Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

♦
1.3.11. Из отверстия шланга, прикрытого пальцем, бьют две струи под уг- лом α и β к горизонту с одинаковой начальной скоростью v. На каком расстоянии от отверствия по горизонтали струи пересекутся?
1.3.12
∗
. Из шланга, лежащего на земле, бьет под углом 45
◦
к горизонту вода с начальной скоростью 10 м/с. Площадь сечения отверствия шланга 5 см
2
Определите массу струи, находящейся в воздухе.
1.3.13
∗
. Снаряд, вылетев из орудия, попал в точку с координатами x по го- ризонтали и y по вертикали. Начальная скорость снаряда v. Найдите: а) тангенс угла, образуемого стволом орудия с горизонтом; б) границу области возможного попадания снаряда; в) наименьшую начальную скорость снаряда, при которой он может попасть в точку с координатами x, y.
Указание. При решении воспользуйтесь тригонометрическим тождеством
1/ cos
2
ϕ = tg
2
ϕ + 1.
1.3.14. С одного и того же места с интервалом времени ∆t брошены два тела с одной и той же начальной скоростью v под углом ϕ к горизонту. Как движет- ся первое тело относительно второго? Почему относительная скорость зависит только от ∆t?
1.3.15. По внутренней поверхности гладкого вертикального цилиндра ради- уса R под углом α к вертикали пускают шарик. Какую начальную скорость ему надо сообщить, чтобы он вернулся в исходную точку?
♦
1.3.16
∗
. В трубу длины l, наклоненную под углом α к горизонту, влетает шарик с горизонтальной скоростью v. Определите время пребывания шарика в трубе, если удары шарика о ее стенки упругие.
♦
1.3.17. В прямоугольной коробке, упруго ударяясь о дно и правую стенку, по одной траектории туда и обратно прыгает шарик. Промежуток времени между ударами о дно и стенку равен ∆t. Дно коробки образует угол α с горизонтом.
Найдите скорости шарика сразу после ударов.
♦
1.3.18
∗
. В сферической лунке прыгает шарик, упруго ударяясь о ее стенки в двух точках, расположенных на одной горизонтали. Промежуток времени между ударами при движении шарика слева направо всегда равен T
1
, а при движении справа налево — T
2 6= T
1
. Определите радиус лунки.
1.3.19
∗
. Какую минимальную скорость должен иметь камень, брошенный мальчиком, чтобы он перелетел дом высоты H и длины L, если бросок соверша- ется с высоты h и для броска мальчик может выбрать любое место?
18

1.3.20. Определите скорость и ускорение, которыми обладают точки зем- ной поверхности на экваторе и в Санкт-Петербурге из-за участия Земли в су- точном вращении. Радиус Земли принять равным 6400 км. Широта Санкт-
Петербурга 60
◦
1.3.21. С какой скоростью должен лететь спутник, чтобы, все время «падая»
на Землю с ускорением g, двигаться по окружности? Принять радиус орбиты
R = 6400 км, а g = 10 м/с
2
♦
1.3.22
∗
. Самолеты летят по одной прямой навстречу друг другу с одина- ковой скоростью v. Предельная дальность обнаружения ими друг друга l. Один самолет после обнаружения другого совершает разворот, не меняя модуля скоро- сти, и летит параллельно второму самолету. При каком постоянном ускорении самолеты потеряют друг друга из вида в конце разворота?
♦
1.3.23. Небольшое тело движется с постоянной скоростью v по траектории,
состоящей из двух плавно соединенных дуг окружностей радиуса R и R/3. По- стройте векторы ускорения в отмеченных точках траектории.
1.3.24. В момент времени, когда скорость частицы равна 10 6
м/с, ее уско- рение составляет 10 4
м/с
2
и направлено под углом 30
◦
к скорости. На сколько увеличится скорость за 10
−2

