ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 122
Скачиваний: 1
Таблица 4-1
|
|
|
|
Доверительные вероятности в зависимости от значения отношения 6/0 |
|
|
||||||||
|
В/о = |
0,1 |
х/а |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
|
1,6 |
1,8 |
2,0 |
a s = |
o K |
1,0033 |
|
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
1 |
1,6 |
1 1,8 |
2,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
і |
|
|
|
|
Р |
0,1898 |
0,3943 |
j 0,5677 |
j 0,7109 |
0,8230 |
! 0,9066 |
0,9631 |
|
0,9908 |
0,9997 |
1,0000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
1,6 |
1,8 |
2,0 |
|
Й/0 = |
О,2 |
х/а |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
|
|||
а 2 |
= 1,0065 а |
х/аг |
0,199 |
0,398 |
0,596 |
0,795 |
0,994 |
1,192 |
1,391 |
|
1,590 |
1,788 |
1,987 |
|
|
|
|
Р |
0,2024 |
0,3937 |
0,5632 |
0,7069 |
0,8197 |
0,9020 |
0,9575 |
|
0,9916 |
0,9998 |
1,0000 |
|
В/а = |
0,4 |
х/а |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,4 |
|
1,6 |
1,8 |
2,0 |
a s |
= 1,0265 а |
х/а% |
0,195 |
0,390 |
0,585 |
0,780 |
0,974 |
1,170 |
1,363 |
|
1,560 |
1,750 |
1,950 |
|
|
|
|
Р |
0,1979 |
0,3833 |
0,5508 |
0,6921 |
0,8044 |
0,8886 |
0,9467 |
. |
0,9900 |
0,9999 |
1,0000 |
|
В/а = |
0,6 |
х/а |
0,2 |
0,6 |
1,0 |
1,4 |
1,8 |
2,0 |
— |
|
— |
— |
— |
|
|
|
x / a s |
0,189 |
0,567 |
0,945 |
1,320 |
1,700 |
1,890 |
— |
|
— |
— |
— |
a s |
= 1,0583 а |
Р |
0,1882 |
| 0,5304 |
0,7810 |
0,9312 |
0,9956 |
1,0000 |
— |
|
— |
— |
— |
|
|
Р/а = |
0,8 |
*/а |
0,2 |
0,6 |
1,0 |
1,4 |
1,8 |
2,0 |
2,2 |
|
— |
— |
— |
a s = l , l c |
|
0,182 |
0,545 |
0,910 |
1,270 |
1,635 |
1,820 |
2,000 |
|
— |
— |
— |
||
|
|
|
Р |
0,1755 |
0,4999 |
0,7474 |
0,9029 |
0,9807 |
0,9974 |
1,0000 |
|
— |
— |
— |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
I |
1 |
|
|
|
|
|
Р / а = |
1,0 |
х/а |
|
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
1,2 |
1,6 |
1,93 |
|
2,0 |
2,3 |
2,5 |
||
|
|
|
|
x/az |
|
0,350 |
0,520 |
0,696 |
0,870 |
1,040 |
1,390 |
1,630 |
. |
1,740 |
2,000 |
2,170 |
а 2 |
= |
|
1,15 а |
Р |
|
0,3218 |
0,4680 |
0,5988 |
0,7087 |
0,8023 |
0,9264 |
0,9794 |
|
0,9868 |
1 0,9965 |
1,0000 |
Р/а = |
2,0 |
х/а |
|
0,2 |
0,6 |
1,0 |
1,6 |
2,0 |
2,2 |
2,4 |
|
2,6 |
2,8 |
3,0 |
||
|
|
|
|
х/аг |
|
0,131 |
0,393 |
0,655 |
1,050 |
1,310 |
1,440 |
1,570 |
|
1,700 |
1,835 |
1,965 |
а 2 |
= |
1,526 а |
Р |
|
0,1017 |
0,3023 |
0,4937 |
0,7385 |
0,8590 |
0,9039 |
0,9388 |
j |
0,9645 |
0,9824 |
0,9938 |
|
Р/а = |
4,0 |
х/а |
| |
0,2 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
4,5 |
5,0 |
|
— |
— |
— |
||
|
|
|
|
х/а% |
|
0,080 |
0,398 |
0,795 |
1,190 |
1,590 |
1,790 |
1,990 |
|
— |
— |
— |
а 2 |
= 2 , 5 1 6 а |
Р |
|
0,0500 |
0,2500 |
0,5018 |
0,7494 |
0,9195 |
0,9761 |
0,996,9 |
1 |
— |
— |
— |
||
Р/а = |
6,0 |
х/а |
\ |
0,2 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
J |
7,0 |
— |
— |
||
|
|
|
|
х/аг |
|
0,056 |
0,277 |
0,555 |
0,832 |
1,110 |
1,385 |
1,660 |
|
1,940 |
— |
— |
a s |
= |
9,606 а |
Р |
|
0,0334 |
0,1668 |
0,3336 |
0,5005 |
0,6684 |
0,8319 |
0,9538 |
|
0,9987 |
— |
— |
|
Р/а = |
8,0 |
х/а |
|
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
6,0 |
7,0 |
|
8,0 |
9,0 |
10,0 |
||
а 2 |
= |
