Файл: Лурье Б.Я. Максимизация глубины обратной связи в усилителях.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.06.2024
Просмотров: 117
Скачиваний: 1
калия коэффициентов Фіуірье полученного усеченного ряда. Конечно, эти коэффициенты отличаются от 'Соответствующих 'коэффициентов полного іряда, но отличие это тем 'меньше, чем больше членов ряда, учитывается ,в 'решении.
Усеченный ряд Фурье, состоящий лишь из постоянной состав
ляющей (если она есть) и члена Е sin &t, соответствует эквивалент ной гармонической линеаризации на основе метода гармонического баланса1). В самом деле, в этом случае предполагается, что на входе нелинейного звена сигнал гармонический. Этот сигнал полу чается в результате прохождения выходного сигнала нелинейного звена по петле обратной связи через линейную цепь и, следователь но, в этом выходном сигнале ѵ(і) учитывается лишь первая гар
моника с амплитудой V. Тогда гармонический коэффициент пере дачи нелинейного звена
Н= |Я |е іф = V/É,
т.е. нелинейное звено считается эквивалентным по этому парамет ру некоторому линейному с коэффициентом передачи Я. Величина Я, однако," зависит от Е 2\ Для типичных частотноиезависнмых не
линейных звеньев зависимости Н(Е) и Н~1(Е) табулированы [16,
26, |
74, |
87, |
94, |
98, |
99]. |
|
|
Если применима гармоническая линеаризация, то генерация пе |
|||||
риодического сигнала в системе рис. 2.1 возможна в том |
и только |
|||||
в том случае, если существуют такие Е, со, при которых |
|
|||||
|
|
|
|
|
Г0(ісо)Я(£, і со) = — 1, |
(2.1) |
или, что то же самое, |
|
|||||
|
|
|
|
|
Гп (і а) = — Я-1 (Е.іео) |
(2.2) |
В предложенной Л. С. Гольдфарбом форме (2.2) используется обратная отрицательная гармоническая передача —Н~1(Е). Для типичных частотноиезависнмых нелинейностей есть каталог этих характеристик. Они наносятся на плоскость Т0 и затем ведется син тез линейной части системы так, чтобы годографы, соответствую щие левым и правым частям (2.2), не пересекались.
При переходе от Г0-плоскости к L-плоскости вместо (2.1) мож но записать
і 180° + |
L (і со) + |
N (Е, |
і ш) = 0, |
(2.3) |
и, вместо (2.2), |
— N(E, |
і со) -h i 180°. |
(2.4) |
|
L(ico) = |
||||
Здесь :/V= 20 lg IЯ I дБ + іфград- |
|
|
|
|
В теории автоматического управления |
это обычно и называют |
мето |
||
дом гармонического баланса (см. БСЭ). Иные |
методы гармонической линеари |
|||
зации приводят к тем же результатам (20, 84]. |
|
|
||
2) Отсюда следует, в частности, что для нелинейных звеньев даже три гар монической линеаризации теорема наложения неприменима. Например, каскад ное соединение звеньев: линейного с коэффициентом передачи р, нелинейного звена и линейного с коэффициентом передачи р - ‘, не равноценно одному нели нейному звену с гармонической передачей Н (Е). Гармонический коэффициент передачи этого соединения равен Н (pF).
—41 —
Для частотнозависимых нелинейностей на плоскости L изобра жаются обратные гармонические характеристики нелинейного эле мента —N{E, іи,-) + і 180°, которые можно назвать амплитудными амплитудно-фазовыми характеристиками (ААФХ). Выбор сети час тот со,- должен обеспечивать достаточный контроль за всем диапа зоном частот.
Для того, чтобы гарантировать устойчивость цепи с некоторым запасом, удобно 'использовать те же запасы по амплитуде х и фазе у ■180°, которые использовались для линейной цепи.