с? На какой угол изменится направление скорости?
Какова в этот момент угловая скорость вращения вектора скорости?
1.3.25. Небольшое тело движется по окружности радиуса r со скоростью, ко- торая линейно увеличивается во времени по закону v = kt. Найдите зависимость полного ускорения тела от времени.
♦
1.3.26. Край гладкого горизонтального стола скруглен по окружности радиуса r. С какой наи- меньшей скоростью нужно пустить по столу ма- лое тело, чтобы оно, достигнув скругления, сразу полетело по параболе?
1.3.27
∗
. Сферический резервуар, стоящий на земле, имеет радиус R. При какой наименьшей скорости брошенный с земли камень может перелететь через резервуар, лишь коснувшись его вершины?
1.3.28. Снаряды вылетают с начальной скоростью 600 м/с под углом 30
◦
,
45
◦
, 60
◦
к горизонту. Определите радиус кривизны траектории снарядов в их наивысшей и начальной точках.
1.3.29. Для экономии места въезд на один из высочайших в Японии мостов устроен в виде винтовой линии, обвивающей цилиндр радиуса R. Полотно дороги составляет угол α с горизонтальной плоскостью. Каково ускорение автомобиля,

♦
1.4.1. Начальные положения и скорости двух кораблей заданы на рисунке.

Корабли движутся без ускорения. Как найти наименьшее расстояние между ни- ми?
♦
1.4.2. На рисунке скорости шести выпущенных старым Мазаем зайцев изоб- ражены в системе координат, неподвижной относительно Мазая. Попробуйте на- рисовать скорости Мазая и остальных зайцев в системе координат, неподвижной относительно зайца 1.
1.4.3. Одна из частиц пылевого облака (частица A) покоится, а все осталь- ные разлетаются от нее в разные стороны со скоростями, пропорциональными расстояниям от них до частицы A. Какую картину движения обнаружит наблю- датель, движущийся вместе с частицей B?
♦
1.4.4. С угла A квадратного плота спрыгнул в воду и поплыл вокруг плота пес. Нарисуйте траекто- рию движения пса относительно берега, если он плы- вет вдоль сторон плота, а его скорость относительно воды составляет 4/3 скорости течения реки.
1.4.5. а. Капли дождя из-за сопротивления воз- духа падают с постоянной скоростью v, перпендику- лярной поверхности земли. Как необходимо располо- жить цилиндрическое ведро, находящееся на движу- щейся со скоростью u платформе, чтобы капли не попадали на его стенки?
б. При скорости ветра 10 м/с капли дождя пада- ют под углом 30
◦
к вертикали. При какой скорости ветра капли будут падать под углом 45
◦
?
♦
1.4.6
∗
. Буер представляет собой парусные сани.
Он может двигаться лишь по линии, по которой на- правлены его коньки. Ветер дует со скоростью v, пер- пендикулярной направлению движения буера. Парус же составляет 30
◦

с направлением движения. Какую скорость не может превысить буер при этом ветре?
1.4.7
∗
. Какой будет продолжительность полета самолета из Новосибирска в Москву и обратно, про- исходящего по прямой, если в течение всего полета ветер дует под углом α к трассе со скоростью u? Скорость самолета относительно воздуха v, длина трас- сы L. При каком направлении ветра продолжительность полета максимальна?
♦
1.4.8. При упругом ударе тела о неподвижную стенку его скорость v меня- ется лишь по направлению. Определите изменение после удара скорости этого тела, если стенка движется: а) со скоростью u навстречу телу; б) со скоростью w < v в направлении движения тела.
♦
1.4.9. Тело налетает на стенку со скоростью v пол углом α к линии, перпен- дикулярной стенке. Определите скорость тела после упругого удара, если стенка:
а) неподвижна; б) движется перпендикулярно самой себе со скоростью w навстре- чу телу; в) движется под углом β к линии, перпендикулярной ей самой, со ско- ростью w навстречу телу.
20

