Файл: Г. А. Кутузова и др. Под ред. О. Я. Савченко. 3е изд., испр и доп.pdf

11.2.8. а. q
1
= C
1
ϕ
2
, q
2
= C
2
ϕ
2
б
∗
. q
3
=
C
3
(C
2
− C
1
)
C
1
+ C
2
+ C
3
ϕ
2 11.2.9. а. I = 1,44 мА. б. I = 2,5 мА, ток через перемычку равен нулю.
в. I
1
= 2,79 мА,
I
2
= 1,77 мА, I
3
= 0,96 мА.
11.2.10. б
∗
. ∆I = IkT /(RC).
11.2.11. Φ
макс
= V RC = 5 · 10
−7
Вб.
11.2.12. а. V
1
= t p2µ
0
ma
3
/(hd), V
2
= t
3
p32µ
0
mb
2
/(9hd).
б. V
1
= (8,7 · 10 8
В/с)t, V
2
= (1,2 · 10 14
В/с
3
)t
3 11.2.13
∗
. E = (πr
2
/3)nB
0
ω sin ωt.
11.2.14
∗
. ω = qBl
2
/(2mr
2
). Не изменится.
11.2.15
∗
. B(t) = αt(1 + r
2
/r
2 0
).
11.2.16
∗
. Уменьшается. С ростом индукции магнитного поля растут силы Лоренца и ско- рость электрона. Однако последняя — недостаточно быстро для того, чтобы электрон остался на окружности того же радиуса.
11.2.17
∗
. l = 3r
0
/4. В 100 раз. Если начальный радиус r < l, электрон будет двигаться по сходящейся к центру спирали, при r > l — по расходящейся спирали.
11.2.18
∗
. ω = 2σB/[r(ρ + 2µ
0
σ
2
)].
11.2.19
∗
. а. В 2,6 · 10 12
раз.
б. nSr ≈ 7 · 10
−14
м
2
, где n — число витков на единицу длины соленоида, r — радиус соленоида, S — сечение провода.
11.2.20
∗
. m э.м.
= ε
0
µ
0
CV
2
= CV
2
/c
2
, где c — скорость света.
11.2.21
∗
. m э.м.
≈ 10
−27
кг.
§ 11.3. Взаимная индуктивность. Индуктивность проводников.
Трансформаторы
11.3.1. Φ = µ
0
ISn sin α, L
12
= µ
0
Sn sin α.
11.3.2. L
12
= (µ
0
πr
2
n/2)(cos α + sin α).
11.3.3. L
12
= µ
0
πr
2
nN .
11.3.4
∗
. V = µ
0
πr
2
nN ωI
0
cos ωt.
11.3.5. L = µ
0
πr
2
n
2
l.
б
∗
. Уравнение движения электрона в соленоиде e

E −
L
l dI
dt

= m e
dv dt
,
l = 2πrN.
Но en e
Sv = I. Поэтому первое уравнение можно переписать в виде
El = V =

L +
m e
l e
2
n e
S
dI
dt
Значит, L
1
= L + m e
l/(e
2
n e
S). Можно.
11.3.6
∗
. L = µ
0
π(r
2 1
+ r
1
r
2
+ r
2 2
)n
2
/3 = 2,3 Гн/м.
11.3.7. t = B
√
v/(V
√
µ
0
) = 8,9 · 10
−2
с.
11.3.8. При h dL = µ
0
h/d = 6,3 · 10
−8
Гн/м.
11.3.9
∗
. L =
µµ
0 2π
ln r
1
r
2 11.3.10
∗
. L =
µ
0 4π

µ
1
+ 2µ
2
ln r
1
r
2

11.3.11
∗
. L =
µ
0
π
ln h
r
11.3.12. Увеличится в k раз.
11.3.13. L
1
= µ
0
π(n
2 1
r
2 1
l
1
+ n
2 2
r
2 2
l
2
+ 2n
1
n
2
r
2 1
l
2
);
L
2
= µ
0
π(n
2 1
r
2 1
l
1
+ n
2 2
r
2 2
l
2
− 2n
1
n
2
r
2 1
l
2
).
11.3.14. L = L
1
+ L
2
+ 2L
12 11.3.15
∗
. L
12
=
√
L
1
L
2 11.3.16
∗
. E
2
= (µµ
0
N
1
N
2
S/l)I
0
ω cos ωt.
V
1
= (µµ
0
N
2 1
S/l)I
0
ω cos ωt.
11.3.17. V
2
= const.
11.3.21. ν = 100 Гц.
11.3.22. Чтобы уменьшить токи Фуко.
11.3.24. V = 10 В.
11.3.25
∗
. V = 60 В.
344