Рис. 2.2
Будем считать, что система устойчива с запасами устойчивости у - 180°, к, дБ, если диаграмма Найквиста не охватывает критичес кую точку и (рис 2.2) при:
IА + Re TVI < |
X, |
(2.5> |
I 180° — cp— ф I > |
г /180°. |
(2.6) |
или, в форме Гольдфарба, если на всех частотах при |
|
|
— Re N ± x < A , |
(2.7) |
|
|ф + г/180°I > |
ф. |
(2.8) |
При типичном характере кривых L и N нет нужды проверять соотношения (2.7), (2.8) при всех четырех вариантах знаков перед, запасами устойчивости. Достаточно на L-плоскости изображатьААФХ [—ІѴ+ і180о-Г(х—І30°)], т. е. считать определяющим угол I прямоугольника запасов устойчивости (рис. 2.26). Если при малых. Е полагать Н=>1, то ААФХ (—іN + i 180°+[(x—i 30°)] начинаются из этого угла. Прохождение этих ААФХ на всех частотах со,- левее и выше (т. е. при больших А и меньших —ср) точки А(ісог) на кривой L(ico) гарантирует (с необходимыми запасами) отсутствие периоди ческих колебаний, т. е. гарантирует, что ААФХ L+ N на всех час тотах не проходят через прямоугольник запасов устойчивости.
— 42 —
Т р е б о в а н и я к л и и е йіи о й и и е л и ней .н о й ч а с- Т 8 М . При гармонической линеаризации нелинейное звено характе ризуется гармоническим коэффициентом передачи Я. Этот коэффи циент вычислен в іпредіположении, что «а входе нелинейного звена ■сигнал гармонический. В действительности сигнал е(і) отличен от гармонического.
Формулы (2.1)—‘(2.4) оказываются точными лишь в том слу чае, если вместо Я в них подставить Я' —отношение первых гармо ник сигналов v(t) и e(t) при подаче на вход нелинейного звена ре ального сигнала е(і). В общем случае Н'ФН, и метод гармониче ского баланса применим лишь к системам, для которых Н'жН.
Для того чтобы Н' жН, зависимости ѵ(е) и То(ісо) должны удов летворять определенным условиям: ѵ(е) должно быть таким, чтобы ■содержащиеся в сигнале e(t) высшие гармоники (остаточный член
ряда Фурье) мало влияли на величину V или (и) остаточный член ряда Фурье от v(t) был мал; или (и) Т0(ісо) должно обладать фильтрующими свойствами, т. е. высшие гармоники от ѵ(і) должны •ослабляться линейной частью настолько, чтобы в e(t) доминирова ла первая гармоника. Точность решения связана со степенью вы полнения этих условий.
Уточнение решения, полученного методом гармонической линеа ризации, связано с учетом ряда высших гармоник e(t) и >v(t). Ре шение при этом может быть получено как прямым методом, так и итеративными, в том числе релаксационными, по отдельным коор динатам (коэффициентам Фурье) или группам их. В качестве на чального приближения используется решение, полученное методом гармонической линеаризации. Итеративный процесс сходится тем быстрее, чем лучше выполняются условия применимости гармони ческой линеаризации.
В [30, 31, 91] исследованы интегральные уравнения, описываю щие поведение системы рис. 2.1, и приведены различные оценки точности метода гармонической линеаризации. Оценки и уточнения решения можно производить также градиентными методами [75] с использованием чувствительностей гармонического коэффициента передачи.к амплитудам высших гармоник сигнала на входе нели нейного звена.
В настоящей работе эти оценки точности решения не использу ются, так как частотные свойства линейных частей .систем с макси мизированной «глубиной 'Обратной связи таковы, что либо условия применимости гармонической линеаризации выполняются чрезвы чайно хорошо и погрешность решения заведомо мала, либо по форме ЛАХ Т0 видно, что высшие гармоники вносят существенную
поправку в решение и решение уточняется с учетом |
высших гар |
моник. |
Фильтрующие |
Г и п о т е з ы р е з о н а н с а и ф и л ь т р а . |
свойства линейной части системы могут проявляться при различных ЛАХ То.