1.4.10. Внутри сферы радиуса R, движущейся со скоростью u, находится шарик радиуса r, который в момент, когда он проходит через центр сферы, имеет скорость v, перпендикулярную скорости u. Масса сферы много больше массы шарика. Определите, с какой частотой шарик ударяется о стенку сферы. Удары абсолютно упругие.
1.4.11. Тело роняют над плитой на высоте h от нее. Плита движется верти- кально вверх со скоростью u. Определите время между двумя последовательными ударами тела о плиту. Удары абсолютно упругие.
♦
1.4.12. Тело влетает горизонтально со скоро- стью v в пространство между двумя вертикальными стенками, которые перемещаются со скоростью u. Оп- ределите скорость тела после n-гоудара о переднюю стенку. Расстояние между стенками L. Удары абсо- лютно упругие.
1.4.13. Шестеренка радиуса R помещена меж- ду двумя параллельными зубчатыми рейками. Рейки движутся со скоростью v
1
и v
2
навстречу друг другу.

Какова частота вращения шестеренки?
1.4.14
∗
. Ядро, летящее со скоростью v, распадается на два одинаковых осколка. Определите максимальный возможный угол α между скоростями одно- го из осколков и вектором v, если при распаде покоящегося ядра осколки имеют скорость u < v.
1.4.15
∗
. Имеется пучок одинаковых ядер, движущихся со скоростью v. Ядра в пучке самопроизвольно делятся на пары одинаковых осколков. Скорость оскол- ков, движущихся в направлении пучка, равна 3v. Найдите скорость осколков,
движущихся в направлении, перпендикулярном пучку.
♦
1.4.16. Два пучка частиц, движущихся с оди- наковой по модулю скоростью v, пересекаются под углом α. Соударения частиц происходят в ограни- ченной области. Перейдем к системе отсчета, где скорости частиц равны по модулю и противопо- ложны по направлению. Казалось бы, теперь об- ласть пересечения — весь объем пучков, и поэто- му число соударений в единицу времени должно быть больше. Объясните получившееся противо- речие.
2
∗
21

1.4.17. Идет отвесный дождь. Скорость капель u. По асфальту со скоро- стью v скользит мяч. Во сколько раз за один и тот же промежуток времени на него попадает больше капель, чем на такой же, но неподвижный мяч? Изменится ли ответ, если мяч не круглый?
1.4.18
∗
. Мальчик, который может плавать со скоростью, в два раза меньшей скорости течения реки, хочет переплыть эту реку так, чтобы его как можно меньше снесло вниз по течению. Под каким углом к берегу он должен плыть?

На какое расстояние его снесет, если ширина реки 200 м?
§ 1.5. Движение со связями
♦
1.5.1. Скорость груза A равна v
A

. Чему равна скорость груза B?
♦
1.5.2. Угловая скорость катушки равна ω, радиус внутреннего цилиндра r,

а радиус внешних цилиндров R. Каковы скорости оси катушки и груза относи- тельно земли?
♦
1.5.3. Клин, имеющий угол 30
◦
, лежит на горизонтальной плоскости. Вер- тикальный стержень, опускающийся со скоростью v, заставляет клин скользить по этой плоскости. Какова скорость клина?
1.5.4. На клине с углом α лежит монета. С каким наименьшим ускорением должен двигаться клин по горизонтальной плоскости, чтобы монета свободно падала вниз?
♦
1.5.5
∗
. Скорость монеты, соскальзывающей с клина, изображена на рисунке.
Графическим построением найдите скорость клина.
1.5.6. Плоское твердое тело вращается вокруг оси, перпендикулярной его плоскости. Координаты начального положения точек A и B этого тела (−1, 2)
и (3, 1), а конечного — (−3, 1) и (−2, −3). Графическим построением найдите координаты оси вращения.
♦
1.5.7. а. Скорость точки A твердого тела равна v и образует угол 45
◦
с направлением прямой AB. Скорость точки B этого тела равна u. Определите проекцию скорости точки B на направление AB.
♦
б. Скорости точек A и B твердого тела равны v. Скорость точки C, нахо- дящейся в плоскости прямой AB и вектора v, равна u > v. Найдите проекцию скорости точки C на ось, перпендикулярную указанной плоскости.
22