4,723 а |
х/аг |
|
0,212 |
0,423 |
0,635 |
0,846 |
1,06 |
1,27 |
1,48 |
|
1,69 |
1,9 |
2,12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Р |
|
0,1248 |
0,2496 |
0,3744 |
0,4992 |
0,6240 |
0,7497 |
0,8720 |
|
0,9632 |
0,9968 |
0,9993 |
Р/а = |
10,0 |
х/а |
|
0,2 |
1,0 |
2,0 |
3,0 |
4,0 |
5,0 |
9,0 |
|
9,84 |
10,0 |
11,0 |
||
|
|
|
|
х/аг |
|
0,034 |
0,170 |
0,340 |
0,511 |
0,682 |
0,852 |
1,532 |
|
1,680 |
1,700 |
1,870 |
а 2 |
= |
5,857 а |
Р |
|
0,0200 |
0,1000 |
0,2000 |
0,3000 |
0,4000 |
0,5000 |
0,8986 |
j |
0,9660 |
0,9718 |
0,9987 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
і |
|
|
|
|
Ф у н к ц ия распределения суммы двух |
случайных величин с нор |
|||||||
м а л ь н ы м |
и р а в н о м е р н ы м распределением, |
рассчитанная |
по |
общим |
|||||
п р а в и л а м |
[39], имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
||
Р(—х<Х<х) |
|
Ф |
Ф |
|
•р |
|
|
|
|
|
|
|
4Р |
|
|
|
|
|
|
|
|
2х |
|
|
|
ехр |
|
|
|
|
|
о |
|
/ |
я |
2о 2 |
|
|
|
|
|
|
-ехр |
2 о 2 |
|
|
|
|
(4-47) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
о 2 — дисперсия |
случайной |
величины, |
распределенной |
нормаль |
||||
но; |
2 р — интервал |
значений (от — р до |
+ р) случайной |
величины, |
|||||
распределенной равномерно; |
Ф((/) — и н т е г р а л |
вероятности |
вида: |
||||||
Н и ж е приводятся |
результаты |
расчета |
вероятности |
того, |
что |
|||||||||||||
случайная |
величина |
примет значение, |
у к л а д ы в а ю щ е е с я в интервал |
|||||||||||||||
(—х, |
х) |
д л я нескольких значений |
отношений |
|
р/а, т. е. д л я |
различ |
||||||||||||
ных мощностей одной и другой случайной |
величин. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
В табл . 4-1 и 4-2 через |
a s обозначено |
суммарное среднеквадра |
||||||||||||||||
тическое значение двух случайных величин, |
определяемое |
к а к |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
z = |
p/a. |
|
|
|
(4-48) |
||
Н а |
основании |
табл . 4-1 был рассчитан |
доверительный |
интервал |
||||||||||||||
с доверительной |
вероятностью |
0,98 |
д л я |
различных |
соотношений |
|||||||||||||
нормальной и равномерной составляющих . Результаты |
расчета |
|||||||||||||||||
приведены |
ниже: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
4-2 |
|
Доверительный интервал в зависимости от отношения |
р7ст при р = 0,98 |
|||||||||||||||||
Р/с |
0,1 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
1,0 |
2,0 |
|
4,0 |
6,0 |
|
8,0 |
|
10,0 |
|||
х/ае |
1,50 |
1,50 |
1,50 |
1,56 |
1,62 |
|
1,68 |
1,81 |
1,81 |
1,75 |
|
1,75 |
|
1,74 |
||||
В табл . 4-3 приведены значения доверительной вероятности при |
||||||||||||||||||
различных |
соотношениях |
нормальной и |
равномерной |
составляю |
||||||||||||||
щих д л я доверительного интервала, равного х = 2а%. |
|
|
|
|
||||||||||||||
К а к |
видно |
из табл . 4-2, 4-3, д л я случайной |
величины, |
представ |
||||||||||||||
л я ю щ е й |
сумму |
двух |
случайных |
величин, |
одна |
из |
которых |
распре |
||||||||||
делена |
нормально, а |
д р у г а я равномерно, при заданной довери |
||||||||||||||||
тельной |
вероятности |
доверительный интервал |
всегда |
меньше, |
чем |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица |
