Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

12.1.24
∗
. r ≈ 1 мкм.
♦
12.1.25. См. рис. а) E
0
= −E, B
0
= B.
б) E
0
= E.
12.1.26. E =
p
P ε
0
cos
2
α.
12.1.27
∗
. Сила, действующая на электрон, движущийся вдоль металлической поверхно- сти, равна в СГС F = e

E −
v c
B

= 0. Поэтому E/B = v/c.
12.1.28
∗
. P = 2ε
0
E
2 0
c + v c − v
(в СИ);
P =
1 8π
E
2 0
c + v c − v
(в СГС).
12.1.29. v = c∆/(2ν
0
+ ∆).
12.1.30. v = c k − 1
k + 1
♦
12.1.31. а. Наведенные на плоской границе заряды создают электрическое поле, перпенди- кулярное плоской границе. Поэтому в ε раз уменьшается лишь перпендикулярная составляющая напряженности электрического поля волны.
б. Наведенные поверхностные токи создают магнитное поле, индукция которого парал- лельна поверхности. Поэтому в µ раз увеличивается лишь параллельная составляющая индук- ции магнитного поля волны.
12.1.32. С разных сторон границы раздела напряженность электрического и индукция магнитного полей одинаковы: E − E
0
= E
n
, B + B
0
= B
n
, а B = E
√
ε
1
/c, B
0
= E
0
√
ε
1
/c,
B
n
= E
n
√
ε/c (см. задачу 12.1.7
∗
). Из этих уравнений следует E
0
/E = (
√
ε
2
−
√
ε
1
)/(
√
ε
2
+
√
ε
1
).
При
√
ε
1
<
√
ε
2
знаки E
0
и E одинаковы, а при
√
ε
1
>
√
ε
2
противоположны. Это означает, что в первом случае фаза отраженной волны не меняется, а во втором случае меняется на π.
♦
12.1.34. См. рис. В СГС W
1
= 7E
2 0
r
3 0
/3,
W
2
= 2E
2 0
r
3 0
351

§ 12.2. Распространение электромагнитных волн
12.2.2. Длина волны и ее скорость уменьшаются в n раз, частота не меняется.
12.2.4. sin α
k
= kλ/b, где k — целое число.
12.2.5. В k
2
раз.
12.2.6. ∆α = 13,5 0
12.2.7. l = 2r
2
/λ, l k
= 2r
2
/[λ(k + 1)k].
12.2.8. Увеличится интенсивность излучения в других точках.
12.2.9
∗
. В четыре раза.
♦
12.2.10. См. рис.
12.2.11
∗
. Увеличилась в 100 раз (а) и в 324 раза (б).
12.2.12
∗
. c = i/λ, a = A∆Si/(rλ) (умножение на i означает сдвиг фазы вторичной волны на π/2).
12.2.13. а. R ≈ 1 км.
б. R ≈ 1,5 м.
12.2.14. l ≈ 1 м, 0,5 км, 150 км.
12.2.15. а. Голубая часть спектра излучения нити рассеивается на матовой поверхности сильнее.
в. Из-за флуктуации плотности атмосферного воздуха голубая часть спектра рассеивается сильнее.
Глава 13
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА. ФОТОМЕТРИЯ.
КВАНТОВАЯ ПРИРОДА СВЕТА
§ 13.1. Прямолинейное распространение и отражение света
♦
13.1.1. См. рис.
♦
13.1.2. См. рис.
♦
13.1.3. См. рис.
352

13.1.4. На стене получается изображение Солнца. В случае, когда размер отверстия будут больше изображения Солнца на стене.
13.1.5. Зеркало не «переворачивает» изображение. Но непрозрачный предмет кажется нам перевернутым справа налево, так как обычно отраженную зеркалом сторону мы видим только в случае, если предмет развернуть на 180
◦
13.1.6. H = h/2.
13.1.7. Не меняется.
13.1.8. В результате двойного отражения получается неперевернутое изображение. Из любой точки комнаты.
13.1.9. У к а з а н и е: посмотрите в калейдоскоп.
12.3.10
∗
. α = 120
◦
♦
13.1.11. Ход лучей показан на рисунке.
13.1.12. x = h/2.
13.1.13. f = R/2.
13.1.15. f = 36 см.
13.1.16. l = 20 см.
13.1.17. f = 48 см.
♦
13.1.18. См. рис.
♦
13.1.19. См. рис.
12.3.20
∗
. Параболоид вращения, если его ось параллельна лучам.
§ 13.2. Преломление света. Формула линзы
13.2.1. α = 48
◦
13.2.2. а. h = 4 м.
б. h = 4 км.
13.2.3. Уменьшится в
L + l
L + l/n раз.
13.2.4. n = 1,13.
13.2.5. а. α
а
= 24,6
◦
, α
в
= 49
◦
, α
а,в
= 33,7
◦
б. Из-за полного внутреннего отражения лучей от пузырей.
13.2.6. Нет.
13.2.7. R = ln/(n − 1).
23 353

