Файл: Ковалев М.П. Динамическое и статическое уравновешивание гироскопических устройств.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.06.2024
Просмотров: 164
Скачиваний: 0
где А, С — моменты инерции ротора 'соответственно относитель но экваториальных (X или У) и полярной (Z) осей; сщ-, соу, coz — проекции угловой скорости системы XYZ на оси этой же системы,
а Я = Сср— кинетический момент ротора при его вращении отно
сительно системы XYZ (в дальнейшем |
будем принимать ср = |
= const). |
следующие уравнения |
Подставляя (2.16) в (1.15), получим |
движения ротора относительно неподвижной системы £°г]0£;0, на зываемые динамическими уравнениями:
У Ц Ѵ~\~(С — А) шу<лг Н (ау — М х ;
Лму -} -(^ — С) со гш2— Н соЛ.= М у \ |
(2.17) |
2.4. УРАВНЕНИЯ ГИРОСКОПА С ПЕРЕКОШЕННЫМИ ОСЯМИ ПОДВЕСА
Карданов подвес гироскопа ранее предполагался идеальным, т. е. кольца подвеса считались безынерционными, их оси враще ния взаимно перпендикулярными, а ось вращения ротора перперпендикулярной оси вращения внутреннего кольца. Однако вследст вие инерционности колец и возможного перекоса осей реальный трехстепен ный гироскоп в процессе собственных колебаний
няться от первоначально го положения даже при неподвижности его осно вания. Этот уход (дрейф) гироскопа при колебаниях основания возрастает.
Схема такого гироско па приведена на рис. 2.4. Она состоит из ротора с
осью симметрии Z\ и центром тяжести О, совпадающим с пере сечением осей карданова подвеса, а также из внутреннего и внешнего колец. Центры тяжести колец совпадают с точкой О, однако, несмотря на идеальность конфигурации колец, оси их вращения неточно перпендикулярны друг другу. Если Y' — ось вращения внутреннего кольца относительно внешнего, а У — ось в плоскости XY внешнего кольца, перпендикулярная оси X вра-
20
>
щения внешнего кольца, то угол е между Y' и Y представляет перекос внутреннего' кольца относительно внешнего.
Ротор ’предполагается перекошенным относительно внутрен него кольца. Перекос определяется углами уі и уг, характеризу ющими отклонение оси Z\ вращения ротора от главной оси инер ции Z внутреннего кольца, у і— угол отклонения в плоскости симметрии Y'Z' внутреннего кольца, а у2 — угол отклонения оси
ротора от этой плоскости симметрии. Последний угол можно рассматривать как отклонение оси Z\ вращения ротора относи тельно диаметральной оси Y' этого ротора, лежащей в плоскости симметрии Y'Z' внутреннего кольца.
Все упомянутые оси приведены на рис. 2.5. Система XYZ (см. рис. 2.5, а) связана с внешним кольцом, причем ось X направле на по оси вращения этого кольца. — система, связанная с ос нованием. Ось £ этой системы совпадает с осью X вращения внешнего кольца. Основание предполагается подвижным в инер
циальном пространстве, так что систему |
следует рассматри |
вать как инерциальную, а — угол поворота |
внешнего кольца |
вокруг оси X относительно инерциальной системы |т]£. X'Y'Z' — |
|
система, получающаяся в результате поворота системы. ZTZ во |
|
круг оси Z на угол е (где е — упомянутый |
выше перекос оси |
вращения внутреннего кольца), xyz — система, связанная с внут ренним кольцом (см. рис. 2.5, б). Она получается из системы
21
поворотом на угол р вокруг осп Y'. Углы а и ß определяют поло
жение колец подвеса в инерциальной системе отсчета |
Оси |
||
Ц'і и уі определяются положением оси z x вращения ротора, |
но не |
||
участвуют в собственном вращении |
ротора вокруг |
оси Z\ |
(оси |
Резаля). Система xxy xz x получается |
из системы xyz |
поворотом |
вокруг оси хна угол ум, а затем поворотом вокруг оси у х на угол \ 2 (см. рис. 2.5, в). Углы уі и у2 представляют составляющие пе
рекоса от оси Z\ ротора относительно внутреннего кольца. Перед тем как переходить к составлению уравнений движе
ния, сделаем |
ряд предположений. Будем предполагать оси х, у, |
z и Ху, у I, z 1 |
главными осями инерции соответственно внутренне |
го кольца и ротора. Будем считать, что трение во всех подшипни ках отсутствует и, кроме силы тяжести и сил нормальных реак ций, в подшипниках какие-либо другие силы не действуют.
