Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

полученная таким образом скорость v
0
со скоростью сближения, наблюдаемой с Земли? Ведь
τ
1
и τ
2
— времена возвращения импульса в системе лаборатории — не совпадают с временами возвращения τ
0 1
и τ
0 2
, наблюдаемыми с Земли, лишь их отношения одинаковы: τ
1
: τ
2
= τ
0 1
: τ
0 2
Но равенства этих отношений уже достаточно, чтобы v
0
совпадала со скоростью сближения,
наблюдаемой с Земли. Этот результат означает, что разница в скоростях сближения, кото- рые фиксируют наблюдатели лаборатории и Земли, связана с тем, что эти группы фиксируют разную скорость импульса света относительно лаборатории. Первые наблюдают эту скорость равной скорости света, вторые же, в зависимости от того, летит ли импульс от лаборатории или навстречу ей, — меньше или больше скорости света на величину u.
Скорость лаборатории u находится из уравнения v
0
− v =
v(1 − u
2
/c
2
)
1 − uv/c
2
− v =
vu(v − u)
c
2
− uv
= αv,
где α = 10
−4
. При таком малом α скорость u ' αc
2
/v = 90 км/с. Скорость объекта относитель- но Земли равна разности скорости сближения объекта с лабораторией и скорости лаборатории,
наблюдаемых с Земли:
v
0
= v
0
= u = v ·
c
2
− u
2
c
2
− uv
− u =
v − u
1 − vu/c
2
' 100 000 км/с − 90 км/с = 99 910 км/с.
14.1.11 v = 2,9 · 10 8
км/с.
14.1.12 u = (v + c/n)/(1 + v/nc).
14.1.13 T =
2nl c(1 − v
2
/c
2
)
14.1.14
∗
. v =
Lτ c
2
l(l + 2L)
s
1 +
l
3
(l + 2L)
(Lτ c)
2
− 1
!
; при l/τ , L/τ c получаем v = l
2
/(2Lτ ).
14.1.15 v
0
= (c
2
− vu −
p(c
2
− v
2
)(c
2
− u
2
) )/(v − u).
14.1.16 N =

1 + 2
u v
+
u
2
c
2


1 +
vu c
2
+
u
2
c
2

♦
14.1.17 На рисунке изображены траектории светового сигнала по наблюдениям с Земли и с ракеты. Минимальное расстояние между ракетой и Землей одинаково по обоим наблюдениям и равно l. Поэтому по наблюдениям с Земли время возвращения сигнала равно 2l/c, а по наблюдениям с ракеты время возвращения равно (2l/c) · 1/ cos α = 2l/c p
1 − β
2
, где β = v/c =
sin α. Таким образом, промежуток времени между уходом и приходом светового сигнала на
Землю увеличивается при наблюдении с ракеты в 1/
p
1 − β
2
раз.
360

♦
14.1.18 Пусть происходит следующее. Несколько наблюдателей двигаются около Земли с разными скоростями. На Землю вернулся отраженный от одного наблюдателя радарный им- пульс. Пока этот импульс путешествовал, стрелки часов на месте старта сделали три полных оборота, во время второго путешествия импульса стрелки сделали еще два оборота. И наблюда- тель, от которого отразился импульс, и все остальные наблюдатели зафиксируют события: три оборота стрелок земных часов во время первого путешествия импульса и два оборота стрелок во время второго путешествия. Каждый оборот для любого наблюдателя длится одинаковое время. Поэтому для всех наблюдателей отношение длительности первого и второго путеше- ствия импульса равно отношению числа оборотов стрелки часов 3 : 2. Приведенный пример иллюстрирует независимость отношения времен, характеризующих события, от скорости на- блюдателей.
♦
14.1.20 Период колебаний световых ходиков независимо от их ориентации по наблюдениям со станции увеличится в 1/
p
1 − β
2
раз, и поэтому ходики будут «идти» в 1/
p
1 − β
2
раз медленнее. Для определения расстояния между зеркалами l
0
, которое наблюдается со станции у продольных ходиков, определим период колебаний ходиков через l
0
:
τ
1
=
l
0
c(1 + β)
+
l
0
c(1 − β)
=
2l
0
c(1 − β
2
)
Этот период в 1/
p
1 − β
2
раз больше периода колебаний ходиков 2l/c, измеренных в ракете.
Значит,
τ
1
=
2l
0
c(1 − β
2
)
=
2l c
p
1 − β
2
Из последнего уравнения следует, что l
0
= l p
1 − β
2
. Это означает, что ходики и ракета, и люди в ней, по наблюдениям с Земли «сплющатся» в 1/
p
1 − β
2
раз в направлении скорости
βc. Точно также вс¨е «сплющится» и на станции по наблюдениям с ракеты. Много изменений в наблюдаемую картину движения вносит относительное движение станции. И прежняя одно- временность событий нарушается, и часы на станции идут медленнее в 1/
p
1 − β
2
раз, и вс¨е
361

