ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.06.2024
Просмотров: 133
Скачиваний: 1
В е л и ч и ны Atz и At/ могут меняться независимо друг от друга
в пределах: At2 — от 0 до Т% a Ati — о т 0 до |
1 / / г о ч = |
T0/kR. |
М а к с и м а л ь н ы е относительные погрешности |
будут |
определяться |
в ы р а ж е н и я м и :
1 / 1 , 1
|
|
|
maxH |
7Vo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2Txf0 |
|
-4 <P |
|
|
|
|
|
6) |
И2И |
|
|
Tr2 |
|
|
|
|
|
Cn1\ |
ИІ i |
f |
|
И2 |
|
|
|
Зп |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Trl |
|
|
|
Тг/ |
|
|
|
|
|
Cn2 |
СШ |
3n |
OB |
|
|
|
|
|
Сброс |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ИІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2-6. |
Структурная |
схема |
(а) и |
Тг2 |
||
временная |
диаграмма |
(б) |
работы |
Сп2 |
||
устройства |
управления |
измерителя |
||||
длительности |
импульсов |
|
||||
(2-17)
•On . 1. .1
1 г.
-t
-t
-t
Т Е І Г -t
И з в ы р а ж е н и й (2-17) видно, что при достаточно большо м зна
чении |
ka |
ПОГреШНОСТИ |
| Уд тах+| = |
| Уд max-| |
|
СОВПЭДаЮТ |
С |
П0ГрЄШ- |
|||||||||||||||
ностью, определяемой |
выражение м |
(2-15), |
т. е. введение |
|
делителя |
||||||||||||||||||
м е ж д у схемой совпадени я СпЗ и счетчи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ком Сч обеспечивает синхронизаци ю им |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
пульсов |
образцово й |
частоты |
с |
измеряе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
мым |
интервалом . |
|
Д л я |
рассмотренного |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
выше |
пример а |
требуется |
пять |
образцо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
вых частот. В этом случа е |
целесообраз |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
но использоват ь один кварцевы й |
генера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
тор, |
настроенный |
на наибольшу ю |
требу |
Рис. |
2-7. |
Структурная |
схе |
||||||||||||||||
ему ю |
частоту, |
и делител и |
|
частоты . |
|
||||||||||||||||||
|
|
ма |
устройства |
управления |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Измерение длительности |
импульсов. |
Как от |
измерителя |
временных |
ин |
|||||||||||||||||
мечалось, единственное |
отличие |
схемы измерителя |
тервалов, |
|
заданных |
двумя |
|||||||||||||||||
длительности |
импульсов |
от схем |
|
измерителей |
пе |
импульсами, |
следующими |
||||||||||||||||
риода |
состоит |
в |
устройстве |
управления. |
|
|
|
|
по |
двум |
цепям |
|
|||||||||||
|
На |
рис. 2-6, а приведена |
схема |
устройства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
управления |
измерителя |
длительности |
импульса, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а на рис. 2-6, б — ее временная |
диаграмма. Эта схема |
близка |
к схеме |
устройства |
|||||||||||||||||||
управления |
измерителя |
периода |
(рис. 2-4). Время преобразования по этой схеме |
||||||||||||||||||||
7"изм = 2 т ^ + Т п , |
где т п |
— длительность |
паузы |
между |
импульсами. |
обусловлен |
|||||||||||||||||
|
Особенностью |
схемы (рис. 2-6) |
является |
наличие |
погрешности, |
||||||||||||||||||
ной |
разностью времен |
включения |
т В К л |
и отключения |
Тотк триггера |
Тг2, |
причем |
||||||||||||||||
в первое входит время прохождения импульса через элементы Cnl и И1. Отно сительная величина этой погрешности
Ті = (т в |
(2-18) |
Измерение временных интервалов, заданных двумя импульсами. Отличием
измерения временного интервала, задаваемого двумя импульсами |
(начала |
и |
||||
конца интервала), следующими по одной цепи, от измерения |
периода |
является |
||||
необходимость синхронизации момента запуска измерителя с |
началом |
измеряе |
||||
мого интервала. |
|
|
|
|
|
|
Для измерения |
временного интервала, задаваемого двумя |
импульсами |
Г н |
и |
||
Г к (начала и конца |
интервала), следующими по двум цепям, |
необходимо |
иметь |
|||
два входа в приборе и, следовательно, два формирователя. |
|
|
|
|
|
|
Схема устройства управления для этого случая приведена на рис. 2-7. |
|
|
||||
Импульс начала |
измеряемого интервала Ти поступает на |
вход |
формирова |
|||
теля Ф1 и далее на вход триггера Тг, переключая его в состояние «1». В ре
зультате схема совпадения Сп оказывается открытой, и импульсы |
образцовой |
||||||||||||||||
частоты от генератора |
ГОЧ |
начинают |
поступать |
на вход делителя частоты |
ДЧ |
||||||||||||
и далее на вход счетчика так, как это описано ранее. Импульс |
конца |
измеряе |
|||||||||||||||
мого интервала |
Тк |
поступает на |
вход формирователя |
Ф2 |
и |
далее |
на |
другой |
|||||||||
вход триггера Тг, возвращая его в исходное |
положение. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
2-3. Измерение |
временных интервалов методом случайных |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
совпадений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Р а с с м о т р е н н ый |
в |
§ |
2-2 |
счетно-импульсный |
метод |
измерения |
|||||||||||
временных интервалов |
|
требует, |
чтобы |
выполнялось |
условие |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Г , » Г 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
(2-19) |
|||
где Тх — измеряемый |