4-3 |
||
|
Доверительная вероятность |
в зависимости |
от |
отношения (З/ст |
|
|
|||||||||
Р/о |
0,1 |
0,5 |
1,0 |
1,5 |
1,73 |
2,0 |
2,5 |
|
3,0 |
4,0 |
6,0 |
10,0 |
|||
р |
0,9999 |
0,9999 |
0,9999 |
0,9998 |
0,9976 |
0,9965 |
0,9954 |
0,9955 |
0,9998 |
0,9999 |
0,9999 |
||||
д л я нормально распределенной случайной |
величины. Пр и |
относи |
|||||||||||||
тельно |
малом удельном весе |
равномерной |
составляющей |
|
(р7а = |
||||||||||
= 0,1 — 1,0) |
доверительный интервал, не п р е в ы ш а ю щ и й |
± 1 , 7 |
аъ |
||||||||||||
характеризуется |
доверительной |
|
вероятностью |
р = 0,98. |
Пр и |
неиз |
|||||||||
менной доверительной вероятности доверительный интервал не
сколько |
расширяется, к а к только мощности |
составляющих сравни |
|||||||||||||||||
ваются, |
а |
затем, по мере роста мощности равномерно |
|
распреде |
|||||||||||||||
ленной |
составляющей, |
доверительный |
интервал |
сокращается снова |
|||||||||||||||
и в пределе определяется равномерно распределенной |
составляю |
||||||||||||||||||
щей. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К а к |
видно из |
табл . |
4-3, д л я |
доверительного |
интервала |
х = |
|||||||||||||
= ± 2 |
а 2 в |
д и а п а з о н а х |
соотношений |
р/сг = 0,1Ч-1,0 |
и |
р / а > 3 |
дове |
||||||||||||
рительная |
вероятность |
|
п р и б л и ж а е т с я |
к |
единице. |
В |
д и а п а з о н е со |
||||||||||||
отношения |
1 < р / о ^ З |
доверительная вероятность несколько мень |
|||||||||||||||||
ше единицы, оставаясь, однако, не менее 0,99 с минимумом |
в об |
||||||||||||||||||
ласти |
значения отношения р,'а = 2,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Отсюда |
м о ж н о |
сделать |
вывод |
о |
том, |
что |
если |
погрешность |
|||||||||||
образуется |
ка к сумма |
|
двух |
составляющих, |
одна |
из |
которых |
рас |
|||||||||||
пределена |
нормально, |
а другая равномерно, в широком |
д и а п а з о н е |
||||||||||||||||
соотношений |
мощностей |
составляющих |
( р / а > 0 , 1 ) |
с доверительной |
|||||||||||||||
вероятностью, |
не меньшей |
0,99, все в о з м о ж н ы е |
значения |
погреш |
|||||||||||||||
ностей |
|
будут |
у к л а д ы в а т ь с я |
в интервал |
А = ± 2 |
|
а 2 - |
|
|
|
|
|
|||||||
4-4. Сравнительный анализ частотных и временных сигналов |
|||||||||||||||||||
Сигнал |
в виде |
частоты. К а к показано |
в |
§ 4-1, |
погрешность |
||||||||||||||
при измерении среднего значения частоты определяется |
в ы р а ж е |
||||||||||||||||||
нием |
(4-5). В этом в ы р а ж е н и и коэффициент |
/ |
характеризует до |
||||||||||||||||
верительный интервал |
д л я случайной |
составляющей |
погрешности. |
||||||||||||||||
Последняя образуется |
из нормальной и равномерной составляющих . |
||||||||||||||||||
Причем |
с о с т а в л я ю щ а я |
|
с |
нормальным |
законом |
|
распределения |
||||||||||||
очень часто оказывается меньше составляющей с равномерным за
коном. Поэтому на основании |
табл . 4-3 можно выбрать / = 2, чему |
||||
соответствует |
доверительная |
вероятность, |
б л и з к а я |
к |
единице. |
В ы р а ж е н и е |
(4-5) довольно громоздко. |
Анализ |
веса |
к а ж д о й со |
|
