Файл: Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры.pdf

и н т е г р а л ь н ых микросхем) позволяют р е а л и з о в а т ь

высоко

точные

и н а д е ж н ы е цифровые

л и н е а р и з а т о р ы .

Существуют три метода цифровой

л и н е а р и з а ц и и :

1. Использование

специального

функционального

генератора,

который

инвертирует

выходную характеристику

П И П

цифровым

способом.

М е т о д о к а з ы в а е т с я удобен д л я л и н е а р и з а ц и и

ограни­

2. Л и н е а р и з а ц и я выходной характеристики П И П .

П о с л е д н я я

заменяется по участкам отрезками п р я м ы х

(кусочно-линейная ап­

п р о к с и м а ц и я ) , различный наклон которых

реализуется

с помощью

3.

Л и н е а р и з а ц и я кривой ошибок,

п р е д с т а в л я ю щ е й собой

раз ­

ность

м е ж д у линеаризируемой кривой

и ж е л а е м о й линейной

зави ­

неаризации д л я широкого класса

функций.

Н и ж е р а с с м а т р и в а ю т с я

д в а способа реализации

третьего

ме­

тода цифровой

линеаризации .

В

частотных

П И П

и з м е р я е м а я

величина

воспринимается

эле­

ментами

частотозависимой

цепи

автоколебательной системы. Вы ­

х о д н а я частота

П И П о к а з ы в а е т с я

однозначной функцией

измеря ­

емой величины. Эта функция может быть

к а к линейной, т а к и не­

линейной.

Анализируя

в ы р а ж е н и я

д л я

функций,

с в я з ы в а ю щ и х

частоту с

измеряемой

величиной,

д л я

П И П , различных

по прин­

ципу

действия,

м о ж н о сделать вывод,

что большинство из них сво­

д и т с я

к следующему ряду [41]:

1)

/ = f t i

Ух,

5)

І = к х

У

X—m

2)

/ =КХ,

6)

f = k x

y

m — X

3)

/ =

kJX,

7)

f = k r

y

X + m

4)

/ =КіУх,

где f—выходная

частота

П И П ;

X—измеряемая

величина;

ти

ботку результата, чтобы была

воспроизведена функция,

о б р а т н а я

выходной характеристике П И П .

Д л я

выходных

характеристик

П И П

(5-42) м о ж н о

з а п и с а т ь

•обратные

функции:

X

=kf\

5)

X = m + kf\

1)

2)

X

=kf,

6)

X =

m—kp,

(5-43)

X

7)

X =

kf*—m.

3)

=klf,

4)

X

=kff*,

(5-47), дл я коэффициентов

аппроксимирующей

функции

получаем

3 с4 — 1

+ 1

4 б 3 — 1

•ка\

3

( с » - 1 ) ( с + 1 )

4

с 3 — 1

(5-48)

3

с4 — 1

с + 1

3 (с — 1)

2

З ( С 2 - 1 ) (

£ а 2

t

С + 1 )

С учетом (5-46)

м о ж н о получить формулу:

б =

1

a 1 0 ( c 4 - l )

( 2 a o o - a i o ) ( с

3

- ^

Г

5

Гс —

2 ( с — 1)

3 (с — 1)

( с - 1 )

+

а

я 1 0 ( с + 1 ) +

а2

(5-49)

где

6 = а/(/га 2 ), a00 = aQ/(ka2),

aw = aj

(ka).

Втора я

функция

р я д а (5-43)

является

линейной.

Третью и четвертую м о ж н о

представить

так : X = kT;

X =

kTz,

где

T=l/f.

Третья

функция

является линейной

от периода,

а

чет­

дратической

погрешностью

аппроксимации,

определяемым и

выра ­

ж е н и я м и

(5-48) и

(5-49).

П я т а я функция

отличается

от первой только

наличием

началь ­

ного

значения

т,

которое будет

д о б а в л я т ь с я к коэффициенту

а0

в аппроксимирующей

функции. В ы р а ж е н и е

д л я

среднеквадратичен

ской погрешности аппроксимации совпадает с в ы р а ж е н и е м

(5-49).

Совершенно очевидно, что первая и пятая функции при одина­

ковых интервала х

аппроксимации

(при одинаковых

с) будут

иметь

одинаковую

погрешность аппроксимации .

