Файл: Конспект лекций для магистрантов специальности 6М070200 Автоматизация и управление.doc

Таким образом, в этом примере Lзн = 4
Критерий Кохрена используют при сравнении трёх и более выборок одинакового объёма n. Расхождение между дисперсиями считается случайным при выбраном уровне значимости p, если:

где  — квантиль случайной величины G при числе суммируемых дисперсий m и числе степеней свободы f = n − 1.
Критерий Кохрена применяется для проверки воспроизводимости опытов (для проверки гипотезы воспроизводимости опытов):

, (5.8)

т.е. расчетное значение GP определяется как отношение наибольшей из оценок дисперсий к сумме всех найденных оценок дисперсий.

Если расчетное GР > GТАБ, то дисперсии неоднородны, т.е. значения Y не подчиняются нормальному закону распределения, а опыты невоспроизводимы). - наибольшая из оценок выборочных дисперсий;

n0 – общее число сравниваемых дисперсий (количество параллельных (дублирующих) опытов);

- сумма всех оценок дисперсий. Количество опытов в серии должно быть одинаковым, в противном случае можно воспользоваться критерием Бартлетта. Необходимо знать: n0 и число степеней свободы f = n0 - 1. Если опыты невоспроизводимы, то можно попытаться выявить и устранить источники невоспроизводимости (помехи), увеличить точность измерения и т.п. Если воспроизводимость не может быть обеспечена, то и результаты эксперимента не могут быть использованы для дальнейшей математической обработки. Например, (см. таб.) рассмотрим эксперимент, состоящий из трех серий (m = 3) по два параллельных опыта (n0 = 2). В них выход Y зависит от двух факторов X1 и X2.



Расчетное значение критерия Кохрена GР = 1.28/2.5 = 0.51, в таб. (при m = 3 и f = n0 – 1 = 1) находим GТАБ = 0.967, т.к. GР < GТАБ, то опыты воспроизводимы, а оценки дисперсий можно считать однородными.

---

Вычислим также оценку дисперсии воспроизводимости:

=(0.50 + 0.72 + 1.28)/3 = 0.83, с ней связано число степеней свободы f = m(n0 - 1) = 3(2-1) = 3.

Основная литература

1. 
   Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа. 2001
   
2. 
   Авдеев П. Ф. Философия информационной цивилизации. — M.: ВЛАДОС, 1994
   

Дополнительная литература

3. 
   Гроп Д. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979.
   
4. 
   Эйкхофф П. Основа идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975.
   
5. 
   Автоматический расчет t-критерия Стьюдента, сайт http://www.psychol-ok.ru/statistics/student/
   

---

Лекция 6 Оценка статистических показателей(часть2)

Критерий Фишера (F-критерий, φ*-критерий, критерий наименьшей значимой разности) — апостериорный статистический критерий, используемый для сравнения дисперсий двух вариационных рядов, то есть для определения значимых различий между групповыми средними в установке дисперсионного анализа.



Критерий Фишера широко применяется в задачах статистического оценивания. Критерий Фишера предназначен для сопоставления двух выборок по частоте встречаемости интересующего исследователя эффекта. Критерий оценивает достоверность различий между процентными долями двух выборок, в которых зарегистрирован интересующий нас эффект.
Критерий Фишера. Используется у нас для проверки адекватности уравнения регрессии. Расчетное значение критерия Фишера определяют, как:

(6.1)

Оценка остаточной дисперсии (дисперсии адекватности) рассчитывают по формуле: - значения Y, рассчитанные по уравнению регрессии на основе значимых коэффициентов. Если выполняется условие , уравнение регрессии адекватно описывает экспериментальные данные. определяется при известных значениях степеней свободы f1 для числителя и f2 для знаменателя.

f1 = n – LЗН и f2 = n0 – 1.

Обычно используют уровень значимости р=0,05.