В частности, ЛАХ Т0 может иметь подъем (резонанс) на одной частоте и монотонный спад по обе стороны от него. В этом случае
— 43 —
часто попользуют гипотезу резонанса {3, 20] — 'предположение, что первая гармоника генерируемого колебания находится вблизи час тоты резонанса и поэтому на входе нелинейного звена амплитуда первой гармоники много больше амплитуд высших гармоник. Не для всех подобных систем, однако, решение, полученное при ис пользовании гипотезы фильтра, является верным [3, 115], например, потому, что условия генерации могут быть выполнены и на частоте, далекой от резонансной. Поэтому использование гипотезы резонан са возможно лишь при наличии некоторой дополнительной инфор мации об исследуемой системе — о порядке ее, виде фазовой ха рактеристики и т. п.
Если ІГоІ постоянно или почти постоянно в некоторой полосе частот, начинающейся от 0, а на более высоких частотах моно тонно падает, неминимально фазовый сдвиг существенной роли не играет, на низких частотах фазовый запас устойчивости равен 180°, а фазовый сдвиг гармонического коэффициента передачи нелиней ного звена невелик, используют гипотезу фильтра [74]. Она сводит ся к тому, что, если периодическая генерация существует, частота ее достаточно велика. На этой частоте и ее гармониках велик на клон ЛАХ Ти и, следовательно-, высшие гармоники сигнала на вхо де нелинейного звена оказываются ослабленными по'сравнению с первой гармоникой. В этом случае необходимый для генерации фазовый сдвиг |ф | = 180° соответствует согласно соотношению меж ду фазой и усилением, наклону ЛАХ Г0 порядка — 12 дБ/окт. При таком наклоне третья гармоника по сравнению с первой ослабля ется линейной частью системы примерно на 20 дБ, пятая гармони ка и высшие — еще больше. Это и дает основание к пренебрежению в e(t) высшими гармониками.
Для использования гипотезы фильтра также необходимы неко торые дополнительные сведения о линейной части системы. В каче стве примера системы, к которой гипотеза фильтра неприменима, можно привести такую, в которой роль линейной части играет хо роший ФНЧ с большим фазовым сдвигом уже на частотах, много меньших частоты среза фильтра. В этом случае в полосу прозрач ности фильтра попадают и высшие гармоники основной частоты ге нерации, фазовый сдвиг на которой в линейной части системы бли
зок и —480° |
Поэтому ів дополнение к указанным івыше условиям |
|||
применимости |
гипотезы |
фильтра следует, |
например, указать, |
|
что гипотеза эта применима к системам, в которых иа всех |
часто |
|||
тах, где |7'о]>1, величина |
|ср) не превышает |
существенно |
180°. |
|
Иначе говоря, гипотеза фильтра применима к системам, близким к порогу генерации.
Заметим, что использование гипотезы фильтра не гарантирует малой ошибки в определении частоты генерации, так как гипотеза приложима и к системам, в которых [cp| Ä; 180° в широком диапа зоне частот и в которых, следовательно, расчетная частота генера ции от учета высших гармоник может существенно измениться; даже при малом влиянии высших гармоник на ф. Но это, как пра вило, не столь важно для проектировщика систем с обратной
— 44 —
связью. Основная же задача — устойчива ли система или нет, и каковы запасы устойчивости •— решается с использованием гипоте зы фильтра при вполне удовлетворительной точности.
Физических систем, и особенно систем автоматического управ ления (САУ), удовлетворяющих гипотезе фильтра, весьма много,
что и делает метод гаірмоничеошго 'баланса чрезвычайно ценным для инженера.
Гипотеза фильтра формулируется применительно к системе с обратной связью. Ввиду аналогии между уравнениями для этой си стемы и выражением для соединения двухполюсников (см. па раграф 1.1) метод‘ армонического баланса и гипотеза фильтра при менимы и к цепям рис. 1.2. В пассивных цепях | arg,Z| ^:я/2, поэто му наклон ЛАХ Т0 оказывается крутым и гипотеза фильтра приме нимой, если сопротивление двухполюсников близко к реактивному, причем один двухполюсник имеет емкостный, а другой — индук тивный характер.
Если 1Т(ito) I не падает монотонно с ростом частоты во всем диапазоне частот от 0 до оо, то гипотеза фильтра 'неприменима, и результаты, полученные методом гармонической линеаризации, мо гут оказаться неверными1). В частности, во многих работах было показано на примерах, что в системе с безынерционной симмет ричной нелинейностью непересечение диаграммой Найквиста ве щественной полуоси за 'критической точкой отнюдь .не является га рантией устойчивости в целом [3].
