Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

1.1.6. Спортсмены бегут колонной длины l со скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u < v. Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, раз- ворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернутся?
1.1.7. С подводной лодки, погружающейся вертикально и равномерно, испус- каются звуковые импульсы длительности τ
0

♦
1.1.10
∗
. По прямому шоссе идет автобус с постоянной скоростью v. Вы за- метили автобус, когда тот находился в некоторой точке A. Из какой области около шоссе вы можете догнать этот автобус, если скорость вашего бега u < v?
Нарисуйте эту область для u = v/2.
1.1.11
∗
. Сверхзвуковой самолет летит горизонтально. Два микрофона, нахо- дящиеся на одной вертикали на расстоянии l друг от друга, зарегистрировали приход звука от самолета, пролетающего над микрофонами, с запаздыванием времени ∆t. Скорость звука в воздухе c. Какова скорость самолета?
♦
1.1.12. Два стержня пересекаются под углом 2α и движутся с равными скоростями v перпендикулярно самим себе. Какова скорость точки пересечения стержней?
♦
1.1.13. По графику зависимости координаты от времени постройте график зависимости скорости от времени.
1.1.14. Найдите с помощью графиков зависимости координаты от времени момент времени и место соударения частиц, движущихся по одной прямой. Ско- рость первой частицы v, скорость второй v/2. Первая частица в момент времени t = 0 имела координату x = 0, вторая в момент времени t
1
— координату x = a.
♦
1.1.15. По графикам зависимости скорости от времени постройте графики зависимости координаты от времени. Найдите в случаях б и в среднюю скорость за большое время.
♦
1.1.16. Частица движется в одной плоскости. По графикам зависимости от времени проекций v x
и v y
скорости постройте траекторию частицы, если x(0) = 2 м, y(0) = 1 м.
11

♦
1.1.17. Движение луча по экрану осциллографа описывается графиками за- висимости координат x и y от времени. Какая картина возникнет на экране при
τ
y
= τ
x
, τ
x
/3, 3τ
x
? Рассмотрите два случая (см. рисунок). В случае а горизон- тальные линии на экране почти не видны. Почему? При каком соотношении τ
x и τ

y в случае б траектория луча на экране будет замкнутой?
♦
1.1.18
∗
. Автомобиль удаляется со скоростью v от длинной стены, двигаясь под углом α к ней. В момент, когда расстояние до стены равно l, шофер подает короткий звуковой сигнал. Какое расстояние пройдет автомобиль до момента,
когда шофер услышит эхо? Скорость звука в воздухе c.
♦
1.1.19. На какой угол изменится направление скорости шара после двух упругих ударов о стенки, угол между которыми равен α? Как полетит шар,
если угол α = π/2? Движение происходит в плоскости, перпендикулярной стен- кам. При упругом ударе о гладкую неподвижную стенку угол падения шара равен углу отражения.
♦
1.1.20
∗
. По биллиардному столу со сторонами а и б пускают шар от сере- дины стороны b. Под каким углом к борту стола должен начать двигаться шар,

чтобы вернуться в ту же точку, из которой он начал свое движение?
12

♦
1.1.21. Уголковый отражатель, установленный на луноходе, представляет собой три взаимно перпендикулярных зеркала. Если на отражатель падает свет,
скорость которого c = (c x
, c y
, c z
), то какие составляющие будет иметь скорость света после отражения от зеркала, находящегося в плоскости yOz? после отра- жения от всех трех зеркал?
♦
1.1.22. Внутри закрепленного гладкостенного цилиндра радиуса R летает маленький шарик, упруго отражаясь от стенок так, что минимальное рассто- яние от него до оси цилиндра равно h. Какую долю времени он находится на расстоянии от оси цилиндра, меньшем r, но большем h?
♦
1.1.23
∗
. Стрелок пытается попасть в диск радиуса R, который движется от одной стенки к другой с постоянной по модулю скоростью так быстро, что за ним нельзя уследить. Нарисуйте график зависимости вероятности попада- ния пули в диск от расстояния между точкой прицеливания и левой стенкой.
Выстрелы производятся на высоте R от пола перпендикулярно направлению дви- жения диска. В какой точке прицеливания вероятность попадания наименьшая?
наибольшая? Чему они равны? Разберите случаи L > 4R, 4R > L > 2R, где L —
расстояние между стенками.
§ 1.2. Движение с переменной скоростью
♦
1.2.1. На рисунке изображена траектория электрона, который дрейфует вдоль плоскости раздела областей с различными магнитными полями. Его тра- ектория состоит из чередующихся полуокружностей радиуса R и r. Скорость электрона постоянна по модулю и равна v. Найдите среднюю скорость электрона за большой промежуток времени.
♦
1.2.2. Две частицы в момент времени t = 0 вышли из одной точки. По гра- фикам зависимости скорости от времени определите координаты и время новой встречи частиц.
13