§ 11.4. Электрические цепи переменного тока
11.4.1. I(t) = Et/L, A = E
2
τ
2
/(2L). В энергию магнитного поля.
11.4.2. а) V = α(Rt + L).
б) V = I
0
(R sin ωt + Lω cos ωt).
11.4.3
∗
. W
макс
= (LI)
2
/(RT ).
11.4.4
∗
. I(t) = (E
0
/ωL)(1 − cos ωt).
♦
11.4.5. См. рис.
11.4.6. C(t) = C
0
[1 − t
2
/(2LC
0
)].
11.4.7. V
макс
= V
0
R
pC/L.
11.4.8. а. При размыкании.
б. C = 1/[(2πνN )
2
L] ≈ 1 мкФ.
11.4.9. I
макс
= E
pC/L, q макс
= 2EC.
11.4.10. I
1макс
= V
s
CL
2
L
1
(L
1
+ L
2
)
,
I
2макс
= V
s
CL
1
L
2
(L
1
+ L
2
)
11.4.11
∗
. а. I = V
0
pC/L sin ω
0
t, где ω
0
= 1/
√
LC.
б. I =
V
0
L(ω
2 0
− ω
2
)
(ω
0
sin ω
0
t − ω sin ωt); I
макс
=
V
0
L|ω − ω
0
|
≈ 4,8 кА.
♦
11.4.12. а. См. рис. V
R
= RI
0
, V
L
= ωLI
0
, V
C
= I
0
/(ωC).
б. V
0
= I
0
pR
2
+ [ωL − 1/(ωC)]
2
, ϕ = arctg
ωL − 1/(ωC)
R
11.4.13. E
0
= 208 В.
11.4.14. I(t) =
E
0
(ω
2
LC − 1)
ωL(2 − ω
2
LC)
cos ωt.
11.4.15. L = 2,8 Гн.
11.4.16
∗
. V = V
0
sin(ωt − ϕ), где ϕ = arctg
2ωC
0
R
0
(ωCR)
2
− 1 11.4.17. а. I
L
= 0, I
R
= (E
0
/R) sin ωt, N = 200 Вт.
б. I
R
= (E
0
/R) sin ωt, I
C
= −E
0
ωC(sin ωt + cos ωt), N = 200 Вт.
11.4.18. L = 0,16 Гн.
♦
11.4.19. См. рис.
345

11.4.20
∗
. Если V
C
0
и V
C
— разности потенциалов соответственно на конденсаторе C
0
и C, а I — ток в контуре, тогда V
C
0
− V
C
= LdI/dt = V
0
cos ωt, ω =
pLCC
0
/(C + C
0
). Но
(V
0
− V
C
0
)C
0
= V
C
C. Из этих уравнений находим
V
C
= (1 + C/C
0
)
−1
V
0
(1 − cos ωt).
Поэтому при V < 2V
0
(1 + C/C
0
)
−1
пробой происходит через время
τ =
1
ω
arccos

1 −

1 +
C
C
0

V
V
0

,
а при V > 2V
0
(1 + C/C
0
)
−1
конденсатор емкости C не пробивается.
11.4.21. б. Если I
1
и I
2
— токи через катушки индуктивности L
1
и L
2
,
а ω = 1/
p(L
1
+ L
2
)C и I
0
= V
0
/(ωL
1
), тогда L
1
I
1
+ L
2
I
2
= LI
0
, I
1
− I
2
= I
0
cos ωt. Из этих уравнений находим
I
2
=
L
1
L
1
+ L
2
(1 + cos ωt)I
0
,
I
макс
= 2V
0
s
C
L
1
+ L
2 11.4.22
∗
. а. L
1
I
1
+ L
2
I
2
= L
1

