Файл: Ковалев М.П. Динамическое и статическое уравновешивание гироскопических устройств.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 22.06.2024

Просмотров: 159

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Г л а в а II.

УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТОЧНОСТИ ГИРОСКОПИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ

Уравнения, описывающие движение гироскопа любого типа, можно получить на основании законов теоретической механики, относящихся к динамике твердого тела с одной неподвижной точкой. Эти законы по существу являются следствием второго закона Ньютона, выражаемого уравнением

4dt( т Д . ) = ^ ,

(2-1)

где щ — точечная масса;

Fi — сила, действующая на эту массу;

Ѵі — скорость точечной массы по отношению к инерциаль­

ной системе отсчета.

Инерциальной называется система отсчета, для которой вы­ полняются законы Ньютона. В качестве первого приближения за инерциальную систему отсчета можно принять систему коор­ динат, связанную с земным шаром (вращающуюся вместе с Землей). Во втором приближении можно принять систему ко­ ординат с началом в центре Земли и с осями, направленными к «неподвижным» звездам. В третьем приближении начало коор­ динат берется в центре Солнца, а оси направляются к «подвиж­ ным» звездам.

Однако какую-либо неинерциальную систему отсчета можно рассматривать как инерциальную, если к действующим силам добавить силы инерции переносного движения.

2.1.

ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

 

Рассмотрим точечную массу т г-, находящуюся на

расстоя­

нии гі

от. начала координат О' инерциальной системы

и

движущуюся по отношению к этой системе со _скоростью гГ*. Бу­ дем считать, что на эту массу действует сила Fi (рис. 2.1).

15

Момент Mi силы Fi относительно начала координат опреде­ ляется векторным произведением

Mi = rt X F b

(2.2)

Подставляя вместо Fi выражение (2.1), получим

М! = п Х -^г('яД-).

(2.3)

dt

 

Момент количества движения g{ массы іщ относительно на­ чала координат определяется векторным произведением

І/==Н Х (/«Д -).

Дифференцируя это уравнение по времени, получим

ѵі X {miv i)-\-ri X dt

Поскольку

V i X { > П і Ѵ , ) = О,

уравнение (2.5) можно записать в виде

dgj

d

Гі Х — (ЩѴі).

dt

dt

(2.4)

(2.5)

( 2. 6)

3_аменяя согласно (2.3) левую часть полученного уравнения на М і, окончательно находим

-?И- = М,.

(2.7)

dt

1

 

Любое твердое тело представляет собой совокупность мате­ риальных элементарных масс піи для каждой из которых спра­

ведливо уравнение (2.7).

пц, то

Если просуммировать уравнения вида (2.7) по всем

для твердого тела получим

 

— = м ,

(2.8)

dt

'

где G = 'Zgi — момент количества движения тела относительно точки О', называемый также кинетическим мо­ ментом тела;

М — момент относительно той же точки О' внешних сил Еппешн. действующих на тело '.

1 Момент сил Дівцутр взаимодействия точек Д'і =^'івпсшп+ /:'іпнутр) со­ гласно третьему закону Ньютона равен нулю.

16

Рис. 2.1. Схема действия си­ лы на точечную массу

Уравнение (2.8) выражает теорему о моменте количества движения тела. Согласно, этой теореме скорость конца вектора кинетического момента тела относительно неподвижной точки геометрически равна моменту действующих на тело внешних сил относительно той жё точки.

Если в твердом теле выбрать не­ которую точку, например центр масс, и совместить с этой точкой начало координат О системы £°т]0£0, оси ко­ торой параллельны соответствен­ ным осям инерциальной системы

то движение твердого тела можно рассматривать как совокуп­ ность двух движений: поступатель­ ного движения, определяемого дви­ жением выбранной точки тела, и движения (вращения) тела около этой точки относительно системы

S W

Уравнение (2.8) можно принять и при исследовании движения (вращения) твердого тела отно­

сительно системы І°г]0£0, которую будем в дальнейшем называть «неподвижной». При этом, как уже отмечалось, к моменту дей­ ствующих сил надо добавлять момент от сил инерции перенос­ ного (вместе с системой ё°Л°£0) движения тела. Общий момент М, а также кинетический момент тела G нужно брать теперь от­ носительно начала координат О неподвижной системы |°ц0?0.

2.2. ПОЛНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ ПО ВРЕМЕНИ

Предположим, что имеется некоторый вектор а, зависящий от времени t. Помимо неподвижной системы отсчета £°т]0(;0 вве­ дем еще систему координат XYZ (подвижная система) с тем же началом, вращающуюся относительно системы £°т]0£;0.