сокращается в 1/
p
1 − β
2
раз в направлении движения. Но «сплющенные» люди на станции своими «сплющенными» приборами, используя «замедленное» время и неправильно определяя одновременность событий, получают, измеряя относительную скорость улетающего от них све- та, не скорость c − βc, а скорость c. Свет же, который летит им навстречу, приближается к ним не со скоростью c + βc, а, по их искаженным измерениям, со скоростью c. Так могли бы объяснить разницу измерений относительной скорости света наблюдатели с ракеты. Но точно так же могли бы объяснить и наблюдатели со станции, считая, что у них все нормально, а искажения наблюдаются у «ракетчиков».
14.1.21. В
p1 − u
2
/c
2
+ u
2
/v
2
раз.
♦
14.1.22. Скорости зайцев и Мазая равны прежней скорости четвертого зайца.
♦
14.1.23. См. рис. λ
+
= λ/2, λ
−
= 2λ, λ
⊥
= 5λ/4.
14.1.24
∗
. N = (1 + β)/2.
14.1.25
∗
. δ '
p∆/c.
14.1.26
∗
. sin α
1
=
sin α + 2β + β
2
sin α
1 + 2β sin α + β
2 14.1.27. В системе отсчета, которая движется со скоростью u sin α в направлении, проти- воположном движению корабля, скорость ракеты v p
перпендикулярна направлению движения
362

корабля v k
; v p
и v k
определяются формулами v
p
= u sin α
q
1 − (u/c)
2
cos α,
v k
= (v − u cos α)
.
1 −
vu cos α
c
2

В системе отсчета, в которой скорость корабля равна нулю, составляющие скорости ракеты v
⊥
и v k
, перпендикулярные и параллельные прежней скорости корабля v k
, определяются форму- лами v
⊥
= v p
/
q
1 − (v k
/c)
2
,
v k
= v k
,
а полная скорость ракеты v
1
формулой v
1
=
q v
2
⊥
+ v
2
k
=
q u
2
+ v
2
− 2vu cos α − (vu/c)
2
sin
2
α
.
1 −
vu cos α
c
2

14.1.28
∗
. tg ν = γ tg (α/2), γ = 1/
p
1 − β
2
§ 14.2. Замедление времени, сокращение продольных размеров.
Преобразование Лоренца
14.2.1. В 2,5 раза.
14.2.2. v > c/
p1 + (τ c/l)
2 14.2.3. ∆v = 6 · 10 4
км/с.
14.2.4. ∆ν = 10 7
Гц.
14.2.5
∗
. В точке, движущейся со скоростью стенки, частоты электромагнитных колебаний падающей и отраженной волны совпадают. Поэтому частота падающей волны ν связана с частотой отраженной волны ν

14.2.17. а) τ = L/(v + u), τ
2
= τ
1
(1 + vu)/
p1 − (u/c)
2
;
б
∗
) τ
1
=
v a
r
1 +
2al v
2
− 1
!
, τ
2
= τ
1

1 +
vaτ
1 2c
2
.
s
1 −
v
2
c
2 14.2.18. Центр колебаний движется со скоростью βc. Координаты тела относительно цен- тра связаны со временем t
0
соотношениями: а) z
0
=
A
γ
sin
ωt
0
γ