11.5.12. I = a p2ρ
Cu gh/µ
0
= 380 А, ρ
Cu
— плотность меди.
♦
11.5.13
∗
. Магнитное поле над сверхпроводящей плоскостью AA
0
совпадает с магнитным полем, которое является результатом наложения магнитных полей прямого провода с током I и провода с током (−I), симметрично расположенного под плоскостью AA
0
. Магнитного поля над плоскостью AA
0
нет. Поэтому P = µ
0
I
2
/[2(πh)
2
]. Взаимодействие со сверхпроводящей плоско- стью длинного провода с током I эквивалентно взаимодействию двух проводов, находящихся на расстоянии 2h друг от друга, токи в которых текут в противоположные стороны. Поэтому f = µ
0
I
2
/(4πh).
11.5.14. v = V /(πr
2
nB) = 2 км/с.
11.5.16
∗
. Из законов сохранения энергии и магнитного потока в соленоиде следует
1 2µ
0
B
2 0
(W − w) +
1 2
mv
2 0
=
1 2µ
0
B
2
W +
1 2
mv
2
,
B
0
(W − w) = BW,
где B
0
= µ
0
N I/L и B — максимальная индукция магнитного поля в соленоиде до и после вылета снаряда, W = πR
2
L и w = πr
2
l — объем соленоида и снаряда. Из приведенных уравнений получаем
∆v =
q v
2 0
+ πµ
0
(N I/L)
2
r
2
l[1 − r
2
l/(R
2
L)] − v
0 11.5.17
∗
. v = N Ir pπµ
0
/(12lm).
11.5.18
∗
. При входе в магнитное поле в сверхпроводящем стержне возникает ток, созда- ющий внутри стержня поле, индукция которого равна по модулю индукции внешнего поля и направлена противоположно ей. Работа по созданию этого тока A = B
2
Sl/(2µ
0
) равна измене- нию кинетической энергии стержня. Отсюда v мин
= B
pSl/(µ
0
m).
11.5.19. Магнитный поток в любом сечении трубки при пролете снаряда не изменяется:
πr
2 1
B = π(r
2 1
− r
2 0
)B
1
,
πr
2 2
B = π(r
2 2
− r
2 0
)B
2
Использование этих уравнений и закона сохранения энергии дает
∆K = (lB
2
/2µ
0
)[r
4 1
/(r
2 1
− r
2 0
) − r
4 2
/(r
2 2
− r
2 0
)].
11.5.20. v
1
= v, v
2
= 3v, если mv
2
< B
2
lSs
2
/[4µ
0
(2S − s)(S − s)];
v
1
= 3v, v
2
= v, если mv
2
> B
2
lSs
2
/[4µ
0
(2S − s)(S − s)].
11.5.21. v
0 1
= v
1
, v
0 2
= v
2
, если
(v
2
− v
1
)
2 1/m
1
+ 1/m
2
>
B
2
lSs
2 2µ
0
(2S − s)(S − s)
;
v
0 1
=
2m
2
v
2
+ (m
1
− m
2
)v
1
m
1
+ m
2
,
v
0 2
=
2m
1
v
1
+ (m
2
− m
1
)v
2
m
1
+ m
2
,
если
(v
2
− v
1
)
2 1/m
1
+ 1/m
2
<
B
2
Ss
2 2µ
0
(2S − s)(S − s)
11.5.23
∗
. T
0
= T /
p1 + B
2
r
4
T
2
/(4LJ ).
11.5.24
∗
. ω = 2i pµ
0
ah/[m(l − d)].
11.5.25
∗
. v = v
0
(1 +
q
1 + LxI
2 0
/(mv
2 0
) ).
11.5.26
∗
. B = B
0
+ 2µ
0
ρv
2
∆/(Br
0
) ≈ 500 Тл, P = B
2
(2µ
0
) ≈ 10 11
Па.
11.5.27
∗
. Уравнение движения электрона в трубке m
e dv dt
= eE = e r
2
d(B − B
0
)
dt
,
347