Будем

считать, что начало

вектора а совпадает с началом

координатных систем ^°т)0^0 и XYZ (рис.

2.2). Будем также счи­

тать,

что

подвижная система

вращается

относительно непод­

вижной с угловой скоростью со. Выразим

 

полную производную

da

т.

е. скорость изменения вектора

—

----- ,

а

относительно иепод-

dt

 

 

 

 

 

вижной системы, через величины, относящиеся __к подвижной

системе XYZ. В проекциях на оси подвижной системы вектор а можно записать следующим образом:

(2.9)

17

Дифференцируя (2.9) по времени, получим

da

,

' d a -т

I

dan

— ,

d a z 7-

dt

I 4------

— J H------

* k

\

dt

'

d t

1

dt

d i s

d j ,

dk

( 2. 10)

« , ~ 77" "Ь a c/ ~TT 4" a z —

dt

dt

dt

 

Выражение

da у —

— . rfaz

_da

(2. 11)

І-

dt ^ dt

dt

dt

 

представляет собой скорость изменения вектора а по отношению к подвижной системе XYZ. Эта ско­ рость называется локальной произ­

 

 

водной _вектора

а

и обозначается

 

 

как

d а

 

 

 

 

 

 

 

---- .

 

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

Вторая группа членов правой ча­

 

 

сти уравнения

(2.10)

при учете соот­

 

 

ношений

 

 

 

 

 

 

\ ° di

 

dj

— - dk

~ \у~й

 

 

———<« X I,—-

=ш X У, —— =«> X к

 

 

dt

 

dt

 

 

dt

 

 

 

и выражения

(2.9) может быть за­

 

 

писана в

следующем виде:

 

Рис. 2.2. Системы

координат

а,-- di

 

dJ +

az - ^ - = a x(uX i)+ -

dt

 

' dt

 

dt

 

-f <МШX у) + аг(м X Ä)=w X (avi- f ayj +

atk) = <»X

a.

Таким образом,

полная

производная вектора а по времени

определяется формулой

 

 

 

 

 

 

 

 

dt — dt

 

X

 

 

 

(2.12)

где, как уже отмечалось, -4^- — скорость изменения вектора по.

отношению к подвижной системе координат XYZ, а со Ха — ско­

рость конца вектора а по отношению к неподвижной системе при вращении этого вектора вместе с подвижной системой XYZ.

2.3. ДИНАМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОКОЛО НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ

Теорема о моменте количества движения твердого тела выра­ жается согласно (2.8) уравнением

— = 7Й,

(2.13)

18

в котором G обозначает кинетический момент тела относительно начала координат О неподвижной системы |°ті0£0, а М — момент сил (активных и инерционных от перекосного движения) относи­ тельно той же точки О.

Принимая в качестве вектора а вектор кинетического момен­ та G твердого тела, можно при учете формулы (2.12) записать уравнение (2.13) в виде

 

 

— 4- Ü X G —M.

 

(2.14)

Выразим векторное произведение через определитель

 

I» X о --

1

У

k

 

 

w.r

а и

Ш2

 

 

 

 

О,

Gy

Gz

 

После раскрытия этого определителя можно записать уравне­

ние (2.14) в проекциях подвижной системы XYZ

 

 

CtG; -f- ®yOz—iozGy= Mx;

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

dGy

■“A

— <*xGz = My\

(2.15)

 

dt

 

 

 

 

 

 

dG,

+ wxGy — %Gx= Mz

 

 

dt

 

 

 

I

 

Знак локальной производной здесь опущен, так как изменение

вектора G относительно подвижной системы

XYZ есть не что

иное, как скорость изменения проекций

этого

вектора на оси

X, Y, Z.

 

 

 

 

 

 

В дальнейшем в качестве твердого тела будем рассматривать

ротор (рис. 2.3).

Подвижную систему координат XYZ свяжем с

ротором следующим образом: ось Z направим по оси вращения

ротора, а оси X,

Y будем' считать не

 

 

 

связанными с телом ротора, так что

 

 

 

ротор по отношению к этим осям

 

 

 

может поворачиваться. Угловую ско­

 

 

 

рость поворота связанных с телом

 

 

 

ротора осей Хи

относительно осей

 

 

 

X, Y обозначим через ср.

 

 

 

 

Можно доказать, что проекции

 

 

 

вектора G кинетического

момента

 

 

 

ротора на оси подвижной системы

 

 

 

XYZ определяются формулами

 

 

 

Ох= А ш х-

^

 

 

 

 

G y

>

 

(2.16) Рис. 2.3.

Ротор в системе

Gz —Cioz -ф-H ,

 

 

 

координат

19

Смотрите также файлы