13.2.8. При α > arccos(2/3) свет уже при первом отражении частично выйдет из конуса.
При α < arccos(2/3) свет сначала будет целиком отражаться от боковой поверхности. После каждого отражения угол между лучом и нормалью к поверхности конуса будет уменьшаться на 2α, и через несколько отражений свет снова будет уходить из конуса через его поверхность.
13.2.9. r = R/2.
13.2.10
∗
. r
0
= r/n.
13.2.11. sin α = n/k
N −1
, если n/k
N −1
< 1; проходит всегда, если n/k
N −1
> 1.
13.2.12. H =
1 2

n
0
α
− R

13.2.14. в.
1
F
= (n − 1)

1
R
1
+
1
R
2

13.2.15. а. F = 0,25 м, D = 1/F = 4 дптр.
б. R = 0,6 м.
13.2.16. R = 0,26 м.
13.2.17
∗
. а)
1
x
=
1
nf
−
n − 1
nr
;
б)
1
x
=
1
f
−
n − 1
r
13.2.18. f = −
1
(n − 1)
R
2
δ
13.2.19. ∆ = α(n
1
− n
2
)f .
12.2.20
∗
. Из части боковой поверхности полуцилиндра, ограниченной углом
α = 2 arcsin(1/n).
12.2.21
∗
. n = 4/3.
13.2.22. n = 3/2.
13.2.23. y = x/n.
§ 13.3. Оптические системы
♦
13.3.1. См. рис.: а) k = 1/2;
б) k = 3/2;
в) k = 1/4;
г) k = 3/4.
♦
13.3.2. См. рис.
13.3.3. f = 20 см.
13.3.4. f = 2f .
13.3.5. v = 2ωf .
13.3.6. k =
f
2
(a − f )
2
− l
2
/4 13.3.7. f = 3/7 м.
13.3.8. t = 5 мс.
13.3.9.
df dt
=
vk
1 + k
,
db dt
= vk.
354

13.3.10. К линзе на расстояние l =
r
1
− r
2
D/2 + r
2
f .
13.3.11
∗
. 2,3 м < l
1
< 3,2 м;
1,6 м < l
2
< 8 м.
13.3.12. D
1
= −5 дптр, D
2
= 2 дптр.
13.3.13. Сильно близорукий.
13.3.14. Отверстие ограничивает рабочую площадь хрусталика и позволяет рассматри- вать предметы, удаленные от глаза менее чем на 25 см. Увеличение будет k = 25/x, где x —

§ 13.4. Фотометрия
13.4.1. h = 1 м.
13.4.2. E
1
= 130 лк, E
2
= 71 лк, E
2
= 25 лк.
13.4.3. E = 41 лк.
13.4.4. E =
I[h
2
+ (h + 2x)
2
]
h
2
(h + 2x)
2
♦
13.4.5. См. рис.
13.4.6. В 80 000 раз.
13.4.7. I
0
= I(1 − k)/(1 + k).
13.4.8
∗
. x ∼ 5 св. лет.
13.4.9. N
0
/N ∼ (R/r)
2
, где R — радиус Венеры,
а r — расстояние от Земли до Венеры.
13.4.10. x ∼ R
2
/r, где r — характерный размер автомобиля.
13.4.11. Освещенность изображения уменьшится: верхней части стрелки-предмета —
несколько больше чем в два раза, нижней — несколько меньше чем в два раза.
13.4.12. Увеличится в два раза.
13.4.13. E
лев
/E
прав
= (R/2l)
2 13.4.14
∗
. E = E
0
a
2
f
2
[xf − (a − x)(x − f )]
2
. При x = a/2.
13.4.15. L = L
0
D
2
/D
2 0
13.4.16
∗
. Нет. E
макс
= BπD
2
/R
2 13.4.17. D = 1,85 м.
13.4.18
∗
. N ≈
4x
2
d
2
T
T
С

4
≈ 770, где T
С
≈ 6 · 10 3
К — температура поверхности Солнца.
13.4.19. Не изменится.
13.4.20. Резко увеличивается световой поток от звезды к глазу.
13.4.21
∗
. d
2
= 5d
1
/6.
13.4.22
∗
. t
1
= t
2
k
1
+ 1
k
2
+ 1

