Файл: Мамошин Р.Р. Повышение качества энергии на тяговых подстанциях дорог переменного тока.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.06.2024
Просмотров: 128
Скачиваний: 1
проксимирует экспериментальные данные, если коэффициенты оце
нок ß 2 и примыкают |
к прямой, соединяющей точки нормального |
и экспоненциального |
распределений. Логарифмически нормальное |
распределение хорошо аппроксимирует экспериментальные данные, если коэффициенты оценок ßi и ß 2 этих данных примыкают к нижней
прямой на рис. 5-42. Однако большая часть фазовой плоскости |
( ß x — |
— ß 2 ) не охвачена рассмотренными выше распределениями |
(верх |
ний участок на рис. 5-42 заштрихован, а нижний затенен). |
|
Джонсоном [114] предложены более общие формы описания эм пирических данных, выгодно отличающиеся от других методов тем, что по Джонсону эмпирическое распределение находится путем пре образования нормированной нормальной случайной величины. Это обстоятельство позволяет получать оценки процентилей эмпиричес ких распределений, используя стандартную таблицу процентилей нормализованного нормального распределения. Использование рас пределения Джонсона для аппроксимации экспериментальных дан
ных тяговой нагрузки |
было предложено в [34]. Преобразование по |
||||||||
Джонсону |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|||
2 = |
у-j-т)Т(л:; |
е; Я); |
т] > 0; |
— о о < 7 < о о ; |
Я > 0 ; |
|
< о о , |
||
где |
у , г), е, Я. — параметры |
распределения; |
— о о < е(5-232) |
||||||
|
|
z |
— нормированная нормально распределенная случай |
||||||
|
|
|
ная |
величина; |
|
|
|
||
|
т(х; в; Я) — произвольная функция. |
|
|
|
|||||
|
Джонсон предложил три формы функций т |
|
|
||||||
|
1) х1(х; |
е; Я) = I |
n |
> |
* > е — для |
распределения |
5/.; |
||
|
2) |
т2 (х; е; Я) = In ( |
Х ~ Е |
) , |
|
|
|
||
|
|
|
|
е ^ х « ^ е + Я — для |
распределения |
S B " , |
|||
|
3) |
х3(х; e ; X ) = A r s h p Z ± ) - |
|
|
|
||||
|
|
|
|
— о о < х < о о — д л я |
распределения |
SV. |
|||
Естественный выбор распределения Джонсона для аппроксима ции экспериментальных данных объясняется тем обстоятельством, что условие е ^ х ^ е + Я соответствует характеру и диапазону изменения тяговой нагрузки в пределах от / я л п и п ДО / П л max-
В соответствии с преобразованием (5-232) плотность распределе ния SL Джонсона имеет вид
X > 8, г ) > 0 ; — о о < 7 < о о ; Я > 0 ; |
— о о < е < о о . |
Если ввести обозначение у * — у — r\ In Я,
170
то получаем:
h W = |
п 7 Г 7 |
Г exp |
f - |
- 1 ч 2 |
+ In (X - е) |
|
(/2я (х — |
е) |
I |
2 |
I т] |
Х ^ Е ; |
г) І > 0, |
—оо < |
у* < |
оо; —оо <; е < о°> |
|
т. е. логарифмически нормальное распределение с тремя параметра ми. Плотность распределения SB Джонсона
|
|
|
|
ехр |
|
{ ѵ2+ |
т 1 1 п ( і Ъ ^ У Г } ; |
|
|
1/2я " (х—е)(К—х + е) |
1 |
||||||
e<x<e-f-Ä,; |
п > 0 ; |
— о о < у < о о ; |
Я>0; |
- о о < е < о о . |
(5-234) |
|||
Наконец, плотность распределения Su |
Джонсона |
|
||||||
|
|
|
Ы * ) |
|
ч |
X |
|
|
|
|
|
/ 2 я |
|
|
|||
X |
|
|
|
|
|
|
х—е, V + 1 |
1/212 |
У ( * - е ) 2 + Р |
Н Ц . 2 г 1 1 |
{{ X |
|
|||||
|
|
|
||||||
— о о < х < о о ; |
т]>0; |
— о о < у < о о ; |
|
Я>0; |
— о о < е < о о . |
(5-235) |
||
Области применения распределений Джонсона в плоскости (ßx —
— ß2 ) показаны на рис. 5-43, из которого видно, что распределения
Рис. 5-42 |
Рис. 5-43 |
171
Джонсона более универсальны, так как распределяются на значи
тельно больший участок плоскости фх—ß2), |
чем |
рассмотренные |
выше распределения. Распределение S в Джонсона с |
избытком пере |
|
крывает всю область бета-распределений, затененную на рис. 5 - 4 3 . Для обоснования выбора наиболее целесообразного распределения
Джонсона |
на рис. 5 - 4 3 нанесены |
координаты нормированных оце |
нок и ß 2 |
для токов плеч питания по результатам исследований на |
|
Восточно-Сибирской дороге. Как |
видно из рис. 5 - 4 3 , координаты |
|
нормированных оценок ß x и ß 2 для токов плеч питания и коэффициен тов мощности этих токов лежат в области, где наиболее приемлемым является распределение SB Джонсона.