1 +
βz
0
ωc

; б) y
0
= A sin
ωt
0
γ
,
γ = 1
p
1 − β
2
§ 14.3. Преобразование электрического и магнитного полей
14.3.1. Расстояние между зарядами в пластинах уменьшится в γ = 1/
p
1 − β
2
раз, что приведет к увеличению поверхностной плотности заряда каждой пластины в γ раз. Поэтому электрическая напряженность увеличится в γ раз:
E
0
= γE,
B = βE
0
= γβE.
14.3.2
∗
. E
⊥
= γ · E cos α, E
k
= E sin α, B = γβE cos α = βE
⊥
, γ = 1
p
1 − β
2 14.3.3. E
r
= 2γρ/r, B
r
= 2γβρ/r, где γ = 1/
p
1 − β
2
, r — расстояние до нити.
14.3.4. а. ρ
e
= −ρ/γ, ρ
i
= γρ, γ = 1/
p
1 − β
2
б. Увеличится в γ раз.
в
∗
. Разное изменение плотности зарядов электронов и ионов при движении проводника приводит к появлению нескомпенсированной объемной плотности заряда ρ
0
= γρ − ρ/γ = β
2
γρ.
Электрическое поле этого заряда E = β
2
γρs/r, а магнитная индукция движущегося проводника
B = βγρs/r, где s — сечение проводника, а r — расстояние до его оси. Поэтому E = βB.
14.3.5
∗
. а. ρ
i
= γ
1
ρ, где γ
1
= 1/
q
1 − β
2 1
. Для определения плотности электронов перейдем в состояние движения со скоростью β
1
c через промежуточное состояние движения со скоростью
βc, в котором электроны неподвижны, а их плотность равна ρ
0
e
= −ρ/γ, γ = 1
p
1 − β
2
. Затем,
сообщая промежуточному состоянию скорость β
2
c = c(β
1
− β)/(1 − β
1
β), перейдем в нужное состояние, в котором плотность электронов определяется формулой ρ
e
= ρ
0
e
/
q
1 − β
2 2
= −γ
1
(1 −
ββ
1
)ρ.
б. Увеличится в γ
1
раз.
в. E
1
= β
1
B
1 14.3.6. а.
E = −[
β ×
B].
б. В движущемся состоянии электрическое поле E определяется формулой E = −[
β ×
B],
где
B
0
— индукция магнитного поля в движущемся состоянии. При малых β

B
0
близко к
B.
Поэтому
E ' −[
β ×
B
0
].
в. Оба объяснения правомерны. Это означает, что определить абсолютное движение маг- нита нельзя.
♦
14.3.7
∗
. а. В качестве пробного тела выберем прямой проводник, который неподвижен в началь- ном состоянии и в котором со скоростью βc дви- жутся электроны проводимости. Плотность элек- тронов на единицу длины проводника −ρ, а плот- ность ионов кристаллической решетки проводни- ка +ρ. Поэтому проводник не заряжен и электри- ческое поле в начальном состоянии на него не дей- ствует. В движущемся со скоростью −βc состоянии электроны проводимости неподвижны, а ионы дви- жутся со скоростью −βc. Плотность электронов в проводнике уменьшится в γ раз, а ионов — увели- чится в γ раз. Поэтому проводник окажется после преобразования заряженным с плотностью γρ − ρ/γ = β
2
γρ, и на единицу длины проводника в поперечном направлении со стороны электрического поля E будет действовать сила β
2
γρE.
364

Но проводник движется без ускорения. Это означает, что сила со стороны электрического по- ля E компенсируется силой, действующей со стороны магнитного поля: IB/c + β
2
γρE = 0,
I = −γρβc — ток в проводнике после преобразования, B — магнитное поле, перпендикуляр- ное как проводнику, так и напряженности электрического поля. Из последней формулы следует,
что в преобразованной системе появляется магнитное поле B, связанное с электрическим полем соотношением
B = [
β ×
E].
б. В преобразованной системе (см задачу а) магнитное поле определяется формулой
B =
[
β ×
E
0
], где
E
0
— электрическое поле в преобразованной системе. При малых скоростях сноса

