Файл: Опорный конспект.doc

Зловмиснику відомі лише значення та N. Якби він зміг розкласти число N на множники P й Q, то він довідався б "потаємний хід" – трійку чисел , обчислив значення функції Ейлера та визначив значення таємного ключа .

Однак, як було відзначено раніше, розкладання дуже великого числа N на множники не здійсненно обчислювальними методами (за умови, що довжини обраних Р и Q становлять не менше 100 десяткових знаків).

Процедури шифрування та розшифрування в криптосистемі RSA

Припустимо, що користувач A хоче передати користувачеві B повідомлення в зашифрованому вигляді, використовуючи криптосистему RSA. У такому випадку користувач A є в ролі відправника повідомлення, а користувач B – у ролі одержувача. Як відзначалося вище, криптосистему RSA повинен сформувати одержувач повідомлення, тобто користувач В. Розглянемо послідовність дій користувача В і користувача A.

Користувач B вибирає два довільних великих простих числа P й Q.
Користувач B обчислює значення модуля N згідно з (4.5).
Користувач B обчислює функцію Ейлера й вибирає значення відкритого ключа з урахуванням виконання умов (4.6) і (4.7).
Користувач B обчислює значення таємного ключа за формулою (4.8), використовуючи розширений алгоритм Евкліда.
Користувач B пересилає незахищеним каналом користувачу A пару чисел (N, ).

Якщо користувач A має бажання передати користувачу B повідомлення М, він виконує такі кроки.

Користувач A розбиває вихідний відкритий текст М на блоки, кожний з яких може бути поданий у вигляді числа ,.
Користувач A шифрує текст, поданий у вигляді послідовності чисел М, за формулою

і відправляє користувачеві В криптограму

Користувач B розшифровує прийняту криптограму , використовуючи таємний ключ , за формулою

У результаті буде отримана послідовність чисел , які являють собою вихідне повідомлення М. Щоб алгоритм RSA мав практичну цінність, необхідно мати можливість без істотних витрат генерувати великі прості числа, вміти оперативно обчислювати значення ключів та .

Наприклад, виконаємо шифрування повідомлення “Буду завтра”.

Нехай P=59, Q=61. Тоді , а . Виберемо як відкритий ключ довільне число з урахуванням виконання умов (4.6) і (4.7). Нехай . Згідно (4.8) таємний ключ .

Подамо повідомлення як послідовність цілих чисел у діапазоні від 1 до 32. Нехай A – 01, Б – 02, В – 03, ..., Я – 32.

Тоді повідомлення “Буду завтра” буде подано у вигляді

02 20 05 20 08 01 03 19 17 01.

Розбиваємо повідомлення на блоки по чотири цифри

0220 0520 0801 0319 1701

і кодуємо кожен блок:

У результаті одержимо шифр 0099 3273 2050 0719 1664.

Для відновлення вихідного тексту необхідно обчислити модульну експоненту, підвівши зашифроване значення в степінь за модулем N:

Таким чином, отримали відновлене вихідне повідомлення

0220 0520 0801 0319 1701.

Криптосистеми RSA реалізуються як апаратним, так і програмним шляхом.

Для апаратної реалізації операцій зашифрування та розшифрування RSA розроблені спеціальні процесори. Ці процесори, реалізовані на надвеликих інтегральних схемах, дозволяють виконувати операції RSA, пов’язані з піднесенням великих чисел у колосально великий ступінь за модулем N, за відносно короткий час.

Слід відзначити, що і апаратна, і програмна реалізації алгоритму RSA в декілька сот разів повільніші від реалізацій симетричних криптосистем. Мала швидкодія криптосистеми RSA обмежує сферу її застосування, але не перекреслює її цінність.