В [98] оценки для у и т] предлагается находить путем приравни вания соответствующих двух пар процентилей, полученных по экспе риментальным данным и по формуле ( 5 - 2 3 2 ) для нормального рас пределения. Полученные таким образом два уравнения решаются относительно оценок у я ц. Такой метод определения оценок у и ц нельзя признать удачным. Во-первых, процентили выбраны произ вольно и определение оценок т] и у по произвольно выбранным двум процентилям не отражает достаточно полно всю исследуемую выбор ку. Во-вторых, в получаемые таким путем урванения входят только процентили нормированного нормального распределения, соответст вующие им эмпирические процентили и крайние значения случай ной величины (е и e + X), но не входит ни один показатель, харак теризующий форму всей кривой (рассеяния, степени асимметрии или островершинности) распределения. Поэтому целесообразно попы таться найти другие способы определения оценок у и и, лишенные отмеченных выше недостатков и основанные на использовании мо ментов высокого порядка.
В соответствии с преобразованием ( 5 - 2 3 2 ) нормированная нор мально распределенная величина г является функцией одной слу чайной величины X, для которой определяется распределение. По методу получения моментов системы первые четыре момента любой системы, являющейся функцией случайных некоррелированных ве личин (в нашем случае п = 1) равны:
M(z)=h[M{Xl), |
.... М{хп)] + \ 2 |
? |
( 5 - 2 3 6 ) |
п |
п |
|
|
|
|
| І 8 ( * І ) ; |
( 5 - 2 3 7 ) |
п
( 5 - 2 3 8 )
172
Ц4 (*) :
+e?S(|),(ê)"-w-(">- (5-239)
где |
Л * ( * і ) |
дхі' dxf
математическое ожидание случайной величины xt-t
1 -я и 2-я частные производные от функции h по xt> куда вместо случайной величины входит ее мате матическое ожидание;
3-й и 4-й моменты случайной величины xt; среднеквадратичное уклонение случайной вели чины xt.
