Файл: 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц.doc

(или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Если при стремлении к переменная принимает лишь значения, меньшие , или наоборот, лишь значения большие , и при этом функция стремится к некоторому числу , то говорят об односторонних пределах функции соответственно слева и справа .

Признаки существования предела

Теорема 1. Если числовая последовательность

---

монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Теорема 2. Если в некоторой окрестности точки (или при достаточно больших значениях ) функция заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел при (или ), то функция имеет тот же предел .

Пусть при , .

Это означает, что для любого найдется такое число , что для всех и удовлетворяющих условию будут верны одновременно неравенства:

(1.1)

или



Т.к. по условию функция заключена между двумя функциями, т.е.:

, то из неравенств (1.1) следует, что

---

, т.е.:

.

А это и означает, что

17. Определение предела функции в точке. Основные теоремы о пределах (одну из них доказать).

Предел функции в точке

Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к (или в точке ), если для любого, даже сколько угодно малого положительного числа , найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех , не равных и удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .

Это предел функции обозначается: или при .

Основные теоремы о пределах. Признаки существования предела

Пусть и - функции, для которых существуют пределы при

---

( ): , .

Сформулируем основные теоремы о пределах:

1. 
   Функция не может иметь более одного предела.
   

Предположим противное, т.е. что функция имеет 2 предела А и D, . Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при ( ). Вычитая почленно эти равенства, получим: , откуда . Это равенство невозможно, т.к. на основании свойства 1 бесконечно малых это величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно.

2. 
   Предел алгебраической суммы конечного числа функций равен такой же сумме пределов этих функций, т.е.
   

.

3. 
   Предел произведения конечного числа функций равен произведению пределов этих функций, т.е.
   

---

.

По условию и , следовательно, на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами функции: , , где и - бесконечно малые величины при ( ). Перемножая почленно оба равенства, получим:

.

На основании свойств бесконечно малых последние три слагаемые представляют величину, бесконечно малую при ( ).

Итак, функция представляет сумму постоянного числа и бесконечного малой . На основании обратной теоремы о связи бесконечно малых с пределами функции это означает, что .

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е.

.

4. 1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

---