В

шестой и седьмой

функциях

нелинейная с о с т а в л я ю щ а я

совпа­

д а е т с первой функцией. Поэтому

и в ы р а ж е н и я

д л я коэффициен ­

тов аппроксимирующей функции

и погрешности

б совпадаю т с вы­

р а ж е н и я м и

(5-48)

и

(5-49). Отличие

з а к л ю ч а е т с я

только

в том,

что

при

расчете

аппроксимирующей

функции

вместо

коэффици ­

ента

с 0 , определяемого

в ы р а ж е н и е м

(5-48),

необходимо

принимать

коэффициент

ao' = ao — гп. Д л я шестой

функции

такое

утверждени е

не к а ж е т с я

очевидным. О д н а к о м о ж н о показать, что эт а функция

сводится

к

виду седьмой функции,

д л я которой

приведенные

рас ­

с у ж д е н и я очевидны. Шестая функция в числе

импульсов

може т

быть представлена

в виде Nx

= Nm

— Nf.

Если перед измерением в счетчике установить число N, а счет­

чик включить в р е ж и м вычитания, то результат

измерения

примет

вид:

NX

= N + Nf — Nm.

З а д а в

N = 0,

получаем

Nx

= Nf

— Nm,

что

эквивалентно

функции

вида

X = kf2

— т. Если

включить

счетчик

в р е ж и м

суммирования, то

результатом

измерения

будет

число

Nx = Nm — Nf.

Считывая

этот

результат

в

дополнительном

коДб,

получаем

NX

= NC4 + Nj — Nm,

где iV C 4 — объем счетчика.

Изме ­

нив а0

так, чтобы N'm = Nm

+ NC4, м о ж н о

получить

NX = NC4 + Nf —

— NC4

— Nm = Nf — Nm,

что

эквивалентно

седьмой

функции.

Т а к и м

образом, д л я

всех

рассмотренных типичных

выходных

характеристик

частотных преобразователей

с помощью

в ы р а ж е н и й

проксимации

от относительного

интервала аппроксимации,

т. е.

зависимость

б = гр(Аа ), где

Д а = ( Ь —

а)/а

= с—1. Боле е того,

при

одинаковых

относительных

интер­

в а л а х погрешности

аппроксимации

д л я всех преобразователей будут

одинаковы.

Н а рис.

5-11

приведена

г

8, г)

зависимость

8 = t p ( A a ) ,

рассчитан­

10'

ная по в ы р а ж е н и я м

(5-48)

и

(5-49).

К а к

видно

из рис. 5-11,

при

от­

—?— /

носительном

интервале

аппрокси­

TU

/

/

мации,

не

п р е в ы ш а ю щ е м 4%, по­

10'

'

,4

—

грешность аппроксимации не пре­

і '

J

вышает

0,012%.

Следовательно,

при 20% - ной девиации частоты на

/

и

выходе преобразователя, что харак ­

и

терно

д л я

большинства

частотных

10 —t

преобразователей,

достаточно

пяти

интервалов

аппроксимации

выход­

ной

характеристики

преобразова ­

теля.

Пр и

этом

погрешность

ап-

Аа

роксимации

не

превысит

0,012%.

10 0

Пусть

функция,

обратная

выход­

1

2

3

4-5

6

1 8

9

%

ной

характеристике

П И П ,

имеет

вид, приведенный на рис. 5-10

(кри­

Рис.

5-11. Зависимость погрешно­

вая

/ ) ,

а

нелинейность

выходной

сти

от

интервала

аппроксимации

характеристики

описывается

функ­

цией

f = kX2.

Пр и этом частота на

выходе

П И П

может

изменяться

в пределах от /о до fm.

З а д а в ш и с ь

допустимой

погрешностью

аппроксимации,

с

помощью

в ы р а ж е н и й

(5-48)

и

(5-49)

определяем

интервалы

аппроксимации,

внутри

к а ж д о г о

из

которых

з а м е н я е м

реальную

функцию

прямой

вида

(5-44).

Выходная

характеристика

П И П

будет

линейной

(кривая

/ /

на

рис. 5-10),

если

о б р а т н а я

функция

ее имеет вид:

X

'

= a'o + a'ifx>

( 5

- 5 0 )

где

а'о и

а\

определяются в ы р а ж е н и я м и

(5-48)

при

c =

/ i / / 0 .

В

нашем

случае

о б р а т н а я

характеристика

нелинейна. Н а

пер­

вом участке

аппроксимации

эта характеристика описывается урав ­

нением:

Xi — aoi + On/jc, где

Сої и an

определяются в ы р а ж е н и я м и

(5-48)

при

c = fi/f0. Таким

образом,

д л я линеаризаци и выходной