Файл: Левшин А.Л. Поверхностные и каналовые сейсмические волны [монография].pdf

Выражения для Aj в сферическом случае можно получить из соот­

в источнике по отношению к волне, излучаемой в сторону, проти­ воположную точке регистрации.

§ 4. Теоретические сейсмограммы

Переход от спектров поверхностных волн к теоретическим сейс­ мограммам смещений заключается согласно (1.29), (1.70) в вы-"

о

сравнению с е1 г *( ш ) функция, обычно пользуются методом стацио­ нарной фазы [44], согласно которому

da2

+ , ^ ( І ^ ) } + . ( 4 . ) . ( 2 . 1 0 І ,

Вклад окрестности стационарной точки ùj, в которой обращает^ ся в нуль сРф (cö)/dci>2, оценивается обычно при помощи интеграла\ Эйри:

54

где Е (т) — интеграл Эйри:

Т. Б. Яновская [96] предложила более общую формулу, осо-

^бенно удобную для оценки вклада пар стационарных точек щ, со2, расположенных вблизи точки со, где сРф/йсо2 = 0, по разные сто­ роны от нее. Эта формула использует функцию Эйри в определе­ нии В. А. Фока [87]:

где Г — контур, идущий от оо к 0 вдоль действительной оси и за ­ тем по лучу arg z = —2л/3 от 0 к оо . Согласно [96],

Применяя формулы (2.101), (2.102), (2.105) к нашей задаче, мы должны принять / = г, Ф (со) = \Uhq (со) I, ф (со) = <й t/r —

— lhQ (со). Тогда

Таким образом, для расчета сейсмограммы необходимо знать функ­

ции | f t û (со), ChQ (со), d2lhQ/d(ù2, а в точках, где d2lhQ/d(à2 = 0,. также и d3 £f t o/dco3 . Применение асимптотических формул в реаль­

ных ситуациях встречает серьезные трудности: 1) существуюг

осциллировать; 3) точность описания разных участков сейсмо­ граммы асимптотическими формулами может существенно разли­ чаться. Это затрудняет использование асимптотики при массовых расчетах сейсмограмм. Однако асимптотические методы весьма удобны для качественных оценок вида сейсмограмм, и мы пользу­ емся ими в настоящей работе.

Способ построения такой «приближенной» сейсмограммы состо­ ит в следующем: кривая групповой скорости ChQ (со) разбивается

55

на ряд монотонных участков, заключенных между соседними экстремумами. Каждому участку соответствует квазисинусои-

.дальное колебание переменной частоты и амплитуды вида A (<)cos (CÛ (t)t + ф (t)). В момент времени t частота S определя­ ется из условия CkQ (со) = rit, амплитуда A (t)

стотой видимая частота записи убывает во времени и наоборот. Чтобы получить теоретическую сейсмограмму данной гармоники, надо сложить колебания, соответствующие разным участкам кри­ вой CkQ ((d). При этом колебания с разной частотой, но с одина­ ковой групповой скоростью будут интерферировать; окрестностям

где Е (т) — функция Эйри от аргумента т:

за счет меньшего растягивания этой части процесса во времени). Фактическая амплитуда фаз Эйри (как и любой части записи) зависит не только от вида кривой групповой скорости, но и от •функции' \Ukq (to) I, определяемой строенном среды, глубиной, механизмом и спектром источника; поэтому из полученных соот-

56

от­

ношений нельзя делать вывод о том, что максимальные амплитуды

на записях всегда связаны с фазами Эйри.

Для получения полной теоретической сейсмограммы необхо­ димо суммировать колебания всех гармоник, дающих существен­ ный вклад при данном t; поскольку обычно исследуется ограничен­ ный диапазон частот, с помощью кривых групповой скорости удобно оценивать, какие гармоники надо учесть в данном интер­ вале времен и частот.

Численный метод. Любой численный метод преобразования Фурье требует достаточно подробного описания функции Uhq (to),

-что приводит к большому объему вычислений. Разработанный в по­ следние годы алгоритм быстрого преобразования Фурье [116} сильно сокращает время счета; однако и здесь при использовании ЭВМ класса БЭСМ-4 остаются существенные технические пробле­ мы. Приведем простой пример: минимальный период осцилляции

в которых нужно задать подынтегральную функцию, достигает 10е . Такой массив чисел не может быть подвергнут быстрому преобра­ зованию Фурье «в лоб» даже на ЭВМ класса БЭСМ-6; для БЭСМ-4 максимальный размер массива порядка 103 , т. е. в тысячу раз меньше, чем нужно. Для преодоления этой трудности разработаны

сдвинуть начало отсчета на сейсмограмме в точку t0 и вычислять

той же точности. При этом время счета для преобразования задан­ ного массива не возрастает.

3. Преобразование входного массива суммированием. Специфи­ кой быстрого преобразования Фурье является предопределенность значений абсцисс, в которых будет вычислена преобразованная

57

функция. Именно, если вычисляемый интеграл имеет пределы

в точках tj, соответствующих массиву длины Дсо = (сотах — и т ш ) / £ . Нетрудно убедиться, что

ш т а х т т і п + Д ш L—1

лочленным суммированием всех подмассивов. При этом, однако, может оказаться, что полученный шаг ôt = tj — tj-x = 2я/Дсо слишком велик для детального описания сейсмограммы. Тогда

к повторным вычислениям преобразований Фурье, причем всего приходится производить ôt/At вычислений. Получаемые после каждого преобразования выходные подмассивы должны быть упо­

Эта программа составлена на языке БЭСМ-4 и осуществляет сле­ дующие основные операции:

1) ввод и предварительная равноточная интерполяция с задан­ ным шагом по со массивов данных, полученных в результате рас­ четов спектров поверхностных волнпо программам [4, 21, 63,94]:

58