формируется в случае столкновения двух тел в трёхмерном пространстве векторы импульсов тел до и после столкновения лежат в одной плоскости. Вектор скорости каждого тела может быть разложен на две компоненты: одна по общей нормали поверхности сталкивающихся тел в точке контакта, а другая параллельная поверхности столкновения. Поскольку сила удара действует только по линии столкновения, компоненты скорости, векторы которых проходят по касательной к точке столкновения, не изменятся. Скорости, направленные вдоль линии столкновения, могут быть вычислены с помощью тех же уравнений, что и столкновения в одном измерении. Окончательные скорости могут быть вычислены из двух новых компонентов скоростей и будут зависеть от точки столкновения.
Если предположить, что первая частица двигается, а вторая частица находится в состоянии покоя до столкновения, то углы отклонения двух частиц, θ1 и θ2, связаны с углом отклонения
θ следующим выражением [6]:
.
Величины скоростей после столкновения будут следующими [6]:
.
В случае, когда оба тела движутся в плоскости, компоненты x и y скорости первого тела после соударения могут быть вычислена как [6]:
,
где v1 и v2 скалярные величины двух первоначальных скоростей двух тел, m1 и m2 их массы, θ1 и θ2 углы движения, и маленькое Фи (φ)это угол соприкосновения. Чтобы получить ординату и абсциссу вектора скорости второго тела, необходимо заменить подстрочный индекс 1 и 2, на 2 и 1 соответственно.
Абсолютно неупругий удар — ударное взаимодействие, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Его скорость может быть найдена из закона сохранения импульса. Важно отметить, что импульсы являются величинами векторными, поэтому складываются только векторно [6]:
,
где v → {\displaystyle {\vec {v}}} это общая скорость тел, полученная после удара, m a {\displaystyle m_{a}} и v → a {\displaystyle {\vec {v}}_{a}} — масса и скорость первого тела до соударения, m b {\displaystyle m_{b}} и v → b {\displaystyle {\vec {v}}_{b}} — масса и скорость второго тела до соударения. Важно отметить, что импульсы являются величинами векторными, поэтому складываются только векторно [6]:
.
Как и при любом ударе, при этом выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Часть кинетической энергии соударяемых тел в результате неупругих деформаций переходит в тепловую. В случае абсолютно неупругого удара механическая энергия уменьшается на максимально возможную величину, не противоречащую закону сохранения импульса. Данное утверждение можно принять за определение абсолютно неупругого удара в терминах энергии. При помощи теоремы Кёнинга легко показать, что в этом случае тела продолжают движение как единое целое: компонента кинетической энергии, отвечающая за движение центра масс всей системы соударяемых тел, должна остаться неизменной в силу закона сохранения импульса, а кинетическая энергия в системе отсчёта, связанной с центром масс, будет минимальной в том случае, когда тела в ней покоятся.
Наиболее простая модель абсолютно неупругого удара — сталкивающиеся пластилиновые шарики.
Если неизвестны потери энергии, либо происходит одновременное столкновение нескольких тел или столкновение точечных частиц, то определить однозначно движение тел после удара невозможно. В этом случае рассматривается зависимость возможных углов рассеяния и скоростей тел после удара от начальных условий. Например, при столкновении двух элементарных частиц рассеяние может произойти лишь в некотором диапазоне углов, определяющемся предельным углом рассеяния.
В общем случае решение задачи о столкновении кроме знания начальных скоростей требует дополнительных параметров.
3.1.1. Абсолютно упругий удар
Абсолютно упругий удар — модель ударного взаимодействия (соударения), при которой полная кинетическая энергия системы сохраняется. В классической механике при этом пренебрегают деформациями тел. Соответственно, считается, что энергия на деформации не теряется, а взаимодействие распространяется по всему телу мгновенно. Хорошим приближением к модели абсолютно упругого удара является столкновение бильярдных шаров или упругих мячиков.
Математическая модель абсолютно упругого удара работает с учетом следующих принципов [3, 6]:
-
Есть в наличии два абсолютно твёрдых тела, которые сталкиваются. -
В точке контакта происходят упругие деформации. Кинетическая энергия движущихся тел мгновенно и полностью переходит в энергию деформации. -
В следующий момент деформированные тела принимают свою прежнюю форму, а энергия деформации полностью обратно переходит в кинетическую энергию. -
Контакт тел прекращается, и они продолжают движение.
