Файл: Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры.pdf

мента ti можно

записать

условие с р а б а т ы в а н и я

формирующего

устройства:

S ( ^ 0 - A 1

) +

5 ( ^ O - A I ) = L/CP-

( 4 - 1 5 )

Аналогичное

в ы р а ж е н и е

можно записать и д л я момента

h. Ин ­

тервал времени

A i является

случайной величиной.

Кроме

того,

солютные

значения

A i

малы .

В таком

случае,

если

считать

функции

s(t)

и

l(t)

непрерыв­

ными и имеющими все произ­

водные

при

t = U,

то

слагае ­

мые

в

левой

части

в ы р а ж е ­

ния

(4-15)

м о ж н о

р а з л о ж и т ь

в р я д

Тейлора в окрестностях

точки U и ввиду малости А4

членами,

начиная

с

квадра ­

тичного,

м о ж н о пренебречь.

П р е о б р а з у е м

в ы р а ж е н и е

(4-15)

s(t0

— A j . ) - f - i ( £ 0 — A 1

) =

s ( ^ 0 ) +

Р и с

- 4 "3 -

м ° Д е

л ь процесса,

представля-

f~5Uo)—[s

/

(^о) ~Ь

t

к

и

ющего сумму

полезного

сигнала и вы-

S (^о)]^1=

^ср-

сокочастотной

помехи

Отсюда, с учетом равенства s(i0)

=

Ucp,

получаем

д =

Ш

=

ь

>

/ 4 . 1 6 ч

*'Со) + Г

Со)

'

S

С ошибкой в сторону завышения

можно

принять

A i = £/s'.

(4-17)

Совершенно

аналогичное в ы р а ж е н и е

получается

и

д л я интер­

в а л а Аг. Если шум

|

представляет

собой

нормальный

случайный

процесс

с нулевым средним и дисперсией

а2 , то интервалы Ai и Аг

мальному закону,

с дисперсией

* 2 д 1 = * 2 д 2 = < * 2 / ( 5 ' ) 2 -

( 4 - 1 8 )

Тогда за м а к с и м а л ь н о е значение интервалов А) и Аг

м о ж н о

принять

- \

А =

A im a x =

А 2 m a x =

3 a A 1 v З а Д 2 = 3<r/s\

(4-19)

Таким образом, л о ж н ы е с р а б а т ы в а н и я

формирующего

устрой­

ства при к а ж д о м

пересечении полезным сигналом уровня Ucv воз­

м о ж н ы на интервале времени, равном 2А.

Д л я решения

поставленной з а д а ч и случайный процесс

(4-13)

представим следующей

моделью

(рис.

4-3): шум l(t)

считаем

с нулем на уровне Ucp

и будем отыскивать

число пересечений

шума

с гармоническим сигналом

s(t).

Всякое ф о р м и р у ю щ е е устройство

имеет

некоторый

гистерезис,

т. е. порог

с р а б а т ы в а н и я его Ucv

не равен

порогу

отпускания

U07u.

Пусть UCp—Uorn=AUo.

Тогда

к

л о ж н ы м

с р а б а т ы в а н и я м приведут

такие

выбросы шума,

которые

по

р а з м а х у

будут

не

менее

разно ­

сти s(t)—Uojn

= s(t)—(/cp

+ Af/o.

И

если

помеха

рассматривается

с нулем на уровне

£/0 р, то з а д а ч а

сводится

к отысканию

числа вы­

бросов помехи на уровне A = s(t)

+

AU0.

В работах [32, 33] приводятся

в ы р а ж е н и я

д л я среднего

числа

выбросов нормального

случайного

процесса

в единицу времени на

з а д а н н о м

уровне:

= ±V^^

{-£;).

NAC)

( 4 - 2 0 )

При этом функция корреляции

случайного

процесса

имеет вид:

А ( т ) = . - о а # ( т ) .

(4 - 21)

В наше м

случае

функция

корреляции

може т

быть

принята

вида

( 4 - 2 1 ) ,

а уровень

C=A—s(t)+AU0.

Тогда

в ы р а ж е н и е

( 4 - 2 0 )

при­

нимает вид:

(A) = ^V^p70 ехр { -

t ' ^ +

f ^

' }

•

(4 - 22 )

Среднее число л о ж н ы х срабатывани й

формирующего

устрой­

ства на интервале

А1 + А2 нетрудно

найти,

проинтегрировав

послед­

нее Выражение В Пределах ОТ Літах ДО А г т а х :

д 2 ma x

^ 1 max

=

4

^

f

е

,

р

\

- Ш ±

Ш

у .

