Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

12.1.5. Две плоские синусоидальные волны, амплитуда которых E
0
, имеют частоту соответственно ω и ω + ∆, ∆ ω, и распространяются в одном на- правлении, накладываясь друг на друга. Чему равна максимальная амплитуда результирующей волны? Определите распределение средней плотности энергии результирующей волны вдоль направления распространения волн.
♦
12.1.6. Электромагнитная волна занимает пространство между двумя па- раллельными бесконечными плоскостями AB и A
0
B
0
. Изображенный участок электромагнитного поля движется со скоростью света c в направлении, перпен- дикулярном плоскости AB. Напряженность электрического поля волны E. При- меняя закон электромагнитной индукции к прямоугольному контуру baa
0
b
0
, опре- делите индукцию магнитного поля волны в СИ и в СГС.
12.1.7
∗
. Решите задачу 12.1.6 в случае, если волна распространяется в среде с диэлектрической проницаемостью ε. Скорость волны в среде c/
√
ε.
12.1.8
∗
. Используя закон электромагнитной индукции и связь переменного электрического поля с магнитным полем (см. задачу 11.6.1), докажите, что ско- рость распространения волны в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ равна c/
√
µε.
12.1.9
∗
. Как связана напряженность электрического поля волны E с маг- нитной индукцией B в среде с диэлектрической проницаемостью ε и магнитной проницаемостью µ?
♦
12.1.10. На рисунке изображены электрические поля бегущих навстречу друг другу плоских электромагнитных волн в нулевой момент времени. Нари- суйте графики распределения напряженности E и индукции B полей этих волн в момент времени a/2c, a/c, 3a/c. Чему равно отношение энергии электрического поля и энергии магнитного поля к общей энергии в эти моменты времени?
242

♦
12.1.11. а. Однородное электрическое поле напряженности E занимает про- странство между бесконечными плоскостями AB и A
0
B
0
, расстояние между кото- рыми d. Это поле образовалось при наложении двух плоских электромагнитных волн. Определите эти волны, если напряженность электрического поля E парал- лельна плоскостям.
б. На какие электромагнитные волны можно разложить магнитное поле ин- дукции B, сосредоточенное между плоскостями AB и A
0
B
0
? Индукция магнитного поля B параллельна плоскостям.
12.1.12. а. Вокруг движущегося заряженного тела возникает магнитное по- ле, а вокруг неподвижного — нет. Поэтому при мгновенной остановке двигав- шегося тела магнитное поле станет «лишним». Оно превращается в электро- магнитные волны. Таким образом, процесс излучения электромагнитных волн можно рассматривать как процесс появления «лишних» полей при изменении ско- рости заряженного тела. Особенно просто этот процесс описывается для случая плоского конденсатора. Если заряженный конденсатор движется со скоростью v параллельно своим пластинам, то индукция магнитного поля B в нем связана с напряженностью электрического поля E соотношением B = (v/c
2
)E. При мгно- венной остановке конденсатора это магнитное поле можно считать суммой двух электромагнитных волн с индукцией B/2, движущихся в противоположных на- правлениях перпендикулярно пластинам.
а. Определите напряженность электрического поля в каждой волне.
б
∗
. Какова энергия волны, испущенной зарядом Q, равномерно распределен- ным по движущейся сфере радиуса r, при ее мгновенной остановке? Скорость сферы до остановки v.
в. Напряжение, приложенное к двум проводам, разделенным воздушным про- межутком, повышали до тех пор, пока между ними не проскочила искра, в резуль- тате чего в проводах возникли колебания тока, приведшие к появлению электро- магнитных волн. Оцените, во сколько раз должна увеличиться мощность элек- тромагнитных волн, если напряжение пробоя увеличить в два раза.
♦
12.1.13. Заряженный плоский конденсатор рас- качивают, перемещая его параллельно пластинам. С
увеличением частоты колебаний ν средняя интенсив- ность I излучаемых конденсатором электромагнит- ных волн сначала увеличивается, потом уменьшается до нуля, затем опять увеличивается и т. д. Чем объяс- няется такое чередование интенсивности излучения?
При каких частотах конденсатор не излучает энер- гию? Оцените частоту, при которой наблюдаются 1-й и k-й максимумы излучения.
♦
12.1.14
∗
. Заряженная пластина, напряженность электрического поля кото- рой E, двигаясь параллельно самой себе со скоростью v, создает магнитное поле индукции B = (v/c
2
)E. Поэтому при уменьшении скорости пластины на величи- ну dv в окружающем ее пространстве возникает «лишнее» магнитное «микро- поле» индукции dB = ±(dv/c
2
)E. Суммируясь, эти «микрополя» дают электро- магнитную волну, напряженность электрического поля которой зависит лишь от скорости пластины:
E
изл
(t, x) = cB
изл
(t, x) = (cv t−x/c
/c
2
)E = (v t−x/c
/c)E.
Индекс t − x/c означает, что при вычислении напряженности поля на рас- стоянии x от пластины значение ее скорости нужно брать в момент времени t − x/c. Например, напряженность электрического поля излучения пластины,
243

