Файл: Ковалев М.П. Динамическое и статическое уравновешивание гироскопических устройств.pdf

раметра й. Чтобы уравнения удовлетворялись, коэффициенты при различных степенях й, зависящие от а и ß, далжны равнять­ ся нулю. Принимая во внимание в каждом пз уравнений лишь члены с нулевой степенью Й, получим два дифференциальных уравнения, переменными в которых являются а0 и ß°. Выбирая для а0 II ß° начальные условия

(2.35)

совместимые с начальными условиями (2.30) для а, ß и приня­ той формой решения (2.31), (2.32), путем решения этих уравне­ ний получим а0, ß° как функции времени.

Принимая далее во внимание члены с первой степенью й, по­ лучим два дифференциальных уравнения в отношении перемен­ ных a', ß'. В этих уравнениях помимо других фигурируют также члены, содержащие теперь уже известные функции а0, ß°. Пере­ носим эти члены в правые части уравнений. Решая эти уравне­ ния при начальных условиях

функции времени.

Принимая во внимание члены со второй степенью й, получим два дифференциальных уравнения (их правые части содержат члены с теперь уже известными а' и ß'), решая которые при ну­ левых начальных условиях, находим а", ß" как функции време­ ни. В данном случае нулевые начальные условия совместимы с начальными условиями (2.30), (2.35), (2.36) и принятой формой решения (2.31), (2.32).

Подставляя, наконец, найденные значения а0, а', а", ß°, ß', ß" в (2.31), (2.32), получим искомые приближенные решения урав­ нений движения (2.26), (2.28).

Из-за сложности общих уравнений движения (2.26), (2.28) наиболее целесообразно установить отдельно влияние каждого из указанных параметров карданова подвеса на дрейф гироскопа.

Если положить -уI = Y2— 0 и учитывать только перекос е оси

вращения внутреннего кольца, в этом случае уравнения движе­ ния принимают вид

/г3—(/, sin s) а — {Си cos s) а cos ß-f-

-\-[{А-\- А' — C') cos2 е] а- sin 3 cos ß — 0;

— (/2sin s)ß-|-(Cß cos s)ß cos ß-j-

+ [Л"+ (А + А' - C') cos2 e cos2 ß +

-j- C' cos2 s — /, sin2 e] а —

— 2 [(Л + А' —C') cos2 e] aß sin ß cos ß = 0,

где і 2 = А+В'.

26

Сравнение этих уравнений с их предельным видом при е= 0 показывает, что помимо изменения коэффициентов при членах первого и второго порядков в отношении а, ß, перекос обусловли­ вает перекрестные инерционные члены.

Согласно методу, изложенному в предыдущем параграфе, решение системы (2.37) будем искать в виде функционального ряда по степеням малого параметра, в качестве которого в слу­ чае начальных условии (2.30) можно принять Q. Соответственно каждой степени £2 можно, как указывалось выше, написать ряд дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения в

Следующая пара дифференциальных уравнений, получающа­ яся приравниванием нулю коэффициентов при первой степени Q,

где

/, = Д"-)-( А -}- А' — C') cos2 г cos2 ß0-{- C cos.2s -)-/2 sin 2£. (2.40)

Решение уравнений (2.39) может быть получено обычным об­ разом. При начальных условиях

Составляющие а", ß", соответствующие членам решения вто­ рого порядка малости, находятся как решение системы диффе­ ренциальных уравнений, получающейся приравниванием нулю

27

коэффициентов при Й2. Эта система имеет вид

/2ß" — (/, sin s) а" — [Си cos s) а" cos ß0 =

=—[(Л — A' — C ) cos2 e] а'2 sin % cos % —

—(Ca cos s) а'/' sin ß0;

} (2.44)

= [2(Л-|-Л' — C')cos2s sin ß0cosj30](a'ß'-|-

-j-a'3')-)-(C/i cos s)ß'ß' sin ß„.

Подставив в правые части вместо a', ß' выражения (2.42), после некоторых преобразований замечаем, что все члены пра­ вых частей уравнений (2.44) периодические, за исключением од­ ного члена в правой части первого уравнения. Это означает, что

решение в отношении ß" остается периодическим, а в отношении а" имеет постоянную составляющую. Эта постоянная составляю­ щая соответствует систематическому уходу (дрейфу) трехсте­ пенного гироскопа вокруг оси вращения внешнего кольца.

Подставив найденные составляющие а0, ß°, а', ß', а", ß" в принятую форму решения (2.31), (2.32), получим приближенное решение системы (2.37).

Как уже отмечалось, монотонно изменяющийся член присут­ ствует лишь в решении по переменной а и соответствует дрейфу трехстепенного гироскопа. Выполнив указанные выше выкладки, находим, что скорость дрейфа определяется формулой

ЛКак видно из этой формулы, дрейф имеет место и при отсут­ ствии перекоса оси вращения внутреннего кольца (е = 0), если только плоскости внутреннего и внешнего колец не перпендику­ лярны, а моменты инерции колец отличны от нуля. Однако при наличии перекоса (е^О) дрейф имеет место даже при безынер­ ционных кольцах. В этом случае скорость дрейфа определяется формулой

■ __ 02 Д sin ßo ( c o s 2 Е COS2 ßo + Sin2 е)

л2 COS £ COS2 ßo

где А — экваториальный момент инерции ротора.

28

Если существует только перекос уі оси ротора, а e=Y2 = 0, то

уравнения движения (2.26), (2.29) принимают вид

(А cos2 Yj-f- В') ß-]-(n sin Yi cos у:) a sin ß —

—Спа cos Yi cos ß-f-(A co,s2 Yi+ А' —

—C ) a2sin ß cos ß = 0 ;

J'

J' —V і \і 2 — А2sin Yi cos2 Yxsin2 ß0.

Система уравнений относительно составляющих решения a", ß" второго порядка малости согласно изложенному методу полу­

29