(4 - 23)

о

З а м е н и в на интервале 2 А синусоиду

прямой:

s (t) ^s'

(t0) t = a>Uт

cosarcsin \

t,

после интегрирования

получаем:

aV-R'0

Ф 3a + MJ0

- Ф

A t / 0

( 4 - 2 4 )

4nfUm

cosarcsin (U

Cp/Um)

a

где f—d)/{2n)—частота

гармонического

сигнала .

В ы р а ж е н и е

( 4 - 2 4 )

определяет

среднее

число

л о ж н ы х

с р а б а т ы в а н и й

формирую ­

щего

устройства

при одном пересечении

сигналом уровня

£ / с р . З а

период таких

пересечений будет два . З а время измерения

Т0

сред­

нее число л о ж н ы х срабатываний

формирующего

устройства,

т. е.

абсолютная погрешность

измерения,

составит

N,

2 Г 0

N 1А

.

у :

RQT0

X

2nUm

cosarcsin

(Ucp/Um)

X

ф

За + Д£/0 \

(4-25)

S(t)

Значение V

-R'0

определяется

спектральной

плотностью

ш у м а

4 я 2

f2S(f)df.

- / ? о = ^ 1

Д л я

ш у м а

с постоянной спектральной плотностью S0

внутри

полосы

Af с центральной

частотой /о имеем [32]:

(4-26)

V

- Я ; = 2 я Д / / ] / 3 .

(4-27)

П о д с т а в л я я в ы р а ж е н и я

(4-21),

(4-22) в

(4-20)

соответственно

получаем:

о/о Т0

+ •12

А/

U

За + АС/0 \

-Ф /М/о

Ф

(4-28)

Um

cosarcsin

(Ucp/Um)

а

N

Д / Т 0 а

2

ф / З а + А £ / , \

ф / А с / р ^

[(4-29)

(Ucp/Um)

V Зя

t / m

cosarcsin

Экспериментальная

проверка в ы р а ж е н и я

(4-29)

позволила

сде­

теоретические кривые

имеют одинаковый характер и д л я

частот,

близких к нижней границе шумовой полосы,

экспериментальные

кривые располагаются

вблизи от расчетной,

отклоняясь

от нее

вышает измеряемую, т. е. при неизменной полосе

ш у м а и его ин­

тенсивности с ростом измеряемой частоты ка к

бы сокращается

терные только д л я конкретного

вида интервала .

Период синусоидального н а п р я ж е н и я . Пр и измерении

периода

синусоидального н а п р я ж е н и я

источником погрешности

является

стабильности

момента с р а б а т ы в а н и я

(рис. 4-2)

може т быть

рас­

считана, к а к

и в случае

измерения частоты, по

в ы р а ж е н и ю

A x = £/s'.

(4-35)

или д л я синусоидального

сигнала вида

(4-1)

Л 1 =

і

Т,

(4-36)

2nU т cosarcsin

(Ucp/Um)

где

Т — коммутируемый

период. Т а к а я

нестабильность будет в на­

ч а л е

и в конце периода. Поскольку нестабильности моментов

сра­

б а т ы в а н и я формирующего устройства

в н а ч а л е

и в конце периода

являются случайными и независимыми

величинами с н о р м а л ь н ы м

ст2

~0о2

где а д 1

=

2nUm

cosarcsin

(Ucp/Um)

Т.

Среднеквадратическое значение погрешности при измерении

периода синусоидального

н а п р я ж е н и я

составит

а

Т.

(4-37)

л V2 Um cosarcsin

(Ucp/Um)

При

пересечениях функцией

s(t)

постоянного уровня

Ucp

в те­

чение времени 2Л ф о р м и р у ю щ е е

устройство може т

д а в а т ь л о ж н ы е

с р а б а т ы в а н и я . Среднее число

л о ж н ы х

с р а б а т ы в а н и й

при одном пе­

ресечении

сигналом уровня £ / с р

м о ж н о

рассчитать

по следующим

в ы р а ж е н и я м ,

полученным

-из

(4-24)

с

учетом

(4-26)

и

(4-27) со­

ответственно:

г~

2Um

cosarcsin (UCp/Um)

V

[

\

I

\

°

,

(4-38)

т

n

a

NT=

У*!

]

/

І

[

ф

(

і ^ о )

_ ф

(

^

1 .

(4-39)

2Um

cosarcsin (Ucp/Um)

V

Зя

L

V

о

)

\ 0

/J