2 13.4.23
∗
. n ≈ (10πr
2
L)
−1 13.4.24
∗
. ρ = 0,2 г/м
3 13.4.25
∗
. В восемь раз.
§ 13.5. Квантовая природа света
13.5.1. E
1
≈ 10
−6
Вт/м
2
, E
2
≈ 4 · 10
−6
Вт/м
2
, E
3
≈ 4 · 10
−5
Вт/м
2 13.5.2. W = hν − eV
0 13.5.3. Скорости электрона и позитрона должны быть равны по модулю и противоположно направлены. ν = 1,24 · 10 20
Гц.
13.5.4. а. v = c
ε
1
− ε
2
ε
1
+ ε
2
б. v = c sin(θ
1
+ θ
2
)
sin θ
1
+ sin θ
2 13.5.5. а. m = (1 − cos θ)
hν
2
c
2
∆ν
б. ∆ν = (1 − cos θ)
hν
0
m e
c
2 13.5.6
∗
. а) При испускании фотона в направлении движения атома mv
2 2
=
m(v − ∆v)
2 2
+ hv + ε,
mv = m(v − ∆v) +
hv c
(1)
При испускании фотона в направлении, противоположном направлению движения атома,
mv
2 2
=
m(v + ∆
0
v)
2 2
+ hν + ε,
mv = m(v + ∆
0
v) −
hν
0
c
(2)
В (1) и (2) m — масса атома, ∆v и ∆
0
v — изменение скорости, ε — изменение внутренней энергии атома, ν
0
— искомая частота фотона. При ∆v, ∆
0
v v из (1) и (2) следует, что
ν
0
= ν
1 − v/c
1 + v/c б) ν
0
= ν(1 − v/c).
356

13.5.7. Притяжением фотонов к звезде.
13.5.8. ∆ν = νγM/(Rc
2
), γ — гравитационная постоянная. ∆ν
С
≈ 10 9
Гц. Тепловое движение атомов на поверхности Солнца влияет на частоту излучаемых им фотонов в большей степени, чем гравитационное поле.
13.5.9
∗
. f ∼ R
2
c
2
/(6γM ) ∼ 10 9
пк.
Глава 14
СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 14.1. Постоянство скорости света. Сложение скоростей
14.1.1. l = 15 км.
14.1.2. v = 6 · 10 7
м/с.
14.1.3. tg α = v/c.
14.1.4
∗
. tg
1 2
∆ = sin α
.
c v
+ cos α

'
v c
sin α = 10
−4
sin α, где v = 30 км/ч — скорость
Земли относительно Солнца.
♦
14.1.5. Для наблюдателей станции время движения светового сигнала, который три раза прошел расстояние l между станциями, равно 3l/c, а время движения зонда l/v, v — скорость зонда. Время движения зонда и сигнала совпадают: 3l/c = l/v. Значит, v = c/3. Аппарату- ра зонда фиксирует световой сигнал, который удаляется от зонда со скоростью c. Навстречу зонду движется вторая станция со скоростью v. Поэтому время движения светового сигнала от первой станции до второй, измеренное аппаратурой зонда, равно l
0
/(c + u), l
0
— расстоя- ние между станциями, измеренное аппаратурой зонда. Время движения светового сигнала от второй станции до первой равно l
0
/(c − u), а полное время движения светового сигнала равно l
0
/(c + u) + l
0
/(c − u) + l
0
/(c + u), и оно равно времени движения второй станции навстречу зонду l/u. Из уравнения l
0
/(c + u) + l
0
/(c − u) + l
0
/(c + u) = l
0
/u находим, что u = c/3. Таким образом,
наблюдатели станции и аппаратура зонда зафиксируют одинаковую скорость сближения зонда со второй станцией, равную c/3.
♦
14.1.6
∗
. Для наблюдателя на первой станции время движения светового сигнала до вто- рой будет равно L/(c + u), L — расстояние между станциями в момент испускания сигнала и зонда. Возвращаться на первую станцию сигнал будет такое же время. Поэтому в момент отражения сигнала от первой станции вторая станция переместится на расстояние 2
l c + u
· u
(рис. а) и расстояние между станциями будет равно l = L
c − u c + u
. Поэтому третий раз сигнал бу- дет находиться в пути время l
c + u
= L
c − u
(c + u)
2
, и полное время движения сигнала будет равно
L
3c + u
(c + u)
2
. Точно такое же время находится в пути зонд, время движения которого определя- ется через искомую скорость зонда v
1
по формуле
L
v
1
+ u
. Приравнивая эти времена, получаем уравнение L
3c + u
(c + u)
2
=
L
v
1
+ u
, из которого и определяем v
1
= c c − u
3c + u
23
∗
357