♦
1.2.3. Тело в течение времени t
0
движется с постоянной скоростью v
0
. Затем скорость его линейно нарастает со временем так, что в момент времени 2t
0
она равна 2v
0
. Определите путь, пройденный телом за время t > t
0 1.2.4. Нарисуйте график зависимости координаты от времени для прямоли- нейного движения, удовлетворяющего одновременно двум условиям: а) средняя скорость в промежутке времени от 2 до 6 с равна 5 м/с; б) максимальная ско- рость в том же промежутке равна 15 м/с.
1.2.5 Въезжая на поврежденный участок шоссе, каждый автомобиль в ко- лонне уменьшает скорость от v
1
до v
2
. Какой должна быть дистанция между автомобилями, чтобы они не сталкивались? Длина каждого автомобиля l.
♦
1.2.6. График зависимости скорости тела от времени имеет вид полуокруж- ности. Максимальная скорость тела v
0
, время движения t
0
. Определите путь,
пройденный телом.
1.2.7. Автобус движется в течение 20 с по прямой до остановки, проходя при этом расстояние 310 м. Его начальная скорость 15 м/с. Докажите, что ускорение автобуса меняется по направлению.
1.2.8
∗
. Частица, покинув источник, пролетает с постоянной скоростью рас- стояние L, а затем тормозится с ускорением a. При какой скорости частицы время движения от ее вылета до остановки будет наименьшим?
1.2.9. Мигрирующие рыбы, накопив в море запас жира, заходят в устья рек.
В пресной воде они не питаются, поэтому им важно добраться до нерестилищ в верховьях реки с наименьшими потерями массы. Расход жира на поддержание основного обмена веществ в организме рыбы за единицу времени равен N , а до- бавочный расход bv
2
тратится на движение со скоростью v. С какой скоростью должны двигаться рыбы, чтобы затраты жира на пути до нерестилища были минимальны? (Рыбы прекрасно чувствуют эту скорость.)
1.2.10. Из полусферического аквариума радиуса R, наполненного водой, с единицы поверхности воды в единицу времени испаряется объем жидкости q.

Через какое время вода испарится?
14

♦
1.2.11
∗
. а. В коническом сосуде уровень воды поднимается с постоянной ско- ростью v
0
. Как зависит от времени скорость поступления воды в сосуд через трубку сечения s? В нулевой момент времени сосуд пуст.
б. Струя масла, попадающая на поверхность воды, растекается по ней круг- лым пятном толщины h. Как зависит от времени скорость движения границы пятна, если в единицу времени поступает объем масла q? В начальный момент времени радиус пятна равен нулю.
1.2.12. Мальчик надувает воздушный шарик. При радиусе шарика 10 см скорость увеличения радиуса равна 1 мм/с. Какой объем воздуха ежесекундно выдыхает мальчик?
1.2.13. «Корабль шел на пределе, дальнейший разгон не предусматривался инструкциями космофлота. Через час скорость возросла на тысячу километров в секунду» (Кир Булычев. Агент КФ // Химия и жизнь. 1984. № 12. С. 111). Най- дите ускорение корабля. Во сколько раз оно превосходит ускорение свободного падения на Земле?
♦
1.2.14. По графику зависимости ускорения от времени установите скорость в моменты времени 4 и 15 с, если в момент времени 1 c скорость равна 3 м/с.
1.2.15. Ускорение ракетной тележки от старта до остановки в течение пер- вых 6 с составляет 100 м/с
2
, затем в течение 7 с она двигается без ускорения,
а последние 3 с тележка имеет отрицательное ускорение −200 м/с
2
. Построй- те графики зависимости от времени ускорения, скорости и координаты. Какого наибольшего значения достигла скорость тележки? На каком отрезке пути проис- ходило торможение? Какое полное расстояние прошла тележка? Как по графику зависимости ускорения от времени проверить, действительно ли тележка оста- новилась?
♦
1.2.16. Графики зависимости координаты от времени, построенные в раз- личном масштабе времени для двух частиц, оказались одинаковыми. Одно де- ление оси времени t для графика первой частицы отвечает 4 с, а для графика второй — 1 с. Найдите отношение скоростей и отношение ускорений частиц для точки A графика.
♦
1.2.17. Часть графика зависимости координаты от времени, расположенная ниже оси t, подобна той части графика, которая выше этой оси. Постройте гра- фики зависимости от времени скорости и ускорения. Сравните ускорения при наибольшем и наименьшем значениях x.
♦
1.2.18. По графику зависимости скорости от времени постройте графики зависимости от времени координаты и ускорения, если x(0) = 0.
♦
1.2.19. Длина шкалы спидометра 15 см; он измеряет скорость автомобиля в пределах от нуля до 150 км/ч. Найдите скорость указателя спидометра, если автомобиль движется с ускорением 2 м/с
2 15