В нашем случае z — нормированная нормально распределенная величина, которая является функцией только одной случайной ве личины X, поэтому:
M (z) = 0; |
(5-240) |
|
0 2 |
(z) = 1 |
(5-241) |
JA3 |
(Z) = 0 |
(5-242) |
M-4 (z) = 3 |
(5-243) |
|
"SS^l'd^ww-0 - |
,5"244) |
i > / |
|
Анализируя формулы (5-236) — (5-244), приходим к выводу, что оценка у входит только в уравнение (5-236). Следовательно, это уравнение должно обязательно использоваться при определении оценок у и г|. Остается выбрать второе уравнение. Найдем выраже ния первых четырех моментов величины z по формулам (5-236) — (5-239):
УИ (z) = у 4- г) In М(х)- |
г)% 1Х+2е—2М(х)]о2 |
(X) |
|
(5-245) |
|||
к + е — М(х) |
2 [ М ( л г ) - е ] 2 |
[À 4-е — M (х)}2 ' |
|
|
|||
г\2 К2 а2 (х) |
|
T ] U 2 |
Ік + 2г — 2М (х)] у,3{х) . |
||||
[М{х) — г]2\% + г — М(х)]2 |
|
[М (х)-е]3 |
[К + е—М (х)}3 |
' |
(5-246) |
||
И-З (z) = [М(х) |
г)3 |
А3 М-з (*) |
|
. |
|
(5-247) |
|
— е]3[К + |
е—М(х)]3 |
|
|
||||
|
|
|
|||||
|
rf |
À," |І 4 (х) |
|
|
|
|
(5-248) |
[M (х) — е ] 4 |
[K + e — |
M(x)]i |
|
|
|||
|
|
|
|||||
173
Так как существует условие (5-242), то использовать |
уравнение |
||||||||||
(5-247) совместно с уравнением (5-245) нельзя. Остается исследовать |
|||||||||||
целесообразность использования уравнений (5-246) и (5-247). |
|||||||||||
В а р и а н т |
I — совместное |
решение |
уравнений |
(5-245) и |
|||||||
(5-246) дает следующие выражения |
для у |
и г\ |
с учетом (5-240) и |
||||||||
(5-241): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' | |
Л |
|
1М{х)-г)»[к |
+ г-М(х)]> |
|
-(5 219) |
|||||
XV |
аі(х)\М(х) |
— г][Х + г — М(х)] |
— [Х + 2е — 2М(х)]ці(х) |
' |
|||||||
|
г |
X[X + 2t-2M{x)W(>c) |
|
l n |
М(х)-в I |
( 5 , 2 5 0 |
|||||
|
\2{М(х) |
— е]2[Х+е—М(х)]2 |
|
|
Х + |
г—М(х))' |
|
||||
В а р и а н т |
2 — совместное решение уравнений (5-245) и (5-24 8 |
||||||||||
дает следующие |
выражения для у и ц |
с учетом |
(5-240) и (5-241) |
||||||||
|
|
„ |
1,315 [ М ( х ) - е ] [ Я , + в - М ( * ) І |
, |
_ |
||||||
|
|
1 1 - |
|
|
4/ |
z—г |
|
' |
|
(Ö-ZÖI) |
|
|
|
|
|
|
X у |
ц 4 (х) |
|
|
|
|
|
|
0,Ж5[Х |
+ 2е — 2М(х)]о*(х) |
|
. |
М(х) |
— г |
, , , - „ , |
||||
|
Ѵ=- |
— -цХУ^(х)2 |
|
— |
Г|ІПЛ Х +— г—М(х). |
(5-252) |
|||||
|
|
|
v п |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и выше M (х), а (х) |
, р,3 |
(х), |
ц.4 |
(х) — первые четыре цент |
|||||||
ральных момента случайной величины х, найденные по эксперимен |
|||||||||||
тальным данным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В формулы для определения у и т| по варианту |
1 входят матема |
||||||||||
тическое ожидание, дисперсия и асимметрия случайной |
величины |
||||||||||
X. Однако последний показатель входит в виде 3-го центрального |
|||||||||||
момента |
р 3 (х) во второй член формулы |
(5-246), которым |
из-за его |
||||||||
малости часто вообще пренебрегают [115, 116]. Поэтому можно счи тать, что оценки г) и у по варианту 1 практически опираются только на крайние значения случайной величины и на ее 1-й и 2-й моменты.
Оценки г) и у по варианту 2 опираются на крайние значения, 1-й, 2-й и 4-й моменты случайной величины х. Так как оценки т) и у по варианту 2 являются более мощными, чем по варианту 1, они более предпочтительны. К тому же вычисление оценок г) и у по варианту 2 в данном случае более просто с математической точки зрения.
Применительно к тяговым нагрузкам и ее коэффициентам мощ ности в полученные выше формулы надо подставлять следующие ве личины:
e = |
/ m i n ; |
£ = C 0 S ( P m a x ! |
|
е + ^ Л п а х ' . |
e + À = coscpm l n ; |
||
M (х) = /ор; |
M (X) = cos ф; |
||
а2 (х) = / і |
|
/ ?Р; |
о-2 (х) = M (cos2 ф) — (côs ф)2 ; |
|
х-Г, |
X ~cosф. |
|
|
— |
|
|
174
