Файл: 1. Понятие матрицы. Виды матриц. Транспонирование матрицы. Равенство матриц. Алгебраические операции над матрицами умножение на число, сложение, умножение матриц.doc
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.04.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
, то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.
15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Общее уравнение прямой и его исследование
Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:
,
- (3.6)
общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).
Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом);
Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат);
Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу);
Если , , то (уравнение оси Ох).
Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу);
Если , то (уравнение оси Оу).
Т.о., при любых значениях коэффициентов , (не равных одновременно нулю) и уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.
- общее уравнение прямой.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
Если прямые и параллельны, то угол и , откуда из формулы угла между двумя прямыми
. И наоборот, если , то по этой же формуле и .
Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.
- условие параллельности двух прямых.
Если прямые перпендикулярны, то , при этом или , откуда или .
Справедливо так же и обратное утверждение.
Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
- условие перпендикулярности двух прямых.
Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и ,то учитывая их угловые коэффициенты и , условие параллельности прямых имеет вид: .
Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.
Условие перпендикулярности прямых в этом случае примет вид или ,
Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.
16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).
Предел числовой последовательности
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :
.
Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: .
Числа называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) (монотонная, неограниченная),
2) (не монотонная, ограниченная)
3)
Рассмотрим числовую последовательность , изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше.
Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство:
.
Обозначают: . Или при .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Предел функции в бесконечности и в точке
Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа
, найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:
.
Это предел функции обозначается: или при .
Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .
Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к
15. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.
Общее уравнение прямой и его исследование
Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:
,
- (3.6)
общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .
Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).
-
Пусть . Тогда уравнение можно записать в виде: . Обозначим .
Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом);
Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат);
Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу);
Если , , то (уравнение оси Ох).
-
Пусть , . Тогда уравнение примет вид . Обозначим .
Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу);
Если , то (уравнение оси Оу).
Т.о., при любых значениях коэффициентов , (не равных одновременно нулю) и уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.
- общее уравнение прямой.
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:
Если прямые и параллельны, то угол и , откуда из формулы угла между двумя прямыми
. И наоборот, если , то по этой же формуле и .
Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.
- условие параллельности двух прямых.
Если прямые перпендикулярны, то , при этом или , откуда или .
Справедливо так же и обратное утверждение.
Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.
- условие перпендикулярности двух прямых.
Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и ,то учитывая их угловые коэффициенты и , условие параллельности прямых имеет вид: .
Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.
Условие перпендикулярности прямых в этом случае примет вид или ,
Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.
16. Предел последовательности при и предел функции при . Признаки существования предела (с доказательством теоремы о пределе промежуточной функции).
Предел числовой последовательности
Определение. Если по некоторому закону каждому натуральному числу поставлено в соответствие вполне определенное число , то говорят, что задана числовая последовательность :
.
Другими словами, числовая последовательность - это функция натурального аргумента: .
Числа называются членами последовательности, а число - общим или -м членом данной последовательности.
Примеры числовых последовательностей:
1) (монотонная, неограниченная),
2) (не монотонная, ограниченная)
3)
Рассмотрим числовую последовательность , изобразив ее точками на числовой оси (рис.4.1):
Видно, что члены последовательности с ростом как угодно близко приближаются к 0. При этом абсолютная величина разности становится все меньше и меньше.
Определение. Число называется пределом числовой последовательности , если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа , найдется такой (зависящий от ), что для всех членов последовательности с номерами верно неравенство:
.
Обозначают: . Или при .
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.
Предел функции в бесконечности и в точке
Предел функции в бесконечности: С понятием предела числовой последовательности тесно связано понятие предела функции в бесконечности. Если в первом случае переменная возрастая, принимает лишь целые значения, то во втором случае переменная , изменяясь, принимает любые значения.
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа
, найдется такое положительное число (зависящее от ), что для всех таких что , верно неравенство:
.
Это предел функции обозначается: или при .
Можно сформулировать понятие предела при стремлении к бесконечности определенного знака, т.е. при и при . В первом случае основное неравенство: должно выполнятся для всех таких, что , а во втором – для всех таких, что .
Предел функции в точке: Пусть функция задана в некоторой окрестности точки , кроме, быть может, самой точки .
Определение. Число называется пределом функции при стремящемся к