Если на ротор не действуют моменты вокруг осп вращения Z\, то согласно закону о моменте количества движения составля ющая абсолютной угловой скорости п ротора по его оси враще ния z\ постоянна. Для определения углов а, ß необходимы два уравнения. Чтобы найти одно из этих уравнений, рассмотрим систему, состоящую из внутреннего кольца и ротора. Использу ем тот факт, что скорость изменения составляющей момента ко личества движения этой системы по оси у вследствие отсутствия моментов вокруг этой оси равна нулю. Основываясь на уравне нии
— ф ь Х О = 1 , |
(2.18)' |
где G — момент количества движения рассматриваемой |
систе |
мы; |
|
М — момент, действующий на систему. |
|
Разложим это векторное уравнение на составляющие по осям системы xyz, принимаемой в качестве подвижной системы коор
динат. В уравнении (2.18) со обозначает абсолютную угловую скорость подвижной системы xyz. Принимая во внимание М = 0 и представляя уравнение (2.18) в виде
clG |
і |
j |
k |
= 0, |
(2.19) |
|
dt |
wx |
шу |
wz |
|||
|
|
|||||
|
gx |
Sy |
gz |
|
|
где Г, /, к — орты по осям х, у, z, а gx, g v, ^ — проекции кинети ческого момента G на эти оси, для составляющей уравнения (2.19) по оси у вращения внутреннего кольца получим
gym- |
+ £.cü,*= °. |
(2-20) |
где со,;, (Oy, cor — проекции угловой скорости системы на оси этой системы.
22
Проекции абсолютной угловой скорости на оси X, у, z имеют вид
(і)г = а cos $ cos 3;
іо = 3 — а sin в; ioz = а cos г sin 3.
внутреннего кольца
(2.21)
Если /Г, В', С —-главные моменты инерции внутреннего коль ца, то составляющие момента количества движения этого кольца по указанным осям определяются формулами
g ’r= A 'a cos s cos ß;
gy = B' (ß — а sin s); |
( 2.22) |
g'z= C'a cos s sin 3.
Проекции угловой скорости системы луг/iZi, связанной с осью Z\ ротора, на оси этой системы имеют вид
(Од.,== a cos г cos у, cos ß + (и — а sin è) X
X sin Yi sin Y2— cx cos £ cos Yi sin Yo sin ß;
totfl= (^ — а sin e) cos Yi + а cos s sin y, sin [3; |
(2.23) |
(ог1 = а cos s cos Yi cos Y2 sin ß-j-а cos s X
X sin Y2 cos 3 — (3— а sin s) sin Yi cos-Уг-
Зная эти проекции, легко найти составляющие момента коли чества движения ротора по осям лу, у и z \
g.vі= |
gyi= Amyn gzi = Cn, |
(2.24) |
где А, С — главные моменты инерции ротора, а п — проекция уг ловой скорости ротора на ось zb являющаяся, как уже упомина лось, постоянной.
Таким образом, составляющие момента количества движения системы «внутреннее кольцо — ротор» по осям х, у, z имеют вид
|
+ |
cos y2 + Szi sin y2; |
|
|
- |
+ |
sin Yi sin Yo + g'ai cos \i — g sin у, cos у2: |
(2.25) |
|
|
gz= gz — gxi cos Y, sin y2-j"gу 1 Sin Yi + |
cos yxcos Y; |
|
23
Подставляя (2.21) — (2.25) в уравнение (2.20), получим пер вое из двух необходимых уравнений движения
[В' (ß — а sin s)-j- A sin Yi sin y2[а cos e cos y2 cos ß-j-
+ (fi — a sin e) sin Yi sin y2— а cos's cos Yi sin y2 sin p]-|-
+ A cos Yi [(P — а sin e) cos Y]+ a cos e sin Yi sin ß]—
— Cn. sin Yi cos y2) — а cos s cos ß [C'a cos e sin ß —
— A' cos Yi sin y2[a cos e cos y2cos ß — (ß— a sin s) sin Yi sin y2—
— a cos s sin ß cos Yi sin y2]+ A sin Yi [(ß— a sin s) cos Yi +
- fa cos e sin Yi sin 8]-\-Cu cos y(. cos y2) -fa cos £ sin ß X
X j A'a cos e cos ß -f A cos y2[a cos s cos y2 cos ß — (ß — a sin e) X
X sin Yi sin y2 —a cos s cos y1sin y2sin ß] -\-Cn sin y2} = 0 . (2.26)
Второе уравнение движения можно получить, рассматривая скорость изменения составляющей момента 'количества движе ния всей системы «ротор — внутреннее кольцо — внешнее коль цо» по оси вращения внешнего кольца. Если, как предполагалось, трение отсутствует, эта скорость равна нулю. Поскольку ось X является осью инерциальной системы, составляющая момента количества движения всей системы в направлении оси X постоян на. Эта составляющая определяется выражением
A"a-|-g-A.cos вcos 3 — g y sin |
cos s sin ß = const, |
(2.27) |
где А"а — момент количества движения внешнего кольца |
(А" — |
момент инерции этого кольца), а gx, g u, gz— составляющие мо мента количества движения системы «ротор— внутренее коль цо» [см. (2.22) — (2.25)].
