Файл: Конспект лекций по дисциплине Исследование операций и теории принятия решений.doc

);

 – это затраты на проведение профилактического ремонта;

 – это затраты на проведение ремонта в случае отказа станков за интервал (верхний предел суммы равен т.к. в последний из периодов времени входящий в интервал проводится профилактический ремонт).

Для определения ожидаемого значения затрат необходимо найти математическое ожидание удельных затрат при случайной величине .

.

(т.к. математическое ожидание константы равно самому значению константы)

Предположим, что случайная величина характеризуется биноминальным законом распределения (это распределение числа появления события из независимых испытаний) или (это распределение числа отказавших станков в момент времени t). Вероятность отказа станков в период времени согласно биноминальному закону распределения равна:

---

,

где – число сочетаний.

Математическое ожидание:

.

Таким образом, ожидаемые затраты на один интервал будут определяться по следующей формуле:

.

Результаты расчетов с учетом имеющихся исходных данных при прямом переборе сведем в таблицу:

			( )
1	0,05	0	500
2	0,07	0,05	375
3	0,10	0,12	366,7
4	0,13	0,22	400
5	0,18	0,35	450

Так как минимальное ожидаемые затраты достигаются при периоде времени , то отсюда следует, что оптимальным интервалом времени через который необходимо проводить профилактический ремонт является три периода времени ( ) [8 стр. 8,9].

3.2.2 Дерево решений

Любая задача принятия решений может быть представлена графически с помощью

---

дерева решений. Такое представление облегчает описание процесса принятия решений.

Дерево решений имеет два типа вершин:

4. 
   квадратик ( ) представляет решающую вершину;
   
5. 
   кружок ( ) представляет случайную вершину.
   

ПРИМЕР 3.3 Рассмотрим порядок построения дерева решений на основе примера 3.1.

Решение. Начиная с вершины необходимо принять решение относительно покупки акций компании или , т.е. имеем решающую вершину. Из вершины выходят две ветви представляющие альтернативы. Далее две ветви, выходящие из «случайных» вершин и , соответствуют случаям повышения и понижения котировок на бирже с вероятностями их появления и соответствующими платежами.

Построенное дерево решений представлено на рисунке 3.1



Рисунок 3.1 – Дерево решений для задачи инвестирования

Таким образом, информация из поставленной задачи может быть представлена либо в виде таблицы, либо в виде дерева решений.

ПРИМЕР 3.4 Вас пригласили на игру «Колесо фортуны». Колесо управляется электронным образом с помощью двух кнопок, которые сообщают колесу сильное ( ) или слабое ( ) вращение. Само колесо разделено на равные области белую ( ) и красную ( ). Вам сообщили, что в белой области колесо останавливается с вероятностью

---

, а в красной . Плата, которую вы получаете за игру в , равна следующему.

Скорость вращение	Выигрыш за игру ( )
	(белая)	(красная)
(низкая)	800	200
(высокая)	-2500	1000
Вероятность события	0,3	0,7

Изобразите соответствующее дерево решений, и найти оптимальное решение [9 стр. 561].

Решение. Дерево решений поставленной задачи приведено на рисунке 3.2



Рисунок 3.2

Ожидаемая плата за игру для каждой из двух альтернатив будет равна:

для низкой скорости,

для высокой скорости.

Исходя из расчетов ожидаемой платы за игру предпочтительно нажимать кнопку, задающую низкую скорость вращения колеса, т.к.

ПРИМЕР 3.5 Допустим, у вас имеется возможность вложить деньги в три инвестиционных фонда открытого типа: простой, специальный (обеспечивающий максимальную долгосрочную прибыль от акций мелких компаний) и глобальный.

Прибыль от инвестиции может измениться в зависимости от условий рынка. Существует -ная вероятность, что ситуация на рынке ценных бумаг ухудшится,

---

-ная что рынок останется умеренным и -ная что рынок будет возрастать. Следующая таблица содержит значения процентов прибыли от суммы инвестиции при трех возможностях развития рынка.

Альтернатива (фонды)	Процент прибыли от инвестиций (%)
	Ухудшающийся рынок	Умеренный рынок	Растущий рынок
Простой	+5	+7	+8
Специальный	-10	+5	+30
Глобальный	+2	+7	+20
Вероятность события	0,1	0,5	0,4

Необходимо представить задачу в виде дерева решений, и принять решение какой фонд открытого типа следует выбрать [9 стр. 561].

Деревья решений удобно применять для представления «многоэтапного» процесса принятия решений. Рассмотрим пример иллюстрирующий принцип использования дерева решений, в котором взаимозависимые решения принимается последовательно, т.е. рассмотрим использование дерева для решения многоэтапной задачи [9 стр. 562].

ПРИМЕР3.6 Фирма может принять решение о строительстве крупного или небольшого предприятия. Небольшое предприятие впоследствии можно расширить. Решение определяется в основном будущим спросом на продукцию, которую предполагается выпускать на сооружаемом предприятии. Строительство крупного предприятия экономически оправдано при высоком уровне спроса. С другой стороны, можно построить небольшое предприятие и через два года принять решение о его расширении.

Предположим, что фирма рассматривает задачу на десятилетний период. Анализ рыночной ситуации показывает, что вероятности высокого и низкого уровней спроса равны соответственно 0,75 и 0,25.

Строительство крупного предприятия обойдется фирме в 5 млн. ден. ед., а небольшого – только в 1 млн. ден. ед. Затраты на расширение через два года небольшого предприятия оцениваются в 4,2 млн. ден. ед.

Ежегодные доходы для каждой из возможных альтернатив следующие:

1. 
   Крупное предприятие при высоком спросе приносит доход в размере 1 млн. ден. ед. ежегодно.
   
2. 
   Крупное предприятие при низком спросе приносит доход в размере 300 000 ден. ед.
   
3. 
   Небольшое предприятие при высоком спросе приносит доход в размере 250 000 ден. ед.
   
4. 
   Небольшое предприятие при низком спросе приносит доход в размере 200 000 ден. ед.
   
5. 
   Расширенное предприятие при высоком спросе приносит доход в размере 900 000 ден. ед. ежегодно.
   
6. 
   Расширенное предприятие при низком спросе приносит доход в размере 200 000 ден. ед. ежегодно.
   
7. 
   Небольшое предприятие без расширения при высоком спросе в течение первых двух лет приносит доход в размере 200 000 ден. ед. ежегодно, а за последующие восемь лет при низком спросе приносит доход в размере 200 000 ден. ед.
   

---