E
0
близко к
E. Поэтому
B ' [
β ×
E].
14.3.9. а) Увеличится в 1/
p
1 − β
2
раз;
б) уменьшится в 1/
p
1 − β
2
раз.
14.3.10. Увеличится в 1/
p
1 − β
2
раз.
14.3.11. E
max
= Q/(R
2
p
1 − β
2
),
σ
max
= Q/(4πR
2
p
1 − β
2
),
σ
min
= Q/(4πR
2
).
♦
14.3.12
∗
. На рисунке изображена сфера вокруг неподвижного заряда и эллипсоид, воз- никший из этой сферы при сносе ее вместе с зарядом со скоростью βc. Малая ось эллипсоида в
γ = 1/
p
1 − β
2
раз меньше сферы. На поверхности этого эллипсоида находится электрическое поле, которое раньше находилось на поверхности сферы. Поперечная составляющая этого поля
E
⊥
увеличивается в γ раз, продольная же составляющая E
k не изменится. Поэтому тангенс уг- ла между новой напряженностью поля и направлением сноса увеличится в γ раз. Во столько же раз увеличится и тангенс угла радиус-вектора. Поэтому электрическое поле по-прежнему будет направлено по радиус-вектору. Однако напряженность нового поля будет зависеть не только от расстояния до заряда r, но и от угла α между направлением скорости βc и радиус-вектором r.
Например, если сравнивать эту напряженность с напряженностью неподвижного заряда, она увеличится в поперечном направлении в γ
2
раз, а в продольном направлении уменьшится в γ
3
раз. Для других направлений напряженность будет определяться формулой

E =
q r
3
·
1 − β
2
(1 − β
2
sin
2
α)
3/2
·
r.
В начальном состоянии магнитного поля не было. Поэтому индукция магнитного поля опреде- ляется формулой
B = [
β ×
E].
14.3.13
∗
. При движении системы со скоростью −βc диэлектрическая пластина остано- вится, а обкладки конденсатора будут двигаться со скоростью −βc. Плотности поверхностных зарядов на обкладках увеличатся в γ = 1/
p
1 − β
2
раз и будут равны ±γσ, где ±σ — плотности поверхностного заряда обкладок неподвижного конденсатора. Кроме того, появится ток с ли- нейной плотностью ±γσβc. Эти поверхностные заряды и токи создадут внутри неподвижного диэлектрика электрическую напряженность E
0
= 4πγσ/ε и магнитную индукцию B
0
= +4πγβσ.
Движение новой системы со скоростью βc возвращает ее в первоначальное состояние. Электри- ческое и магнитное поля внутри диэлектрика определяются по формулам преобразования полей,
приведенным в условии задачи 14.3.8.а:
E = 4πσγ
2
(1/ε − β
2
),
B = 4πσγ
2
β(1 − 1/ε).
365

14.3.14
∗
. Движение состояния со скоростью −βc приводит к состоянию, в котором непо- движный диэлектрик находится в магнитном поле индукции γB, γ = 1/
p
1 − β
2
и в электриче- ском поле напряженности γβB. Магнитное поле на диэлектрик не действует, а электрическое поле, которое перпендикулярно пластине, ослабляется в ε раз: E
0
= γβB/ε. Движение нового состояния со скоростью βc возвращает старое состояние, электрическое поле в котором нахо- дится по формуле преобразования электрического поля, приведенной в условии задачи 14.3.8.а:
E = γ
2
β(1 − 1/ε)B. Потенциал, вызываемый этим полем, равен U = Eh = γ
2
βhB(1 − 1/ε).
14.3.15. Увеличится в p(1 + β)/(1 − β) раз.
14.3.16
∗
. Увеличится в (1 + β/n)/
p(1 − β
2
) раз.
14.3.17. Увеличится в (1 + β)/(1 − β) раз.
14.3.18
∗
. Увеличится в (1 + β sin α)/(1 − β sin α) раз.
14.3.19. Увеличится в (1 + ββ
1
)/
q
1 − β
2 1
) раз.
14.3.20. Увеличится в 1/
p
1 − β
2
раз; ρ = βγj/c.
14.3.21
∗
. Нет.
14.3.22. E = 4πγ[σ − j(t
0
− x
0
β/c)] = 4π[γσ − jt
0
+ l
0
βγ
2
/c].
14.3.23
∗
. Продольное поле при движении не меняется. Меняется лишь место и время его появления. Электрическое поле в неподвижном конденсаторе E = 4π(σ − jt). Электрическое поле в конденсаторе, движущемся со скоростью βc,
E
0
= 4π