В отличие от большинства САУ усилители с обратной связью, как правило, полосные системы и, следовательно, гипотеза фильт ра, вообще говоря, к ним неприменима. Она применима лишь для нахождения условий генерации таких e(t), которые не содержат гармонических составляющих с. частотами ниже рабочего Диапа зона.
Поэтому в параграфе 2.4 будут исследованы режимы генера ции, при которых существенны гармонические составляющие, соот ветствующие низкочастотному срезу. Будет показано, что области отсутствия таких колебаний в пространстве параметров системы являются настолько широкими, что охватывают все или почти все практически используемые частотные характеристики линейной части. Следовательно, метод гармонической линеаризации оказы вается мощным средством и для исследования условий устойчиво
сти ноло-сных систем.
Завершением анализа решений систем является выяснение ус тойчивости их в малом. Если решение единственно, то, как правило, оно устойчиво, и поэтому исследованием его устойчивости обычно можно пренебречь.
Л и н е й н а я с и с т е м а с. п е р и о д и ч е с к и м и к о э ф ф и ц и е н т а м и . Нелинейные системы значительно сложнее линейных, и соотношения между составляющими передачи линейной цепи мо-
') Но не но всех случаях. Инженеры часто без достаточного обоснования, но практически успешно используют гармоническую линеаризацию в крайне сом нительных, с точки зрения существующих теорий, ситуациях.
— 45 —
гут быть обобщены на нелинейную в различных планах, например, по [25, 98]. Для синтеза нелинейных систем с использованием метода гармонической линеаризации интересны иные соотношения, которые можно получить обобщением соотношений в форме Боде на линейные цепи, оцениваемые по первой гармонике.
Нас интересуют цепи, сигнал на выходе которых в произвольно малой степени зависит от достаточно отдаленного прошлого. Такую нелинейную цепь можно [25, 77] представить каскадным соедине нием двух многополюсников рис. 2.3а. Первый из них L представ
шие. 2.3
ляет собою линейную цепь. Второй многополюсник N осуществля ет умножение и суммирование с весом сигналов на выходе цепи L, т. е. это безынерционная нелинейная цепь.
Линеаризованная для малых приращений цепь рис. 2.3а пока зана на рис. 2.36. Многополюсник L — тот же, а линеаризованный в малом безынерционный нелинейный многополюсник N обращает ся в безынерционный линейный с зависящими от времени коэффи циентами, т. е. цепь І г осуществляет линейную комбинацию с ко эффициентами U(t) сигналов на выходе многополюсника L.
При е = Ео sin ш0/ коэффициенты /,(7) являются периодическими функциями времени.
Это же можно показать иначе. При периодическом воздействии устойчи вую в целом и в режиме вынужденных колебаний цепь можно считать в малом линейной с периодически изменяющимися параметрами, которая описывается системой линейных уравнений с периодическими коэффициентами. Последнюю же при помощи неособенной линейной подстановки с вещественными периоди ческими коэффициентами всегда можно привести по Ляпунову к линейной си стеме дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [27, 68].
Таким образом, выходной сигнал является линейной комбина цией с периодическими коэффициентами /,(/) сигналов на выходах линейного многополюсника с постоянными параметрами, рис. 2.36.
Будем интересоваться лишь первой гармоникой выходного сиг нала при подаче на вход линейной цепи рис. 2.36 гармонического сигнала с частотой со. Тогда., если со/шо не является рациональным числом, в разложении Фурье для коэффициентов li(t) достаточно учитывать лишь первые члены, постоянные Uo, и цепь ірис. 2.36 в этом случае вырождается в линейную цепь с постоянными коэффи циентами, рис. 2.3б.
Проверить, является ли функция передачи цепи ,рис. 2.3б, т. е. гармоническая функция передачи цепи рис. 2.36, минимально фа зовой функцией и, следовательно, применимо ли к ней соотношение (1.31), можно, например, следующим образом.
—46 —