где B и B
0
— индукции внешнего магнитного поля и поля, создаваемого движущимися элек- тронами. Поэтому m e
v = er(B − B
0
)/2. С другой стороны, en e
vh = j, B
0
= µ
0
j, где j —
линейная плотность тока. Из последних уравнений получаем j = e
2
hB/(2m e
+ e
2
rµ
0
n e
h), а затем B − B
0
=
m e
B
m e
+ e
2
rµ
0
n e
h/2
= 5,7 · 10
−5
Тл.
11.5.28
∗
. B = 2m e
ω/e.
§ 11.6. Связь переменного электрического поля с магнитным
11.6.1. C
B
=
1
c dN
dt
(в СГС); C
B
= µ
0
ε
0
dN
dt
(в СИ). C
B
— циркуляция индукции магнит- ного поля, N — поток электрического смещения, c — скорость света, ε
0
и µ
0
— электрическая и магнитная постоянные.
11.6.2. а.
dN
dt
= vlE, C
B
= µ
0
ε
0
vlE, C
B
= µ
0
ε
0
dN
dt
(в СИ), C
B
=
1
c dN
dt
(в СГС).
11.6.3. N = 9 · 10 5
В · м.
11.6.4
∗
. По закону Гаусса поток электрического смещения внутри конденсатора N = Q/ε
0
,
где Q — заряд конденсатора, а скорость изменения потока dN
dt
=
1
ε
0
dQ
dt
=
1
ε
0
I, где I — ток в цепи. Поэтому циркуляция индукции магнитного поля C
B
= µ
0
ε
0
DN
dt
= µ
0
I совпадает с циркуляцией индукции магнитного поля, которую бы создал ток I.
11.6.5. B = 2,5 · 10
−6
Тл.
11.6.6. n = 2πN r/L.
11.6.7. B = µ
0
ε
0
Ev cos α.
11.6.8. σ = B/(µ
0
v).
11.6.9. а. B = µ
0
ε
0
vV /h внутри проводника, B = −µ
0
ε
0
vV /h между проводником и об- кладками конденсатора.
б. Уменьшится в (ε + 1)/(ε − 1) раз.
♦
11.6.10
∗
. См. рис. В первом случае из-за тока поляризации, протекающего через контур abb
0
a
0
, циркуляция вектора индукции магнитного поля через этот контур будет в ε раз боль- ше, чем во втором случае. Поэтому движение среды вместе с контуром уменьшает индукцию магнитного поля в ε раз.
11.6.11
∗
. а. Индукция магнитного поля, вызываемая переменным электрическим полем,
B
1
= πr
2
αµ
0
ε
0
/(2πr) = µ
0
ε
0
αr/2.
Индукция магнитного поля, вызываемого током поляризации диэлектрика, в ε − 1 раз больше:
B
2
= (ε − 1)B
1
. Поэтому B = B
1
+ B
2
= εB
1
= µ
0
ε
0
εαr/2.
б. B
1
=
µ
0
εε
0
αV r
2h
,
B
2
=
µ
0
ε
0
αV
2hr
0
[r
2
(ε − 1) + r
2 0
].
♦
11.6.12
∗
. См. рис. B
0
= µ
0
Ir/(2πr
2 0
). При x < r величина B =
µ
0
Ix
2πr
2 0
, при r
0
> r > r величина B =
µ
0
Ir
2
(r
2 0
− x
2
)
2πx
2
r
0
(r
0
− r
2
)
, при x > r
0
величина B = 0.
348

Глава 12
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ
§ 12.1. Свойства, излучение и отражение электромагнитных волн
12.1.1. В направлении оси z.
12.1.2. а), б) Изменится на противоположное.
12.1.3. E = E
0
sin
2π
λ
(z − ct)

12.1.4. E
0
=
q
E
2 1
+ E
2 2
+ 2E
1
E
2
cos(ϕ
1
− ϕ
2
),
ϕ = ω

t −
z c

+ arctg
E
1
sin ϕ
1
+ E
2
sin ϕ
2
E
1
cos ϕ
1
+ E
2
cos ϕ
2 12.1.5. E = 2E
0
, w =
1 2π
E
2 0
cos
2
h
t −
z c