Безпека й швидкодія криптосистеми RSA

Безпека алгоритму RSA базується на труднощах розв’язання задачі факторизації великих чисел, що є добутками двох великих простих чисел. Дійсно, крипостійкість алгоритму RSA визначається тим, що після формування таємного ключа й відкритого ключа "стираються" значення простих чисел P й Q, і тоді винятково важко визначити таємний ключ за відкритим ключем , оскільки для цього необхідно розв’язати задачу знаходження дільників P та Q модуля N.

Розкладання величини N на прості множники Р і Q дозволяє обчислити функцію , а потім визначити таємне значення , використовуючи рівняння (4.8).

Іншим можливим способом криптоаналізу алгоритму RSA є безпосереднє обчислення або підбір значення функції . Якщо встановлено значення , то співмножники P й Q обчислюються досить просто. Справді, нехай

Знаючи (N), можна визначити х і потім y; знаючи х та y, можна визначити числа P і Q з таких співвідношень:

Однак ця атака не простіша задачі факторизації модуля N.

Задача факторизації є задачею, яка важко розв’язується для великих значень модуля N.

Спочатку автори алгоритму RSA пропонували для обчислення модуля N вибирати прості числа P й Q випадковим чином, по 50 десяткових розрядів кожне. Вважалося, що такі великі числа N дуже важко розкласти на прості множники. Один з авторів алгоритму RSA, Р.Райвест, вважав, що розкладання на прості множники числа з майже 130 десяткових цифр, наведеного в їхній публікації, зажадає більше 40 квадрильйонів років машинного часу. Однак цей прогноз не виправдався через порівняно швидкий прогрес обчислювальної потужності комп’ютерів, а також поліпшення алгоритмів факторизації.

Один з найбільш швидких алгоритмів, відомих у цей час, алгоритм NFS (Number Field Sieve) може виконати факторизацію великого числа N (із числом десяткових розрядів більше 120) за число кроків, оцінюваних величиною

У 1994 р. було факторизовано число з 129 десятковими цифрами. Це вдалося здійснити математикам А.Ленстра й М.Манассі за допомогою організації розподілених обчислень на 1600 комп’ютерах, об’єднаних мережею, протягом восьми місяців. На думку А.Ленстра та М.Манассі, їхня робота компрометує криптосистеми RSA і створює більшу погрозу їхнім подальшим застосуванням. Тепер розроблювачам криптоалгоритмів з відкритим ключем на базі RSA доводиться уникати застосування чисел довжиною менше 200 десяткових розрядів. Останні публікації пропонують застосовувати для цього числа довжиною не менше 300 десяткових розрядів.

4 Схема шифрування Поліга - Хеллмана

Схема шифрування Поліга - Хеллмана подібна RSA. Розглянута схема не є симетричним алгоритмом, оскільки використовуються різні ключі для шифрування та розшифрування. З іншого боку її не можна віднести й до класу криптосистем з відкритим ключем, тому що ключі шифрування та розшифрування легко виходять один з одного. Обидва ключі (відкритий і таємний) необхідно тримати в таємниці.

Аналогічно схемі RSA криптограма C і відкритий текст M визначаються зі співвідношень:

_, (4.14)

_, (4.15)

де

. (4.16)

На відміну від алгоритму RSA у цій схемі число N не визначається через два великих простих числа; число N повинне залишатися частиною таємного ключа. Якщо хто-небудь довідається значення та N, він зможе обчислити значення .

Не знаючи значень або , зловмисник буде змушений обчислювати значення

Відомо, що це є важкою задачею. Схема шифрування Поліга - Хеллмана запатентована в США [9] і Канаді.

5 Алгоритм шифрування Ель Гамаля

Алгоритм Ель Гамаля, розроблено в 1985 р., може бути використаний як для шифрування, так і для цифрових підписів. Безпека схеми Ель Гамаля обумовлена складністю обчислення дискретних логарифмів у кінцевому полі.

Для того щоб генерувати пари ключів (відкритий ключ і таємний ключ ), спочатку вибирають деяке велике просте число P і велике ціле число G степені якого за модулем P породжують велику кількість елементів множини , причому . Числа P й G можуть бути поширені серед групи користувачів.