Файл: Реферат Тема Теория удара План реферата Введение.docx

---

Теорема о движении центра масс системы материальных точек при ударе

Поскольку количество движения СМТ равно произведению массы CМТ на скорость центра масс СМТ, то уравнению (8) можно придать иную форму [6]:

, (10)

где М – масса СМТ, а – скорости центра масс СМТ в начале и в конце удара.

Уравнение (10) представляет выражение теоремы о движении центра масс СМТ при ударе:

Теорема: Изменение при ударе количества движения центра масс СМТ, в котором сосредоточена вся ее масса, равно геометрической сумме импульсов всех внешних ударных сил, действующих на СМТ.

Из уравнения (10) видно, что внутренние ударные импульсы, возникающие, например, при столкновении тел, входящих в состав данной СМТ, не изменяют скорости центра масс этой СМТ.

Проектируя обе части равенства (10) на координатные оси, получим [6]:

(11)

Из соотношений (11) следует, что изменение за время удара проекции на какую-нибудь ось количества движения центра масс СМТ, в котором сосредоточена вся ее масса, равно сумме проекций на ту же ось импульсов внешних ударных сил, действующих на СМТ.


Теорема об изменении кинетического момента системы материальных точек при ударе

Рассмотрим основное уравнение теории удара для -й МТ рассматриваемой СМТ [6]:

.

Обозначим радиус-вектор -й точки СМТ относительно начала О инерциальной системы координат через . Положение-й точки за время удара не изменится, а следовательно, за это время не изменится и ее радиус-вектор .

Составив такие же уравнения для всех n МТ рассматриваемой СМТ, а затем умножив обе части равенства векторно слева на радиус-вектор

---

и сложив их почленно, получим [3, 6]:



Введем следующие обозначения:

–кинетический момент СМТ относительно центра О до удара,

–кинетический момент СМТ относительно центра О после удара.

Так как внутренние ударные импульсы равны по модулю и противоположны по направлению, то геометрическая сумма их моментов относительно любого центра равна нулю. Поэтому полученное уравнение с учетом обозначений примет вид [6]:

или .(12)

Это уравнение представляет выражение теоремы об изменении кинетического момента СМТ при ударе.

Теорема: Изменение за время удара кинетического момента СМТ относительно какого-нибудь неподвижного центра равно геометрической сумме моментов импульсов внешних ударных сил, действующих на СМТ, относительно того же центра.

Проектируя соотношение (12) на координатные оси, получим скалярную форму теоремы об изменении кинетического момента при ударе [3, 6]:

(13)

Из соотношений (13) следует, что изменение за время удара кинетического момента СМТ относительно какой-либо неподвижной оси равно сумме моментов импульсов внешних ударных сил, действующих на СМТ, относительно той же оси.

---

Прямой центральный удар двух абсолютно твердых тел

Определение: Удар двух абсолютно твёрдых тел (далее – АТТ), при котором общая нормаль к поверхностям АТТ в точке их соприкосновения проходит через их центры масс и скорости центров масс АТТ в начале удара направлены по этой общей нормали, называется прямым центральным ударом.

Рассмотрим прямой центральный удар двух поступательно движущихся АТТ с массами m₁ и m₂ . Обозначим скорости центров масс этих соударяющихся АТТ в начале удара через , а в конце удара – через .

Если второе АТТ находится впереди первого и , то первое АТТ нагонит второе и произойдет явление рассматриваемого удара (рис. 3).

Рис. 3 [6].

Задача о прямом центральном ударе двух АТТ состоит в том, чтобы, зная массы АТТ, скорости центров масс этих АТТ в начале удара и коэффициент восстановления, определить, во-первых,скорости центров масс АТТ в конце удара и, во- вторых, ударный импульс. Для решения этой задачи применим теорему об изменении количества движения СМТ к системе двух соударяющихся АТТ.

Действующими на эту систему ударными силами будут реакции в точке удара, являющиеся силами внутренними. Внешних ударных сил нет, поэтому сумма внешних ударных импульсов в данном случае равна нулю и уравнение (8) примет вид [6]:

или ,

то есть количество движения СМТ в начале и конце удара одинаково.

---

Проектируя обе части этого векторного равенства на ось С₁x положительное направление на которой будем считать от С₁ к С₂, получим [6]:

. (14)

В этом уравнении две неизвестных скорости . Следовательно, чтобы определить эти неизвестные, надо найти второе уравнение, которое получим, если задать дополнительно коэффициент восстановления . При соударении двух тел интенсивность удара (ударный импульс) зависит не от абсолютного значения скорости каждого из АТТ, а от того, насколько скорость ударяющего АТТ превышает скорость ударяемого, т. е. от разности . Поэтому при ударе двух АТТ, если учесть, что , а , получим [6]:

,

Отсюда находим [6]:

. (15)

Решая систему двух уравнений (14) и (15), получаем [6]:

(16)

Для определения ударных импульсов , действующих на соударяющиеся АТТ при ударе, применим теорему об изменении количества движения СМТ только к одному из АТТ, например, к первому. Тогда внутренний ударный импульс в СМТ станет внешним ударным импульсом по отношению к первому АТТ и мы получим [6]:

,

---