Файл: Конспект лекций для магистрантов специальности 6М070200 Автоматизация и управление.doc

(11.11)

Для этого матрицу ПЭ (см. таблицу 6.2.) надо дополнить фиктивными столбиками, содержащими информацию для , , и (см. таблицу. 611.3.). Например · = = (–1·–1)= +1. При этом дополнительных опытов проводить не надо.

Таблица 11.3 План ПФЭ
№ оп.
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1
2	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1
3	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1
4	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1
5	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1
6	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1
7	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1
8	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

---

Значимость коэффициентов и адекватность уравнения регрессии определяют, как описано выше. После того, как определен окончательный вид уравнения регрессии можно перейти от кодированных переменных к физическим переменным используя уравнения (11.5).

Основная литература

1. 
   Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: Учебное пособие для вузов. - 2-е изд., перераб. и дополненное. -М.: Высшая школа, 1985. -327с.
   
2. 
   Рузинов Л.П. Статистические методы оптимизации химических процессов. -М.: Химия, 1972
   

Дополнительная литература

3. 
   Практикум по автоматике и системам управления производственными процессами: учеб. пособие для вузов /под ред. И.М.Масленникова. -М.: Химия, 1986. -336с.
   

---

Лекция 12 Методы планирования эксперимента (часть 2)

Во многих случаях достаточно рассмотреть всего два уровня факторов, влияющих на производственный процесс. Например, температура проведения химического процесса может быть установлена немного ниже или немного выше заданного уровня, количество растворителя при производстве красителя можно немного увеличить или уменьшить и так далее. Экспериментатор хотел бы установить, влияют ли какие-либо из этих изменений на результат производственного процесса. Наиболее очевидный подход в данном случае состоит в полном переборе комбинаций уровней интересующих факторов. Это отлично сработает, если бы число необходимых опытов в таком эксперименте не росло экспоненциально. Например, если вы хотите провести эксперимент с 7 факторами, то необходимое число опытов равно 2**7 = 128. Чтобы изучить 10 факторов вам потребуется 2**10 = 1,024 опытов. Поскольку для проведения каждого опыта нужна длительная и дорогостоящая перенастройка, то на практике часто нереально ставить столь большое число опытов. В этом случае при планировании эксперимента обычно используют дробные планы, отбрасывающие взаимодействия высокого порядка и уделяющие наибольшее внимание главным эффектам.

Дробный факторный эксперимент.

Другое название - метод дробных реплик. С увеличением количества факторов в ПФЭ резко возрастает число опытов и число степеней свободы. (см. таблицу 6.1.). Т.е. количество опытов в ПФЭ обычно превосходит число определяемых коэффициентов, т.е. ПФЭ обладает избыточностью опытов. В дробном факторном эксперименте (ДФЭ) в отличие от ПФЭ используются не все возможные сочетания уровней изучаемых факторов. Некоторые их сочетания пропускаются. Сокращение перебора уровней всегда приводит к потере части исходной информации. План ДФЭ строится так, чтобы обеспечить получение линейной модели, при этом необходимо, чтобы матрица планирования сохранила свойство ортогональности. Рассматриваемый метод заключается в том, что для получения математического описания используется часть ПФЭ. Например, при 4 факторах за основу берется план для трех факторов, а для четвертого фактора используется план, соответствующий одному из столбцов содержащих эффекты взаимодействия (столбцы 6-9 в таблице 6.3.). Если нет сведений о значимости взаимодействий факторов

---

, то лучше выбрать столбец 9, соответствующий тройным взаимодействиям или , такие соотношения называют генерирующими соотношениями, так как они генерируют (создают) дробную реплику. Умножая обе части генерирующего соотношения на получаем , называемое определяющим контрастом. Эксперимент проводят по плану (таблица 12.1):

Таблица 12.1 План ДФЭ
№ опыта
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)	(6)	(7)
1	+1	–1	–1	–1	–1
2	+1	+1	–1	–1	+1
3	+1	–1	+1	–1	+1
4	+1	+1	+1	–1	–1
5	+1	–1	–1	+1	+1
6	+1	+1	–1	+1	–1
7	+1	–1	+1	+1	–1
8	+1	+1	+1	+1	+1

---

По этому плану, например, для первого опыта:

, результат опыта .
План содержит половину опытов ПФЭ 24 и носит название полуреплики. Используют также ¼ реплики, ⅛ реплики и т.д. Обозначаются ДПЭ в виде 2k-p, где k – количество факторов, p –число дробных реплик, в нашем примере это 24-1. Расчет коэффициентов регрессии, проверка их значимости производят по тем же формулам, что и для ПФЭ.
Подведем итог. Планы дробного факторного эксперимента (планы ДФЭ)

При многофакторном эксперименте, особенно когда число факторов больше шести (n > 6), число опытов планов ПФЭ 2n (N = 2n) становится чрезмерным. Если нам не требуется определение всех коэффициентов неполного квадратичного полинома, то переходят к дробному факторному эксперименту (ДФЭ) – части полного факторного эксперимента. Так, например, если требуется определить лишь коэффициенты при самих факторах
,
то план ПФЭ 2n дает избыточную информацию. Так при , в этом случае требуется определить коэффициентов, тогда как по плану ПФЭ необходимо провести N = 26 =64 опыта.

Хотя эта избыточная информация не является бесполезной, она позволяет более точно определить коэффициенты, но все же часто используют планы ДФЭ 2n-k , где k – показатель дробности плана ПФЭ. При k = 1 число опытов в плане ДФЭ в два раза меньше, чем в плане ПФЭ, поэтому такие планы называют полуреплика плана ПФЭ. Так при k=1 для плана ДФЭ 26-1 N =26-1 = 32, при k=2 для плана ДФЭ 26-2 N =26-2 = 16 и такой план называют четвертьрепликой, при k=3 для плана ДФЭ 26-3 N =26-3 = 8. При выборе дробности плана k необходимо учитывать, что число опытов должно быть больше числа членов уравнения. В рассматриваемом случае величина k должна быть такой, чтобы удовлетворялось условие
.
План ДФЭ строится, как и для плана ПФЭ, но с меньшим числом факторов. Оставшиеся факторы варьируются не произвольно, а так чтобы сохранялась ортогональность плана. Это обеспечивается, если оставшиеся факторы варьируются по выбранному генерирующему соотношению, например, как произведение каких-либо факторов из первой группы. Но это приводит к тому, что в матрице Х будут существовать одинаковые столбцы. Следовательно, мы не сможем найти в чистом виде все коэффициенты неполного квадратичного полинома, а лишь определим совместную величину коэффициентов для одинаковых столбцов.

---