♦
1.5.8. Постройте траектории точек колеса, катящегося без проскальзывания по рельсу. Рассмотрите случаи, когда точки находятся от оси колеса на рас- стоянии: r > R, r = R, r < R. Найдите ускорение этих точек, если ось колеса движется с постоянной скоростью v. Найдите радиус кривизны траектории точ- ки, находящейся в высшем и низшем положениях на расстоянии r 6= R от оси колеса.
♦
1.5.9
∗
. Нить, намотанную на ось катушки, тянут со скоростью v под углом α
к горизонту. Катушка катится по горизонтальной плоскости без проскальзыва- ния. Найдите скорость оси и угловую скорость вращения катушки. При каких углах α ось движется вправо? влево? Нить так длинна, что угол α не меняется при движении.
♦
1.5.10. По внутренней поверхности закрепленного цилиндра радиуса 2r ка- тится без проскальзывания колесо радиуса r. Найдите траекторию точки обода колеса.
1.5.11. а. Луна обращена к Земле постоянно одной стороной. Сколько обо- ротов совершит она вокруг своей оси за время полного оборота вокруг Земли?
б. На сколько в среднем звездные сутки короче солнечных? Земля обходит
Солнце за 365, 25 солнечных суток.
♦
1.5.12. Бусинка может двигаться по кольцу радиуса R, подталкиваемая спи- цей, равномерно вращающейся с угловой скоростью ω в плоскости кольца. Ось вращения спицы находится на кольце. Определите ускорение бусинки.
♦
1.5.13. Веревку, привязанную к лодке, тянут за свободный конец таким обра- зом, чтобы она не провисала. Лодка движется с постоянной скоростью v, образуя в некоторый момент времени угол α с отрезком веревки, находящимся между столбом и лодкой. С какой скоростью нужно тянуть в этот момент времени сво- бодный конец веревки?
1.5.14
∗
. Четыре черепахи находятся в вершинах квадрата со стороной a.
Они начинают двигаться одновременно с постоянной по модулю скоростью v.
Каждая черепаха движется по направлению к своей соседке по часовой стрелке.

Где встретятся черепахи и через какое время?
23

♦
1.5.15. Постройте примерный график зависимости скорости точки B от вре- мени, если скорость v
A
точки A постоянна. Найдите формулу этой зависимости,
если x(0) = 0.
♦
1.5.16. Стержень упирается своими концами в стороны прямого угла. Верх- ний конец стержня поднимают со скоростью v. Найдите, как зависит от времени скорость его нижнего конца. За начало отсчета времени принять момент, когда верхний конец находится в вершине угла. Длина стержня L.
♦
1.5.17. Бревно, упираясь нижним своим концом в угол между стеной и зем- лей, касается дна грузовика на высоте H от земли. Найдите угловую скорость бревна в зависимости от угла α между ним и горизонталью, если грузовик отъ- езжает от стены со скоростью v.
♦
1.5.18
∗
. Стержень, одним концом шарнирно закрепленный на горизонталь- ной плоскости, лежит на цилиндре. Угловая скорость стержня ω. Проскальзыва- ния между цилиндром и плоскостью нет. Найдите зависимость угловой скорости цилиндра от угла α между стержнем и плоскостью.
♦
1.5.19. Сферический буй радиуса R привязан ко дну водоема. Уровень воды в водоеме поднима- ется со скоростью u. Какова скорость перемеще- ния границы затопленной части буя по его поверх- ности в момент, когда уровень воды оказывается на h выше центра буя?
1.5.20. Бобина магнитофонной пленки про- игрывается в течение времени t при скорости протяжки пленки v. Начальный радиус бобины
(с пленкой) равен R, а конечный (без пленки) — r.