σ − j

t
0
−
x
0
β
c

= 4π

σ −
j
γ
t
0
+
l
0
βγ
c

,
где l — расстояние от передней пластины, γ = 1/
p
1 − β
2 14.3.24. P = vM .
14.3.25
∗
. P = vM .
14.3.26. F
±
= 2µev/R
3
±
, R
±
= e
2
/(2γm e
v
2
).
♦
14.3.28
∗
. Нет. В движущемся конденсаторе составляющие силы F , действующей на пер- вую пластину вдоль и поперек скорости, равны
F
k
= QE cos α,
F
⊥
= QE sin α(1 − β
2
),
а составляющие ускорения равны a
k
= k cos α,
a
⊥
= k sin α,
k = QE
p
1 − β/M,
где Q, M , E — соответственно заряд, масса покоя и электрическое поле внутри конденсатора.
Это ускорение перпендикулярно пластине, равно по величине ускорению второй пластины и противоположно ему направлено. Поэтому конденсатор не будет поворачиваться.
§ 14.4. Движение релятивистских частиц в электрическом и магнитном полях
14.4.1. а) В движущейся со скоростью βc системе промежуток времени между двумя событиями — пересечением электроном границы поля — будет в γ = 1/
p
1 − β
2
длиннее:
T = γτ .
366

б) В первом случае за время τ импульс электрона изменился на величину 2γm e
cβ, по- этому τ = 2γm e
cβ/(eE), где E — электрическая напряженность. Во втором случае за время движения T импульс электрона изменился на величину γ
1
m e
cβ/(eE), где β
1
c = 2βc(1 + β
2
) —
скорость электрона после действия на него поля. Поэтому T = γτ .
14.4.2
∗
. В системе отсчета, в которой поле неподвижно,
τ
1
=
2m e
v
1
eE
q
1 − v
2 1
/c
2
= τ
q
1 − u
2
/c
2
,
а скорость электрона v
1
= (v + u)/(1 + vu/c
2
). Поэтому
E = 2m e
(v + u)/[eτ (1 − u
2
/c
2
)
q
1 − v
2
/c
2
].
14.4.3. E = m e
v/(eτ
p1 − v
2
/c
2
).
14.4.4. а) Увеличится в 1
p1 − u
2
/c
2
раз.
v
0
=
q v
2
+ u
2
− v
2
u
2
/c
2
б) Увеличится в
1
p1 − u
2
/c
2

1 +
u v
(1 −
q
1 − v
2
/c
2
)

раз.
v
0
= (v + u)/(1 + vu/c
2
).
14.4.5. τ =
m e
e v
E
1
p1 − 4v
2
/c
2
−
1
p1 − v
2
/c
2
!
14.4.6.
∗
x =
m e
c
2
eE
14.4.7. p
0
= p. В 1/
p
1 − β
2
раз.
14.4.8. v = c/
s
1 +
m e
c
2
R
e
2
z

2 14.4.9
∗
. В 1/(1 − β
2
) раз. В
s sin
2
α +
cos
2
α
(1 − β
2
)
2
раз.
14.4.10
∗
. v =
c p1 + (mcω/2qE)
2 14.4.11. а) В движущейся со скоростью βc системе расстояния сокращаются в 1/
p
1 − β
2
раз. l
0
= l p
1 − β
2
б) В первом случае c
2
∆m =
m e
p
1 − β
2
− m e
!
c
2
= eEl,
l =
m e
eE
1
p
1 − β
2
− 1
!
Во втором случае первоначально неподвижный электрон, набирая скорость βc, проходит рас- стояние l
1
=
m e
c
2
eE
1
p
1 − β
2
− 1
!
,
двигаясь в направлении поля. За это время поле перемещается на расстояние ∆l = cβτ , где
τ = m e
cβ/(eE
p
1 − β
2
— время набора электроном скорости βc. Поэтому l
0
= l
1
+ ∆l =
m e
eE
(1 −
p
1 − β
2
) = l p
1 − β
2 367