ставляющей погрешности, анализ предельных возможностей час тотомера по точности и установление оптимального д и а п а з о н а из
мерения |
по в ы р а ж е н и ю (4-5) довольно |
затруднительны . |
Все эти |
вопросы |
решаются значительно проще |
при переходе к |
анализу |
л о г а р и ф м и ч е с к их характеристик точности. В работе [38] предла гается под точностью понимать величину
|
|
|
|
A=x/d |
= |
|
x/(2A)=V(2y), |
|
|
|
|
|
(4 - 49 ) |
|||
где х — текущее |
значение |
измеряемой |
величины; |
d — текущее |
зна |
|||||||||||
чение |
интервала |
|
неопределенности: А — текущее |
энтропийное |
зна |
|||||||||||
чение |
абсолютной |
погрешности; |
у — текущее энтропийное |
значение |
||||||||||||
относительной |
погрешности измерения, т. е. под |
точностью |
пред |
|||||||||||||
л а г а е т с я понимать величину, обратную интервалу |
неопределенно |
|||||||||||||||
сти или полосе в о з м о ж н ы х |
значений погрешностей. |
|
|
|
|
|||||||||||
Н е |
проводя |
|
сравнительного |
а н а л и з а способов |
|
з а д а н и я |
полосы |
|||||||||
погрешностей |
(через энтропийное |
значение и через |
доверительный |
|||||||||||||
и н т е р в а л ) , принимаем |
за |
основу |
приведенное |
в ы ш е |
определение |
|||||||||||
точности. П р и этом, если |
погрешность |
з а д а е т с я |
в виде |
доверитель |
||||||||||||
ного интервала, |
то в в ы р а ж е н и и |
( 4 - 4 9 ) |
под А и у |
следует понимать |
||||||||||||
доверительный |
интервал |
д л я абсолютной и относительной |
погреш |
|||||||||||||
ностей |
соответственно, |
а |
под 2 А и 2 у — полосу |
в о з м о ж н ы х значе |
||||||||||||
ний абсолютной |
и относительной |
|
погрешности соответственно. |
|
||||||||||||
О д н а к о , если текущее значение погрешности включает в себя, |
||||||||||||||||
кроме |
случайной |
составляющей, |
|
характеризуемой |
доверительным |
|||||||||||
интервалом, и систематическую, то последняя не учитывается при
вычислении точности |
с помощью |
в ы р а ж е н и я |
( 4 - 4 9 ) . |
В этом |
случае |
|||||||||||||
т е к у щ а я |
точность |
в к а ж д о й |
точке д и а п а з о н а |
измерений |
характери |
|||||||||||||
зуется не |
одним |
числом, а |
некоторой |
областью |
от Л т |
а х до |
Л т щ , |
|||||||||||
где |
Л т а х = 1 / у т і П |
и Л т т = 1 / у т а х . |
Анализ м о ж н о |
вести |
только |
по |
||||||||||||
одной характеристике точности, например, соответствующей |
мак |
|||||||||||||||||
симальной |
погрешности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Если |
ж е |
текущее |
значение |
погрешности |
представляет |
|
собой |
|||||||||||
случайную величину, то, чтобы можно было сравнивать по |
точно |
|||||||||||||||||
сти |
устройства |
с |
систематической |
составляющей |
погрешности |
и |
||||||||||||
без нее, под точностью целесообразно понимать величину, |
обрат |
|||||||||||||||||
ную |
текущей |
|
погрешности, |
определяемой к а к |
половина |
полосы |
||||||||||||
в о з м о ж н ы х |
значений |
погрешностей. |
Исходя |
из |
изложенного |
|||||||||||||
в дальнейшем |
под точностью будем понимать |
величину |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A = |
Vy, |
|
|
|
|
|
|
(4 - 50 ) |
||
где |
у — половина |
полосы в о з м о ж н ы х |
