После проведения N испытаний определяется приближённое значение искомой вероятности

.

Описанная процедура не требует запоминания всех случайных чисел, извлекаемых в процессе счёта. По ходу вычисления запоминаются только число испытаний N и число удачных испытаний m.

Для того, чтобы метод статистических испытаний можно было считать практически приемлемым, необходимо оценить точность равенства (3) и на этом основании определить число испытаний N для вычисления интеграла (1) с достаточной точностью. Представление о точности можно получить, рассматривая , как случайную величину. Она имеет математическое ожидание



и дисперсию

.

Поэтому средняя квадратичная ошибка равенства (3) будет равна

.

Легко видеть, что максимум достигается при P = 0,5.

Обсудим вопрос о точности метода более подробно. Равенство (3) имеет точность  с надежностью , если для неравенства справедливо соотношение

. (6)

Смысл соотношения (6) можно пояснить на примере. Пусть =0,01; =0,95. Тогда при систематическом употреблении формулы (3) можно утверждать, что в среднем в 95 случаях на 100 испытаний приближенное значение искомой вероятности будет отличаться от её истинного значения p не более как на 0,01.

Свяжем величины  и  с числом испытаний N. Первую ориентировку в этом вопросе можно получить из неравенства Чебышева, справедливого для любой случайной величины. В наших обозначениях оно имеет вид

---

(54)
. (7)

Сопоставляя это выражение с (6), можно принять

.

Если подставить теперь вместо его значение из (5), получим

.

Отсюда

. (8)

В соответствии с (8) можно вычислить число испытаний N, если заданы ,  и P. Например, если мы хотим, чтобы с надёжностью =0,95 погрешность  не превышала 0,01 при P=0,5, необходимо выполнить не менее N=50 000 испытаний.

Формула (8), полученная на основании неравенства Чебышева, даёт сильно завышенное значение N. Более точную оценку для N можно получить в том случае, если использовать закон распределения случайной величины из равенства (6). Величина имеет (при N) асимптотически нормальное распределение. На этом основании при больших N равенство (6) можно записать в виде:

,

где t_ – величина критического интервала, которая выбирается из таблиц нормального распределения по заданной надёжности . Сравнивая это соотношение с (6) мы видим, что , или

.

Отсюда можно определить значение N:

(9)

Для того, чтобы наглядно представить порядок величины N, обеспечивающей заданную точность, положим, как и прежде, =0,95 и вычислим N для различных значений p и . Результаты расчёта даны в таблице 1.

---

Значения N при =0,95 и различных p и 

p		
		0.05	0.01	0.005	0.001
0.1	0.9	140	3600	14000	360000
0.2	0.8	250	6200	25000	620000
0.3	0.7	330	8400	33000	840000
0.4	0.6	380	9400	38000	940000
0.5		390	9800	39000	980000

Из таблицы видно, что при увеличении точности (т.е. уменьшении ) существенно увеличивается необходимое число испытаний N. Это является одним из ограничений применимости данного метода. Его целесообразно применять для решения тех задач, где требования к точности не являются слишком жёсткими. На практике определение N затрудняется тем, что не всегда известно значение Р.

Допустимо в целях оценки N вместо Р брать частоту . Для этого выполняются следующие операции:

1) Сначала выбирается N=N₀ (например для Р=0,1).

2) Затем, после N₀ испытаний вычисляется и по формуле (9) уточняется значение N.

3) Если NN₀, то проводятся дополнительные испытания. В случае, когда после дополнительных испытаний происходит изменение , то уточнение значения N необходимо продолжить. Можно также пользоваться максимальным значением N при р=0,5.

Пусть требуется вычислить интеграл:

(10)

причём подынтегральная функция удовлетворяет условию

---

0g(x)1 (11)



Будем рассматривать на плоскости две области:

1)

2) Область  ограничена кривой y=g(x), осью ОХ и ординатами х=0; и х=1. Легко видеть, что величина интеграла I в точности равна площади S_ области , а площадь S_=1. Зададим в области  равномерное распределение случайной точки (,). Совместная функция плотности f(x,y) случайных величин  и  в области  равна единице. Вероятность попадания точки (,) в область  равна:



Проводим эксперимент по генерации значений координат точки (,): (X_i,Y_i). Если появившаяся точка (X_i,Y_i) принадлежит области , то испытание будем считать удачным. После проведения N испытаний подсчитаем число удачных испытаний и вычислим частоту попадания случайной точки (,) в область :



При N .

По данному алгоритму отметим два замечания:

1. 
   по получению координат X_i,Y_i. Обычно имеется одномерная совокупность случайных чисел с равномерным распределением (0,1). Будем выбирать из этой совокупности пары последовательных чисел и будем считать их координатами X_i,Y_i случайной точки. Точки с такими координатами будут иметь равномерное распределение в области ;
   
2. 
   по способу проверки факта попадания случайной точки в область . Для этого используется неравенство:
   

yg(x) (13)

Предположим теперь, что необходимо вычислить интеграл:

(14)

в конечных пределах (a,b). Обозначим наибольшее и наименьшее значения h(x) на (a,b) соответственно M и L. Заменой переменных X=a+(b

---

–a)Z и изменением масштаба по оси h(x) преобразуем интеграл (14) к виду:





Введём обозначения:

(M–L)(b-a)=S_

L(b–a)=S₀



Тогда: I=S_I^*+S₀, где

Таким образом, мы свели вычисление интеграла (14) к случаю (10) (где )

В разделе 4-й этап построения модели – проведение эксперимента мы отмечали следущее. «Экспериментальное исследование состоит в том, по крайней мере, из трёх разделов. 1.Измерение. 2.Аналитическое описание. 3.Феноменологическое описание результатов.». Рассмотрим первый раздел более подробно.
Классификация измерений

Измерения являются средством получения информации о свойствах физических объектов, о закономерностях протекающих процессов и т.д.

Измерение (согласно ГОСТ 16263-70) – это нахождение физической величины опытным путём с помощью специальных технических средств. Измерение – это операция, посредством которой определяется отношение измеряемой величины к другой однородной величине, принимаемой за единицу. Выражающая это отношение величина называется численным значением измеряемой величины.

Различают три наиболее общих метода измерений:

1. Прямые.

2. Косвенные.

3. Совокупные.

Эта классификация важна, т.к. каждая её категория связана с определённым способом обработки данных. Согласно ГОСТ 16263-70, совокупные измерения позже стали делить на собственно совокупные и совместные. При прямых измерениях объект исследования приводят во взаимодействие со средством измерений и по показаниям последнего отсчитывают значение измеряемой величины. Показания прибора могут умножаться на некоторый коэффициент, могут вводиться поправки и т.д. При косвенных измерениях искомое значение измеряемой величины находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами-аргументами. Аргументы находят прямыми или другими способами измерений. Например,

---

Смотрите также файлы

• Выполнение практических заданий по дисциплине деловая этика.doc

• Предприниматель обращается к налоговому инспектору На каком основании вы наложили штраф. Инспектор Давайте разберемся. И, используя документы, разъясняет причину штрафа.docx

• Лекция 1. Инклюзивті білім беру пні 1 Инклюзивті білім беруді мні 2 Инклюзивті білім беру пніні масаты мен міндеті.docx

• Опорный конспект тема инженерное оборудование и маскировка позиций вопросы занятия.docx

• Сценарий праздника Гордимся славою Героев.docx