Для наблюдателя второй станции время движения сигнала от первой станции до второй будет
L
0
c
. За это время первая станция сместится на расстояние
L
0
c u (рис. б), и поэтому сигнал вернется на первую станцию через время
L
0
− L
0
u/c c + u
=
L
0
c c − u c + u
. После отражения от первой станции сигнал вернется на вторую станцию через это же время. Таким образом, полное время движения сигнала будет равно
L
0
c
+ 2
L
0
c c − u c + u
=
L
0
c
3c − u c + u и равно времени движения зонда,
а скорость зонда равна расстоянию между станциями в момент пуска зонда, деленному на это время: v
1
' L
0
3c − u c + u
·
L
0
c

= c c + u
3c − u
Точно такие же скорости зафиксирует и аппаратура зонда: первая станция будет удалять- ся от зонда со скоростью c c − u
3c + u
, а вторая станция — приближаться со скоростью c c + u
3c − u
♦
14.1.7
∗
. Скорости обоих сигналов по наблюдениям с корабля одинаковы. Поэтому для наблюдателя космического корабля в момент отражения станции находились на одинаковом расстоянии, и сигнал от них отразился одновременно, так как в этом случае одновременно ото- сланные сигналы и вернутся после отражения одновременно. А что наблюдается со станций?
Сигналы относительно корабля уже не равны скорости света, а равны или c + v, или c − v.
Поэтому сигнал не может отразиться одновременно от станций в момент, когда корабль нахо- дился от них на одинаковом расстоянии. В этом случае сигнал прошел бы быстрее на корабль от той станции, к которой движется корабль. Более того, сигналы вообще не могут отражаться одновременно. Действительно, чтобы одновременно отраженные сигналы пришли на корабль тоже одновременно, корабль должен находиться от станции, к которой он приближается, на расстоянии в (c + v)/(c − v) большем, чем расстояние до станции, от которой он удаляется. Но тогда он должен был бы отправить сигналы на эти станции в разное время, так как только в этом случае они прибудут на эти станции одновременно. Поэтому на станциях обязатель- но наблюдается приход сигналов в разное время, а в момент отражения корабль обязательно наблюдается на разных расстояниях от станций. Для определения разницы времен отражений
358

сигналов от станций нужно найти расстояние корабля от станций x и l − x в момент подачи сигналов с корабля. Эти расстояния находятся из условия равенства времен движения сигналов:
x c
+
x c − v

1 +
v c

=
l − x c
+
x c + v

1 −
v c

Из этого уравнения следует x =
1 2

1 −
v c

l, l − x =
1 2

1 +
v c

l. Поэтому времена движения сигналов от корабля до станций определяются формулами
τ
1
=
x c
=
1 2

1 −
v c

l c
,
τ
2
=
l − x c
=
1 2

1 +
v c

l c
,
а разница времен отражений сигналов — формулой
τ
1
− τ
2
=
v c
2
l.
Расстояние до станций в моменты отражений легко находится через τ
1
, τ
2
, x и l − x: x
1
= x
2
=
1 2

1 −
v
2
c
2

l.
14.1.8. v
1
=

1 −
1
k

c,
v
2
=
(k − 1)(1 − β
2
)
(k − 1)(1 + β) + 1
c.
♦
14.1.9. На рис. а схематично изображены два следующих друг за другом отражения ра- дарного импульса от объекта. Если τ
1
и τ
2
— времена возвращения импульса, то (τ
1
+ τ
2
)/2 —
промежуток времени между первым и вторым отражением от объекта, a c(τ
1
− τ
2
)/2 — путь,
пройденный объектом за это время. Значит, скорость объекта определяется через время воз- вращения импульса по формуле v =
c(τ
1
− τ
2
)/2
c(τ
1
+ τ
2
)/2
= c k − 1
k + 1
,
где k — отношение времен возвращения τ
1
/τ
2
. А какая скорость объекта получится, если по- слушаться генерала? На рис. б показаны скорости радарного импульса и времена полетов им- пульса от отражения до отражения. В этом случае скорость сближения объекта со станцией определяется через приведенные на рис. б величины по формуле v
0
=
(c − u)τ
+
1
+ (c − u)τ
−
2 2(τ
−
1
+ τ
+
2
)
В этой формуле надо τ
+
1,2
и τ
−
1,2
определить через наблюдаемые величины τ
1
и τ
2
. Для этого нужно воспользоваться следующими очевидными соотношениями:
τ
+
1,2
+ τ
−
1,2
= τ
1,2
,
τ
+
1,2
/τ
−
1,2
= (c − u)/(c + u),
из которых следует, что τ
±
1,2
= (1 ∓ u/c)τ
1,2
/2, а скорость v
0
=

1 −
u
2
c
2

(k − 1)c
. h k + 1 −
u c
(k − 1)
i
=

1 −
u
2
c
2

v
.
1 −
vu c
2

Эта скорость v
0
отличается от скорости v и определяется, как и предполагал генерал, не толь- ко отношением времен k, но и скоростью лаборатории u относительно Земли. Но совпадает ли
359