значений |
погрешностей |
при |
|||||||||||||
чисто случайном |
х а р а к т е р е |
их или |
м а к с и м а л ь н о е |
текущее |
значе |
|||||||||||||
ние погрешности при наличии систематической и случайной |
состав |
|||||||||||||||||
ляющих . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Точность цифрового чистотомера, согласно ( 4 - 5 ) , может быть |
||||||||||||||||||
рассчитана |
по |
в ы р а ж е н и ю : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(4 - 51 ) |
|
Н а рис. 4 - 5 приведены характеристики точности, |
построенные |
в полулогарифмическом м а с ш т а б е , — логарифмические |
характерис - |
т и ки точности — дл я трех значений |
времени измерения 7V Кривые |
|||||||
рис. 4-5 |
построены |
по в ы р а ж е н и ю |
(4-51) при следующих |
значе |
||||
ниях параметров: / 0 |
= Ю 6 гц\ |
6 = 10~5; т Г г |
= 0 , 1 |
мксек; т д е л = |
16 при |
|||
Т 0 = 1 0 - 2 |
сек; т д е л |
= 20 при |
Г 0 = 10"1 |
сек; |
т д е л |
= 24 при Т0={ |
сек. |
|
К а к |
видно из |
рис. 4-5, логарифмические |
характеристики точ |
|||||
ности имеют вид, |
соответствующий двухчленной ф о р м у л е погреш |
|||||||
ности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 = |
^ |
+ Y s . |
(4-52) |
где |
До — порог |
чувствительно |
|||
сти; |
ys |
— относительная |
по |
||
грешность |
чувствительности; |
||||
х — текущее |
значение |
изме |
|||
ряемой |
величины. |
|
|||
Подставив |
|
в ы р а ж е н и е |
|||
(4-52) |
в (4-50), нетрудно за |
||||
метить, |
что м а к с и м а л ь н о е |
зна |
|||
чение |
точности |
определяется |
|||
соотношением: |
|
|
|||
|
|
Л ш |
а х |
= 1/V.- |
(4-53) |
|
Порог |
чувствительности |
|||
А о — это такое |
значение |
изме |
|||
ряемой величины, при измере
нии которого |
точность равна |
единице, т. е. |
|
A o = |
* U = r |
At |
|
|
1 |
|
.АПО3 |
|
1 |
|
|
120 |
|
|
|
|
110 |
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
SO |
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
70 |
|
|
-1 |
— |
|
|
|
Т/Г/0 сек |
|
60 |
|
/ |
|
|
50 |
|
|
|
|
/\ |
1 |
|
|
|
<Л |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
30\ |
// |
// |
|
|
20 |
Iff-VJ сек |
|||
10 |
// |
// |
г-— т |
> |
|
|
|
I fx |
|
10 Юг 10s |
10* 10s /О6 |
10т 10е |
гц |
|
Н а основании |
предыдущих |
Рис. 4-5. Логарифмические |
характе |
||||||||
р а с с у ж д е н и й в ы р а ж е н и е (4-5) |
|||||||||||
ристики |
точности цифрового |
часто |
|||||||||
м о ж е т быть заменено более |
|||||||||||
|
|
томера |
|
|
|||||||
простым и наглядным . Дейст |
|
|
|
|
|
||||||
вительно, значение порога |
сра |
|
|
|
|
|
|||||
батывания |
Ао=/жо |
находим из |
условия |
Л / = 1 / у г / = 1 |
или |
у т / = 1 . |
|||||
П р о д е л а в несложные преобразования и |
пренебрегая |
с л а г а е м ы м и , |
|||||||||
значительно меньшими единицы, |
получаем |
|
|
|
|||||||
|
|
|
До = |
/,о = |
2 / ( / з Г 0 ) . |
|
|
(4-55) |
|||
Выделив |
в |
в ы р а ж е н и и |
(4-5) |
часть, |
соответствующую отноше |
||||||
нию Ао//ж , д л я |
относительной |
погрешности |
чувствительности |
полу |
|||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
д е л |
Т г |
|
|
|
|
(4-56) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7Уо