скорость которой равна v
0
sin ωt, на расстоянии x от пластины в момент вре- мени t равна (v
0
/c) sin [ω(t − x/c)]E, так как скорость пластины в момент вре- мени t − x/c была равна v
0
sin ω(t − x/c). Докажите справедливость формулы
E
изл
(t, x) = (v t−x/c
/c)E для случая, когда скорость v меняется так, как изобра- жено на рисунках.
12.1.15
∗
. Используя формулу E
изл
= (v t−x/c
/c)E, приведенную в задаче
12.1.14, решите следующие задачи.
а. Определите напряженность электрического поля в плоской волне, излу- чаемой плоским конденсатором при его движении с постоянным ускорением a,
направленным параллельно его пластинам. Расстояние между пластинами d, на- пряженность электрического поля внутри конденсатора E.
б. Линейная плотность тока на пластине меняется синусоидально с ампли- тудой i
0
. Определите в СИ и в СГС амплитуду напряженности электрического поля в волне, излучаемой этой пластиной.
в. Определите коэффициент отражения электромагнитной волны, падающей на тонкую проводящую пленку перпендикулярно ее поверхности. Толщина плен- ки x, число электронов проводимости в единице объема n e
, частота волны ν.
♦
12.1.16. При раздвижении двух параллельных полупрозрачных зеркальных пластин интенсивность электромагнитного излучения, прошедшего сквозь эти пластины, периодически меняется в зависимости от расстояния между ними.
Объясните это явление и определите, пользуясь рисунком, длину волны пада- ющего излучения. Излучение распространяется перпендикулярно пластинам.
♦
12.1.17. Амплитуда напряженности электрического поля электромагнитной волны, отраженной от проводящей пленки, тем больше, чем толще пленка. На рисунке приведена типичная зависимость амплитуды отраженной волны от тол- щины пленки. В начальный момент (в области x < x
1
) амплитуда линейно зави- сит от толщины пленки x, затем линейная зависимость нарушается, и в области x > x
2
амплитуда отраженной волны мало отличается от амплитуды падающей волны E
0
. Объясните эту зависимость.
244

12.1.18
∗
. Оцените глубину проникновения в проводник перпендикулярно па- дающей на его поверхность электромагнитной волны. Частота волны ν = 10 15
Гц,
число электронов проводимости в единице объема n e
= 10 22
см
−3
♦
12.1.19. При достаточно большом числе электронов проводимости в едини- це объема металла составляющая напряженность электрического поля волны,
параллельная поверхности металла, ослабляется практически до нуля. Поэтому решение задачи о взаимодействии электромагнитной волны с металлом сводится к отысканию вблизи его поверхности двух таких бегущих волн, наложение кото- рых дает нулевую составляющую напряженности электрического поля вдоль по- верхности. Такими электромагнитными волнами являются при перпендикуляр- ном падении на металлическую поверхность две волны: одна реально движется в пространстве вне металла, а другая, фиктивная, «перевернутая» волна движется навстречу первой внутри металла (на рисунке эта область вместе с фиктивной волной находится справа от плоскости AB). Фиктивная волна становится реаль- ной, как только она выходит за границу AB, где она накладывается на первую волну. Наложение этих волн слева от плоскости AB дает нулевую напряженность электрического поля вдоль AB и, следовательно, решает поставленную задачу.
Используя описанный прием, найдите напряженность электрического и ин- дукцию магнитного поля вблизи металлической плоскости в момент, когда вер- шина падающей волны достигает плоскости AB.
♦
12.1.20. Слой фотоэмульсии нанесен на зеркальную металлическую подлож- ку. При нормальном падении света на расстоянии 10
−5
мм от металлической поверхности происходит почернение эмульсии. Объясните этот эффект. Опреде- лите длину волны света, падающего на металлическую поверхность. На каком расстоянии от поверхности подложки будет находиться второй слой почерневшей эмульсии?
12.1.21. На металлическую стенку падает перпендикулярно ее поверхности плоская электромагнитная волна. Напряженность электрического поля волны E.
Определите в СИ и в СГС линейную плотность тока в стенке и давление волны на нее.
12.1.22. Амплитуда напряженности электрического поля плоской синусои- дальной волны равна E
0