∆ + ϕ
i
12.1.6. B = E/c (в СИ),
B = E (в СГС).
12.1.7
∗
. B = E
√
e/c (в СИ),
B = E
√
ε (в СГС).
12.1.9
∗
. B = E
√
εµ/c (в СИ),
B = E
√
εµ (в СГС).
♦
12.1.10. См. рис. 1/2, 1/2;
1,0;
1/2, 1/2.
12.1.11. а. Две плоские волны, бегущие в противоположных направлениях. Длина волн d,
напряженность электрического поля в волне E/2.
б. На две плоские волны, распространяющиеся перпендикулярно плоскостям AB и A
0
B
0
в противоположных направлениях. Индукция электрического поля в волне cB/2.
12.1.12. а. E
изл
=
1 2
v c
E.
♦
б
∗
. При остановке сферы в энергию излучения перейдет вся энергия магнитного поля.
В любой точке индукция магнитного поля движущегося заряда равна в СГС напряженности электрического поля, умноженной на (v/c) sin θ. Поэтому энергия, перешедшая в излучение,
была бы равна энергии электрического поля Q
2
/(2r), умноженной на (v/c)
2
, если бы не было
349

множителя sin θ. Из-за этого множителя энергия магнитного поля уменьшается еще в полтора раза. Таким образом,
W =
Q
2 3r

v c

2
(в СГС),
W =
Q
2 12πε
0
r

v c

2
(в СИ).
в. Напряженность «лишних» полей увеличится в два раза. Излучаемая энергия пропорци- ональна квадрату напряженности. Поэтому мощность излучения увеличится в четыре раза.
12.1.13. Интерференцией излучения от разных пластин.
ν
0
k
=
c d
k,
ν
00
k
≈
c d

k +
1 2

,
k — целое число.
♦
12.1.15
∗
. а. См. рис. В момент времени t в точке A напряженность электрического поля излучения E
изл
= E
1
+ E
2
, где E
1
и E
2
— напряженность поля в волне, излучаемой верхней и нижней пластинами:
E
1
=
1 2c
Ev t−x/c
=
1 2c
Ea

t −
x c

,
E
2
= −
1 2c
Ev t−(x+d)/c
= −
1 2c
Ea

t −
x + d c

Значит, E
изл
= E
1
+ E
2
= adE/(2c
2
).
б. E
изл
= µ
0
ci
0
/2 = i
0
/(2cε
0
) (в СИ);
E
изл
= 2πi
0
/c (в СГС).
в. В электрическом поле волны E
0
sin ωt (ω = 2πλ) скорость электронов v =
eE
0
m e
ω
cos ωt.
Амплитуда напряженности электрического поля в волне, излучаемой этими электронами,
E
изл
=
eE
0
m e
ω
n e
e
2cε
0
. Коэффициент отражения k = (E
изл
/E
0
)
2
= [n e
e
2
x/(4πm e
νε
0
c)]
2
Можно найти также коэффициент отражения, определив, на сколько ослабится волна после прохождения пленки. В этом случае следует учесть вторичное излучение электронов, вызывае- мое их взаимодействием с волной, уже испущенной этими же электронами при взаимодействии с падающей волной. Из-за наложения на волну, прошедшую пленку, вторичного излучения, иду- щего в противофазе, интенсивность волны уменьшается, а из-за наложения на нее первичного излучения, идущего со сдвигом фазы π/2, увеличивается. Первое влияние в два раз сильнее второго. Поэтому интенсивность волны после прохождения пленки уменьшится на величину,
равную интенсивности отраженной волны.
12.1.16. λ = 4 · 10
−5
см.
12.1.17. По мере увеличения толщины пленки в отражение излучения вовлекается все большее число электронов и амплитуда отраженной волны линейно растет (область x < x
1
).
Линейная зависимость амплитуды от толщины пленки нарушается в случае, когда доля отра- женного излучения велика. Это имеет место при x > x
2 12.1.18
∗
. ∆ ≈ 4πm e
νε
0
c/(n e
e
2
) ≈ 10
−5
см.
12.1.19. E = 0, B = 2E/c.
12.1.20. λ = 4 · 10
−5
см, x = 2 · 10
−5
см.
12.1.21. j = 2ε
0
cE, P = 2ε
0
E
2
(в СИ);
j = cE
0
/(2π), P = E
2
/(2π) (в СГС).
12.1.22. P = c
0
E
2 0
12.1.23. P = 2 мПа, P = 0,5 мПа.
350