Для математического описания абсолютно упругих ударов, расчета конечных скоростей после удара используется закон сохранения энергии
( - массы первого и второго тел, - скорость первого тела до, и после взаимодействия, - скорость второго тела до, и после взаимодействия) и закон сохранения импульса. При этом все импульсы складываются векторно, а энергии скалярно. Зная начальные скорости и массы из законов сохранения можно вывести конечные скорости после столкновения [6]:
;
.
Абсолютно упругий удар элементарных частиц, как частный случай, может выполняться совершенно точно при столкновениях элементарных частиц при низких энергиях. Это является следствием принципов квантовой механики, запрещающей произвольные изменения энергии системы. Если энергии сталкивающихся частиц недостаточно для возбуждения их внутренних степеней свободы — перевода энергии частицы на верхний соседний дискретный энергетический уровень, то механическая энергия системы не меняется. Изменение механической энергии может также быть запрещено какими-то законами сохранения (момента импульса, чётности и т. п.). Надо, однако, учитывать, что при столкновении может изменяться состав системы. Простейший пример — излучение кванта света. Также может происходить распад или слияние частиц, а в определённых условиях — рождение новых частиц. В замкнутой системе при этом выполняются все законы сохранения, однако при вычислениях нужно учитывать изменение системы.
Абсолютно упругий удар в пространстве, формируется в случае столкновения двух тел в трёхмерном пространстве векторы импульсов тел до и после столкновения лежат в одной плоскости. Вектор скорости каждого тела может быть разложен на две компоненты: одна по общей нормали поверхности сталкивающихся тел в точке контакта, а другая параллельная поверхности столкновения. Поскольку сила удара действует только по линии столкновения, компоненты скорости, векторы которых проходят по касательной к точке столкновения, не изменятся. Скорости, направленные вдоль линии столкновения, могут быть вычислены с помощью тех же уравнений, что и столкновения в одном измерении. Окончательные скорости могут быть вычислены из двух новых компонентов скоростей и будут зависеть от точки столкновения.
Если предположить, что первая частица двигается, а вторая частица находится в состоянии покоя до столкновения, то углы отклонения двух частиц, θ1 и θ2, связаны с углом отклонения
θ следующим выражением [6]:
.Величины скоростей после столкновения будут следующими [6]:
.В случае, когда оба тела движутся в плоскости, компоненты x и y скорости первого тела после соударения могут быть вычислена как [6]:
,где v1 и v2 скалярные величины двух первоначальных скоростей двух тел, m1 и m2 их массы, θ1 и θ2 углы движения, и маленькое Фи (φ)это угол соприкосновения. Чтобы получить ординату и абсциссу вектора скорости второго тела, необходимо заменить подстрочный индекс 1 и 2, на 2 и 1 соответственно.
3.1.2. Абсолютно неупругий удар
Абсолютно неупругий удар — ударное взаимодействие, в результате которого тела соединяются и продолжают дальнейшее своё движение как единое тело. Его скорость может быть найдена из закона сохранения импульса. Важно отметить, что импульсы являются величинами векторными, поэтому складываются только векторно [6]:
,где v → {\displaystyle {\vec {v}}} это общая скорость тел, полученная после удара, m a {\displaystyle m_{a}} и v → a {\displaystyle {\vec {v}}_{a}} — масса и скорость первого тела до соударения, m b {\displaystyle m_{b}} и v → b {\displaystyle {\vec {v}}_{b}} — масса и скорость второго тела до соударения. Важно отметить, что импульсы являются величинами векторными, поэтому складываются только векторно [6]:
.Как и при любом ударе, при этом выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения момента импульса, но не выполняется закон сохранения механической энергии. Часть кинетической энергии соударяемых тел в результате неупругих деформаций переходит в тепловую. В случае абсолютно неупругого удара механическая энергия уменьшается на максимально возможную величину, не противоречащую закону сохранения импульса. Данное утверждение можно принять за определение абсолютно неупругого удара в терминах энергии. При помощи теоремы Кёнинга легко показать, что в этом случае тела продолжают движение как единое целое: компонента кинетической энергии, отвечающая за движение центра масс всей системы соударяемых тел, должна остаться неизменной в силу закона сохранения импульса, а кинетическая энергия в системе отсчёта, связанной с центром масс, будет минимальной в том случае, когда тела в ней покоятся.
Наиболее простая модель абсолютно неупругого удара — сталкивающиеся пластилиновые шарики.