. Какое среднее давление оказывает эта волна на плоскую металлическую стенку при нормальном падении на нее?
12.1.23. Чему равно давление солнечного излучения на зеркальную поверх- ность вблизи Земли при нормальном падении на зеркало? при падении излучения на зеркало под углом 30
◦
? Плотность потока энергии солнечного излучения рав- на 600 Вт/м
2 12.1.24
∗
. Оцените максимальный размер алюминиевых пылинок, которые в космическом пространстве под давлением солнечного излучения удалялись бы от
Солнца.
16
∗
245

♦
12.1.25. Пользуясь методом, изложенным в задаче 12.1.19, докажите, что угол падения электромагнитной волны равен углу отражения. Рассмотрите слу- чаи: а) вектор E электромагнитной волны, падающей на металл, параллелен металлической поверхности; б) вектор B электромагнитной волны параллелен металлической поверхности.
12.1.26. Среднее давление плоской синусоидальной волны, падающей под углом α на металлическую поверхность, равно P . Определите амплитуду напря- женности электрического поля этой волны.
♦
12.1.27
∗
. Метод фиктивных волн (см. задачу 12.1.19) можно использовать и для решения задачи об отражении электромагнитной волны от движущейся со скоростью v металлической поверхности. Для решения этой задачи нужно подо- брать фиктивную волну таким образом, чтобы она, войдя в область вне металла и став реальной, при наложении на падающую волну давала бы в СГС напряжен- ность электрического поля, в v/c раз меньшую индукции магнитного. Объясните это условие.
12.1.28
∗
. На движущуюся со скоростью v металлическую стенку падает пер- пендикулярно ее поверхности плоская электромагнитная волна. Напряженность электрического поля волны E. Какое давление в СИ и в СГС оказывает волна на стенку?
12.1.29. Частота синусоидальной волны, падающей на движущуюся метал- лическую стенку перпендикулярно ее поверхности, при отражении меняется на ∆.
Первоначальная частота волны ν
0
. Определите скорость стенки.
12.1.30. Амплитуда волны при отражении ее от движущейся навстречу ме- таллической стенки увеличилась в k раз. Определите скорость стенки.
12.1.31. Почему при переходе электромагнитной волны через плоскую гра- ницу вакуум — непроводящая среда: а) перпендикулярная границе составляющая напряженности электрического поля уменьшается в ε раз, а параллельная не ме- няется; б) перпендикулярная границе составляющая индукции магнитного поля не меняется, а параллельная увеличивается в µ раз? ε — диэлектрическая, µ —
магнитная проницаемость среды.
12.1.32. Как меняется фаза волны, отраженной от плоской границы раздела двух диэлектриков с диэлектрической проницаемостью ε
1
и ε
2
в случае ε
1
< ε
2
?
в случае ε
1
> ε
2
? Волна падает перпендикулярно плоскости раздела.
12.1.33. Покажите с помощью закона сохранения энергии, что в сферической волне, излучаемой точечным источником, амплитуда напряженности электриче- ского поля и индукции магнитного поля волны убывает обратно пропорционально расстоянию от источника, если энергия волны не поглощается средой.
246

♦
12.1.34. На рисунке изображено распределение электрического поля двух бе- гущих сферических волн в нулевой момент времени. Изобразите распределение электрического поля в момент времени r
0
/c. Каким будет распределение элек- трического поля при t → ∞? Определите энергию этих полей.
§ 12.2. Распространение электромагнитных волн
♦
12.2.1. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля каждый участок фронта волны является источником вторичной сферической волны. Огибающая этих волн дает новый фронт волны. Покажите, используя этот принцип, что: а) плоский фронт электромагнитной волны перемещается со скоростью света c в направ- лении, перпендикулярном плоскости фронта; б) радиус сферического фронта за время τ возрастает на τ c.