Какова толщина пленки?
24

Глава 2
Динамика
§ 2.1. Законы Ньютона
2.1.1. По достоверным сведениям, однажды барон Мюнхгаузен, увязнув в болоте, вытащил сам себя за волосы. Какие законы физики сумел нарушить ба- рон?
2.1.2. Шайба, скользившая по льду, остановилась через время t = 5 с после удара о клюшку на расстоянии l = 20 м от места удара. Масса шайбы m = 100 г.
Определите действовавшую на шайбу силу трения.
♦
2.1.3. В электронно-лучевой трубке электроны с начальной горизонтальной скоростью v влетают в область электрического поля протяженности l, где на них действует вертикальная сила со стороны заряженных отклоняющих пластин. Че- му равна эта сила, если электроны, попадая на экран, смещаются на расстояние y по сравнению со случаем незаряженных пластин? Экран находится на расстоя- нии L от центра области действия электрической силы. Масса электрона m e
♦
2.1.4. Четырьмя натянутыми нитями груз закреплен на тележке. Сила на- тяжения горизонтальных нитей соответственно T
1
и T
2
, а вертикальных — T
3
и T
4

. С каким ускорением тележка движется по горизонтальной плоскости?
♦
2.1.5. Какая сила действует в поперечном сечении однородного стержня дли- ны l на расстоянии x от того конца, к которому вдоль стержня приложена сила F ?
♦
2.1.6. Два тела массы m
1
и m
2
связаны нитью, выдерживающей силу натя- жения T . К телам приложены силы F
1
= αt и F
2
= 2αt, где α — постоянный коэффициент, t — время действия силы. Определите, в какой момент времени нить порвется.
25

2.1.7. Для измерения массы космонавта на орбитальной станции использует- ся подвижное сиденье известной массы m
0
, прикрепленное к пружине. При одной и той же начальной деформации (сжатии) пружины пустое сиденье возвращается в исходное положение через время t
0
, если же на сиденьи находится космонавт —
через время t > t
0

. Какова масса космонавта?
♦
2.1.8. Динамометр состоит из двух цилиндров, соединенных легкой пружи- ной. Найдите отношение масс этих цилиндров, если при приложенных к ним силам F
1
и F
2
динамометр показывает силу F .
2.1.9. Для испытания оборудования в условиях невесомости контейнер под- брасывается вверх пневматическим поршневым устройством, находящимся на дне вакуумированной шахты. Поршень действует на контейнер в течение време- ни ∆t с силой F = nmg, где m — масса контейнера с оборудованием. Через какое время контейнер упадет на дно шахты? В течение какого времени длится для оборудования состояние невесомости, если ∆t = 0, 04 с, а n = 125?
2.1.10. Для подготовки к работе в условиях невесомости одетые в скафандры космонавты тренируются в воде. При этом сила тяжести, действующая на них,
уравновешивается выталкивающей силой. В чем отличие такой «невесомости»

от настоящей?
♦
2.1.11. Найдите ускорение грузов и силы натяжения нитей в системе, изоб- раженной на рисунке. Блок и нити невесомы, трения нет.
♦
2.1.12. Маляр работает в подвесной люльке. Ему понадобилось срочно под- няться вверх. Он принимается тянуть за веревку с такой силой, что сила его давления на пол люльки уменьшилась до 400 H. Масса люльки 12 кг, масса ма- ляра 72 кг. Чему равно ускорение люльки?
♦
2.1.13. Система из трех одинаковых шаров, связанных одинаковыми пру- жинами, подвешена на нити. Нить пережигают. Найдите ускорения шаров сразу после пережигания нити.
♦
2.1.14. Тела массы m
1
и m
2
соединены пружиной жесткости k. На тело массы m
2
действует постоянная сила F , направленная вдоль пружины к телу массы m
1
. Найдите, на сколько сжата пружина, если никаких других внешних
26