Файл: Конспект лекций для магистрантов специальности 6М070200 Автоматизация и управление.doc

Пример. Требуется определить надежность системы автоматического управления, состоящей из трех последовательно соединенных элементов, каждый из которых может выйти из строя. Вероятности безотказной работы каждого из них соответственно равны: P(A1) = 0,9; P(A2) = 0,85; P(A3) = 0,82. В соответствии с теоремой умножения P(A1 ∙ A2 ∙ A3) = P(A1) ∙ P(A2) ∙ P(A3) = 0,9 ∙0,85 ∙0,82 = 0,6273
Основная литература

1. 
   Ахназарова С.Л., Кафаров В.В. Методы оптимизации эксперимента в химической технологии: Учебное пособие для вузов. - 2-е издание, перераб. и дополненное. -М.: Высшая школа, 2005. -327с.
   
2. 
   Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. – М.: Высшая школа. 2001
   

Дополнительная литература

3. 
   Гроп Д. Методы идентификации систем. - М.: Мир, 1979.
   
4. 
   Эйкхофф П. Основа идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975.
   

---

Лекция 5 Оценка статистических показателей(часть1)

Математическое ожидание и дисперсия, их оценка и свойства

Математическое ожидание — мера среднего значения случайной величины в теории вероятностей. В зарубежной литературе обозначается через (например, от англ. Expected value или нем. Erwartungswert), в русской M[X] (возможно, от англ. Mean value, а возможно от русск. Математическое ожидание). В статистике часто используют обозначение μ.

Определение. Пусть задано вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина X. То есть, по определению,  — измеримая функция. Тогда, если существует интеграл Лебега от X по пространству Ω, то он называется математическим ожиданием, или средним значением и обозначается M[X] или .



Основные формулы для математического ожидания

Если FX(x) — функция распределения случайной величины, то её математическое ожидание задаётся интегралом Лебега — Стилтьеса:

.

Дисперсия случайной величины— мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается D[X] в русской литературе и (англ. variance) в зарубежной. В статистике часто употребляется обозначение или . Квадратный корень из дисперсии, равный , называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Из неравенства Чебышёва следует, что случайная величина удаляется от её математического ожидания на более чем k стандартных отклонений с вероятностью менее 1/k². Так, например, как минимум в 75% случаев случайная величина удалена от её среднего не более чем на два стандартных отклонения, а в примерно 89% — не более чем на три.

---

Определение. Пусть — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

где символ M обозначает математическое ожидание.
В инженерной практине используется понятие оценка, оно обычно означает, что вычисление производится на конечном интервазк выборки.

Оценка математического ожидания переменной Х (обозначается mX или ):

(5.1)

n – количество опытов

Оценка дисперсии переменной Х (обозначается или ):

(5.2)

Число степеней свободы f = [общее число измерений] – [число оценок, уже рассчитанным по этим измерениям и примененным в текущей формуле]. В данном случае уже рассчитана и используется величина , т.е. .

, среднее квадратичное отклонение (ошибка, стандарт).

Оценка дисперсии воспроизводимости Y (обозначается или ):

(5. 3)

или (5.3А)

- ошибка опыта (ошибка воспроизводимости, среднеквадратическая ошибка, среднеквадратическое отклонение -СКО).(См [1] стр.37)

Оценка остаточной дисперсии Y (дисперсии адекватности):

(5.4)

- расчетное значение выхода

---

; L – количество коэффициентов в уравнении регрессии;

Нормальное распределение.

(- < x < ) (5.5)
Критерий Стьюдента. t-критерий Стьюдента - общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев), основанных на сравнении с распределением Стьюдента. Наиболее частые случаи применения t-критерия связаны с проверкой равенства средних значений в двух выборках.

t-критерий был разработан Уильямом Госсетом (1876-1937) для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсета вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Магистрант).

Критерий Стьюдента направлен на оценку различий величин средний значений двух выборок, которые распределены по нормальному закону. Одним из главных достоинств критерия является широта его применения. Он может быть использован для сопоставления средних у связных и несвязных выборок, причем выборки могут быть не равны по величине см.[4].

Условия применения t-критерия Стьюдента.Для применения t-критерия Стьюдента необходимо соблюдать следующие условия:

1. измерение может быть проведено в шкале интервалов и отношений.

2. сравниваемые выборки должны быть распределены по нормальному закону.

Критерий Стьюдента позволяет определить значимость коэффициентов уравнения регрессии. b_i. (используется для проверки гипотезы значимости коэффициентов). Для этого для каждого из L коэффициентов b_i. Рассчитывают по формуле:

, (5.6)
если > , то b_i считается значимым, в противном случае он не значимым и приравнивается к нулю.

, (5.7)
- среднеквадратическая ошибка в определении коэффициента регрессии b

---

_i;

- табличное значение критерия Стьюдента при f = n0 – 1 или f =m (n0 – 1);

Иногда незначимость b_i может быть вызвана и другими причинами, например, неверным интервалом варьирования при подготовке к эксперименту. Ниже приведен пример на Mathcad использования критерия Стьюдента. [1, стр.164].

Сделаем замечание относительно проблемы оценки значимости коэффициентов уравнения регрессии (2.2). Если какой-либо коэффициент незначим, то он может быть принят равным нулю, т.к. его влияние на результат расчета по формуле (2.2) мало. Чтобы оценить допустимый предел требуемой точности определения расчетного значения выхода надо учесть, что в инженерной и научной практике обычно достаточно 3-5 значащих цифр при записи и использовании числовых расчетов. Для обоснованного отброса незначимых коэффициентов необходимо иметь информацию о дисперсии, присущей экспериментально найденным значениям выхода Y, а также значениям расчетным . Строго говоря, экспериментально найденные значения Y являются случайными величинами. Дисперсия случайной величины — это мера разброса данной случайной величины, то есть мера её отклонения от математического ожидания (т.е. среднеарифметического от ряда параллельных экспериментальных измерений). Если дисперсия эксперимента превышает допустимую величину, то доверять таким экспериментам нельзя, т.к. они невоспроизводимы. Это может происходить при низкой точности измерительных приборов, неправильной методики эксперимента, неучета дополнительных факторов, влияющих на результаты эксперимента, взаимного влияния входов друг на друга и т.п. Вообще говоря, отбрасывание незначимых коэффициентом актуально, когда уравнение (1) используется при ручном расчете, например, с использованием калькуляторов. При использовании же при расчете компьютерных технологий отбрасывание незначимых коэффициентов можно не проводить.

---