Подставляя в (2.26) выражения этих составляющих, получим
Â"a-)-cos s cos ß {А'а cös г cos ß-f-A cos y2[a cos s cos y2 cos ß —
— (ß— a sin г) sin Yi sin y2 — a cos s cos Yi sin y.2sin ß]-j-
-fC /г sin y2) — sin E — a sin s)-j- A sin Yi sin y2X
X [“ cos e cos y2 cos .3 —(ß — a sin e) sin Yi sin y2 —
— a cos s cos Yi sin y2 sin ß]-|- A cos Yi [(ß' —a sin s) cos Yi-f
-j- a cos Esin Yi sin p]— Cti sin Yi cos y2) -f cos e sin ß X
X (C'a cos s sin ß — A cos Yi sin y2 [a cos в cos y2cosß —
— (ß— a sin s) sin Yi sin y2 — a cos s cos Yi sin y2 sin ß]-j-
-j- A sin Yi [(ß— a sin s) cos Yi + a cos в sin Yi sin ß]-j- |
|
-f Cn cos Yi cos y2] = const. |
(2.28) |
24
Если через gx обозначить левую часть |
(2.28), то искомое |
уравнение движения примет вид |
|
- ^ = 0. |
(2.29) |
dt |
|
Уравнения движения (2.26), (2.28) представляют собой сис тему двух нелинейных дифференциальных уравнений с .неизвест ными а и ß. Точного метода решения таких уравнений не сущест вует. Однако решение можно получить в виде функционального ряда по степеням малого параметра. Опишем этот метод реше ния для начальных условий
t = 0, а = а0, а = й,
(2.30)
?= &>, £= 0.
Эти начальные условия получаются при сообщении внешнему
кольцу в момент / = 0 угловой скорости а = й, что соответстңует нанесению удара по внешнему кольцу в момент ^ = 0.
При небольшом значении начальной угловой скорости Q ре шение можно искать в виде функционального ряда по степеням малого параметра й. Следуя этому методу, можно записать
a = a°+a /2 + |
a',Ss+ . . . , |
• |
(2.31) |
ß = ß" + ß'Q + |
ß"£2+ • • ( |
2 . |
3 2 ) |
где а0, а', а", ... ß°, ß', ß"— неизвестные функции времени. Эти функции можно определить, подставляя ряды (2.31), (2.32) в уравнения движения (2.26), (2.28). Членами, содержащими Й в степени выше второй, можно пренебречь. Учет членов с более высокими степенями приводит к усложнению выкладок. Вместе с тем основные свойства решения выявляются при учете лишь членов до второго порядка малости.
При использовании рядов (2.31), (2.32) составляются при ближенные выражения для sin ß, cos ß, sin ß cos ß:
sin ß ~ sin (ß°-f ß'Q + ^ 22)= sin ß° cos (ß'2 -f ß"S2)-{-
+ cosß0sin(P/Q-f ß"22) ~ s in ß o |l -- L ß '2g^ -)-
+ |
cosß°(ß'2 + |
ß"22); |
' |
(2.33) ' |
cos В~ cos ß° ^ 1 |
- -L ß'2Q2j _ |
sin ßo (ß'g + ß"Q2). |
(2.34) |
Приближенные выражения для sin ß cos ß и cos2 ß можно по лучить, перемножая (2.33), (2.34) и возводя в квадрат (2.34). При этом в окончательных выражениях должны быть сохранены только члены с параметром й в степени не выше второй. Эти выражения, а также принятая форма решения (2.31), (2.32) подставляются в уравнения движения (2.26), (2.28). Левые час-, ти уравнений превращаются в степенные ряды в отношении па
25