12.2.2. Как изменяются длина и скорость волны при переходе ее в среду с показателем преломления n? Меняется ли частота волны?
♦
12.2.3. С помощью принципа Гюйгенса — Френеля докажите, что при па- дении плоской волны на границу раздела двух сред: а) угол падения равен углу отражения (α
1
= α
3
); б) отношение синуса угла падения к синусу угла преломле- ния равно отношению скорости волны в первой среде к скорости волны во второй среде (sin α
1
/ sin α
2
= v
1
/v
2
).
♦
12.2.4. Найдите углы, определяющие направления минимумов излучения,
если плоская волна падает перпендикулярно на щель ширины b. Длина волны
λ < b.
12.2.5. Ширина штрихов дифракционной решетки много меньше длины вол- ны. Во сколько раз увеличится интенсивность излучения в направлении максиму- ма излучения, если число штрихов дифракционной решетки увеличить в k раз?
12.2.6. На стеклянную дифракционную решетку, имеющую 200 линий на
1 мм и покрытую тонким слоем золота, падает очень узкий пучок K
α
-излучения меди (λ = 1,541 · 10
−10
м) под углом 20 0
к ее поверхности. Определите разность углов отражения между пучками первого и нулевого порядка.
247

♦
12.2.7. На отверстие радиуса r падает перпендикулярно его плоскости плос- кая синусоидальная волна. Длина волны λ r. Интенсивность волны по оси отверстия периодически меняется. На каком расстоянии от его центра находится последний максимум? Определите расстояние между максимумами интенсивно- сти на расстоянии z
0
от центра отверстия, если r
2
/λ z
0
r.
♦
12.2.8. Если круглое отверстие (например, ирисовая диафрагма) увеличива- ется таким образом, что радиус его, равнявшийся радиусу одной зоны Френеля,
достигает радиуса двух зон, то в точке A интенсивность излучения значительно уменьшится, падая до нуля, хотя поток излучения через отверстие возрастает почти в два раза. Каким образом согласуются эти два факта?
12.2.9
∗
. На экран, имеющий круглое отверстие, падает параллельный пу- чок света. Радиус отверстия совпадает с радиусом центральной зоны Френеля для точки A (см. рисунок к предыдущей задаче). Используя графический метод,
определите, во сколько раз интенсивность света от центральной зоны больше интенсивности света, приходившего бы в эту же точку, если бы не было экрана.
♦
12.2.10. Изобразите на графике зависи- мость интенсивности света в точке A от ради- уса отверстия, перекрывающего параллельный поток излучения с длиной волны λ. Расстояние от точки A до центра отверстия b. Интенсив- ность излучения в потоке I.
♦
12.2.11
∗
. а. На рисунке изображена плос- кая стеклянная пластинка с зачерненными кольцевыми участками. Этой пластинкой пе- рекрыли параллельный пучок монохроматиче-
248

ского света с длиной волны λ. Оказалось, что зачерненные кольца пластинки совпали с четными зонами Френеля для осевой точки A. Как изменилась интен- сивность света в этой точке?
б. Параллельный пучок монохроматического света перекрыли пластинкой,
в которой зачерненные кольцевые участки заменены слоями диэлектрика, изме- няющего фазу проходящей волны на π. Как изменилась интенсивность света в точке A в этом случае?
♦
12.2.12
∗
. Рассчитайте амплитуду a элементарной вторичной волны Гюйген- са — Френеля. (Амплитуда a пропорциональна амплитуде A первичной волны,
дошедшей от элемента ∆S, площади этого элемента и обратно пропорциональ- на r, т. е. a = cA∆S/r. Для определения c сравните амплитуду плоской волны в какой-либо точке и амплитуду, рассчитанную по методу Френеля, в этой же точ- ке, когда в качестве вспомогательной поверхности взят фронт плоской волны.)
♦
12.2.13. а. Оцените размер светового пятна на Луне от лазерного луча. Ла- зер находится на Земле, радиус его луча 10 см, длина волны 10
−5
см. (Граница пятна оценивается из условия, что в области пятна лучи, идущие от отдельных участков волны, не гасят друг друга.)
б. Оцените размеры антенны радара, излучающего трехсантиметровые элек- тромагнитные волны внутри угла 0,01 рад.
12.2.14. Оцените минимальный размер предмета на поверхности Земли, ко- торый можно сфотографировать со спутника, летящего на высоте 200 км, а также минимальный размер предметов на Луне и на Марсе, которые можно сфотогра- фировать с околоземной орбиты. Разрешающая способность фотопленки не огра- ничивает четкости изображения.
12.2.15. а. Раскаленная нить накала электрической лампы имеет красный оттенок, если смотреть на нее через матовую поверхность плафона. Объясните это явление.