Выборочный коэффициент корреляции [См.1, стр.121]:

или

Рассмотрим пример на Mathcad, для данных приведенный в [1, стр.164].

---

Таким образом, адекватность полученных математических моделей статики может проверяться проверялась по критерию Фишера. Дополнительно для этого может быть использован более удобный т.н. критерии пригодности приближения [5] R-квадрат (коэффициент детерминации), используемый для оценки точности нелинейных моделей. Критерий R-квадрат может принимать значения только от нуля до единицы и чем ближе он к единице, тем лучше параметрическая модель приближает исходные данные.

Коэффициент детерминации (R²) — это доля объяснённой дисперсии отклонений зависимой переменной от её среднего значения. Зависимая переменная объясняется (прогнозируется) с помощью функции от объясняющих переменных, в частном случае является квадратом коэффициента корреляции между зависимой переменной и её прогнозными значениями с помощью объясняющих переменных. Тогда можно сказать, что R² показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием объясняющих переменных.

Формула для вычисления коэффициента детерминации:



где y_i — наблюдаемое значение зависимой переменной, а f_i — значение зависимой переменной предсказанное по уравнению регрессии -среднее арифметическое зависимой переменной.

Для его определения вначале вычисляется критерий SSE (Sum of squares due to error) - сумма квадратов ошибок по формуле:

,

где w_k - веса (у нас они не заданы, и считаются равными единице);

y_k - экспериментальные (исходные) значения данных для каждого опыта;

- расчетные (предсказанные) значения данных для каждого опыта, получены по формуле (1);

n - количество экспериментальных значений (например, n=20).

Критерий R-квадрат (обозначенный ниже как R) определяется как отношение суммы квадратов относительно регрессии SSR к полной сумме квадратов (SST), т.е.:



где - среднее значение экспериментальных (исходных) значения данных.

Близость полученных значений критерия R-квадрат к единице

---

говорит о высокой точности описания эксперимента, например, выражением вида (2.2). Обычно приемлемыми для практики считают значения критерия R-квадрат выше 0,9.

Данный показатель является статистической мерой согласия, с помощью которой можно определить, насколько уравнение регрессии соответствует реальным данным. Коэффициент детерминации изменяется в диапазоне от 0 до 1. Если он равен 0, это означает, что связь между переменными регрессионной модели отсутствует, и вместо нее для оценки значения выходной переменной можно с таким же успехом использовать простое среднее ее наблюдаемых значений. Напротив, если коэффициент детерминации равен 1, это соответствует идеальной модели, когда все точки наблюдений лежат точно на линии регрессии, т.е. сумма квадратов их отклонений равна 0. На практике, если коэффициент детерминации близок к 1, это указывает на то, что модель работает очень хорошо (имеет высокую значимость), а если к 0, то это означает низкую значимость модели, когда входная переменная плохо "объясняет" поведение выходной, т.е. линейная зависимость между ними отсутствует. Очевидно, что такая модель будет иметь низкую эффективность. Кроме того, о точности аппроксимации результатов эксперимента можно дополнительно судить по значениям суммарных абсолютных и относительных ошибок и анализируя графики сравнения расчетных и экспериментально найденных значений выхода для каждого опыта.

Иногда показателям тесноты связи можно дать качественную оценку (шкала Чеддока):

Количественная мера тесноты связи	Качественная характеристика силы связи
0,1 - 0,3	Слабая
0,3 - 0,5	Умеренная
0,5 - 0,7	Заметная
0,7 - 0,9	Высокая
0,9 - 0,99	Весьма высокая

Функциональная связь возникает при значении равном 1, а отсутствие связи — 0. При значениях показателей тесноты связи меньше 0,7 величина коэффициента детерминации всегда будет ниже 50 %. Это означает, что на долю вариации факторных признаков приходится меньшая часть по сравнению с остальными неучтенными в модели факторами, влияющими на изменение результативного показателя. Построенные при таких условиях регрессионные модели имеют низкое практическое значение.

---