1.2.20
∗
. Тело начинает движение из точки A и движется сначала равноуско- ренно в течение времени t
0

, затем с тем же по модулю ускорением — равноза- медленно. Через какое время от начала движения тело вернется в точку A?
1.2.21
∗
. Время отправления электрички по расписанию 12.00. На ваших ча- сах 12.00, но мимо вас уже начинает проезжать предпоследний вагон, который движется мимо вас в течение времени t
1
. Последний вагон проходит мимо вас в течение t
2

. Электричка отправилась вовремя и движется равноускоренно. На какое время отстают ваши часы?
§ 1.3. Движение в поле тяжести
∗)
. Криволинейное движение
♦
1.3.1. Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени ∆t выброшены два шарика со скоростью v. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?
♦
1.3.2. а. Из верхней точки окружности по гладкому желобу под углом ϕ к вертикали начинает скользить шарик. За какое время он достигнет окружности,

если ее диаметр D?
♦
б. Из точки A по спицам с разным наклоном одновременно начинают сколь- зить без трения маленькие бусинки. На какой кривой будут находиться бусинки в момент времени t?
∗)
Если на рисунке к задаче указано ускорение свободного падения g, необходим учет поля тяжести.
16

♦
1.3.3
∗
. Под каким углом к вертикали должен быть направлен из точки A гладкий желоб, чтобы шарик соскользнул по нему на наклонную плоскость за наименьшее время?
1.3.4. Свободно падающее тело пролетело мимо точки A со скоростью v
A

. С какой скоростью оно про- летит мимо точки B, находящейся на h ниже A?
1.3.5. Камень бросают со скоростью v под углом ϕ к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол α с горизонтом?
1.3.6. Из орудия произведен выстрел под углом ϕ к горизонту. Начальная скорость снаряда v. Поверхность земли горизонтальна. Найдите: а) горизонталь- ную и вертикальную проекции скорости как функции времени; б) зависимость координат x и y от времени; в) уравнение траектории, т. е. зависимость y от x;
г) время полета, наибольшую высоту и дальность полета снаряда.
♦
1.3.7. По гладкой наклонной плоскости со скоростью v пускают шарик. Ка- кое расстояние по горизонтали он пройдет, прежде чем скатится с плоскости?
Плоскость наклонена к горизонту под углом 45
◦
. Начальная скорость шарика образует угол 45
◦
с горизонтальным краем плоскости.
♦
1.3.8. Из миномета ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если их начальная скорость v, угол наклона горы α и угол стрельбы по отношению к горизонту β?
1.3.9. С какой скоростью должен в момент старта ракеты вылететь снаряд из пушки, чтобы поразить ракету, стартующую вертикально с ускорением a?
Расстояние от пушки до места старта ракеты равно L, пушка стреляет под уг- лом 45
◦
к горизонту.
♦
1.3.10. Утка летела по горизонтальной прямой с постоянной скоростью u.
В нее бросил камень неопытный «охотник», причем бросок был сделан без упре- ждения, т. е. в момент броска скорость камня v была направлена как раз на утку под углом α к горизонту. На какой высоте летела утка, если камень все же попал в нее?
2 17