интервал; |
Г 0 |
— образцовый |
или |
квантующий |
||||||||||||
интервал . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В противном |
случае |
вес |
одной |
единицы |
счета |
|
(погрешность |
||||||||||
дискретности) |
о к а ж е т с я столь |
большим, |
что |
измерения |
потеряют |
||||||||||||
всякий смысл. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Известен [15, |
16] метод, |
называемый |
методом |
статистических |
|||||||||||||
испытаний или случайных совпадений, позволяющий |
производить |
||||||||||||||||
измерения временных интервалов при условии, что |
|
ТХ<Т0. |
|
|
|||||||||||||
Пусть имеется периодически повторяющийся временной |
интер |
||||||||||||||||
вал t с постоянным периодом Т. Такой интервал может быть |
из |
||||||||||||||||
мерен методом случайных совпадений, если частота |
|
f=\/T |
гармо |
||||||||||||||
нически не связана с частотой |
/о=1/7о . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Если на схему |
совпадения |
подать |
импульсы |
образцовой |
ча |
||||||||||||
стоты /о и сформированные |
импульсы, |
з а д а ю щ и е |
измеряемый |
вре |
|||||||||||||
менной интервал |
t, |
то |
за N |
периодов |
исследуемого |
сигнала |
по |
||||||||||
явится А импульсов на выходе схемы совпадения. Пр и этом дл я
уяснения |
сути |
метода |
принимаем, |
что |
длительность |
импульсов |
||||||
образцовой |
частоты, |
а |
т а к ж е длительности |
фронтов |
измеряемого |
|||||||
импульса |
и |
времена |
с р а б а т ы в а н и я |
и отпускания |
схемы совпаде |
|||||||
ния пренебрежимо малы . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В течение N |
периодов |
исследуемого |
сигнала |
на |
вход |
схемы |
||||||
совпадения |
поступит |
NTf0 |
импульсов |
образцовой |
частоты. |
|
||||||
Вероятность совпадения измеряемого импульса с импульсом |
||||||||||||
образцовой |
частоты |
равна |
отношению |
t/T. |
Пр и |
достаточно |
боль |
|||||
шом числе опытов, т. е. при большом N, частота появления им пульсов на выходе схемы совпадения будет стремиться к вероят
ности |
совпадения, что позволяет |
записать |
равенство A/(NTf0) |
= |
= t/T. |
Отсюда получаем |
|
|
|
|
t = AI(Nf0) |
= AT0/N. |
|
(2-20) |
С л е д о в а т е л ь н о, дл я того чтобы измерить интервал і, необхо димо подсчитать число импульсов на выходе схемы совпадения А ,
разделить |
это |
число на |
общее |
число |
периодов |
исследуемого |
|||||||||
сигнала N и у м н о ж и т ь на |
образцовый интервал Го. Операции де |
||||||||||||||
ления |
и умножения |
могут |
быть |
сведены |
только |
к установке |
за |
||||||||
пятой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
выводе |
в ы р а ж е н и я |
(2-20) вероятность совпадения изме |
||||||||||||
ряемого и образцового импульсов была |
принята |
равной |
частоте |
||||||||||||
совпадений, |
которая |
на |
самом |
деле |
не |
равна |
|
вероятности. |
Это |
||||||
обстоятельство |
приводит |
к |
появлению |
методической |
погрешности. |
||||||||||
Оценим эту |
погрешность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
В математической статистике очень часто производится |
оценка |
||||||||||||||
неизвестного п а р а м е т р а |
одним |
числом. Т а к а я |
оценка |
называется |
|||||||||||
«точечной» |
[17]. Пр и этом |
появляется |
ошибка в |
определении неиз |
|||||||||||
вестного параметра . Чтобы дать представление о точности и на
дежности |
оценки в математической статистике пользуются поня |
|
тиями доверительный интервал и доверительная |
вероятность. |
|
Пусть |
д л я некоторого неизвестного п а р а м е т р а |
х из опыта по |
лучена несмещенная оценка х. Несмещенность оценки х подразу мевает отсутствие в х систематической ошибки в большую или
меньшую сторону, что может быть записано |
в виде: |
|
|
J H [ j t ] = a , |
(2-21) |
где знак М[ ] означает |
математическое ожидание . |
|
Оценим возможную |
ошибку от замены |
параметра х его оцен |
кой х. Установим некоторую вероятность р таким образом, чтобы
событие с этой |
вероятностью можно было считать практически |
|||
достоверным, и |
найдем такое значение |
е, для которого |
справед |
|
ливо равенство |
|
|
|
|
|
Р(\х—х)\< |
е) = |
р . |
(2-22) |
Тогда диапазон практически возможных значений ошибки, обуслов
ленной заменой |
х на х, составит |
± є . Ошибки, |
превышающие по |
|||
абсолютной величине |
е, будут появляться |
с вероятностью а = 1 — р\ |
||||
которая в силу |
принятого выше |
условия |
очень |
мала . |
||
В ы р а ж е н и е |
(2-22) |
можно |
переписать: |
|
|
|
|
|
Р(х—г |
<х< |
х + е) = р. |
(2-23) |
|
Последнее в ы р а ж е н |
и е |
означает, что |
с |
вероятностью |
р неизвестное |
значение параметра |
х |
укладывается |
в |
интервал |
|
|
|
/ р = ( * - е ; |
х + |
г) |
(2-24) |
Вероятность р называется доверительной вероятностью, а ин тервал / р доверительным интервалом .
Частота совпадения измеряемого импульса с образцовым р в N независимых опытах представляет собой по существу среднее арифметическое н а б л ю д а е м ы х значений величины X, которая
в к а ж д о м отдельном |
опыте принимает значение |
1, если |
совпадение |
||||||
произошло, и 0, если не произошло: |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р = 2 |
Xt/N |
= A/N. |
|
|
(2-25) |
|
Пусть число опытов N достаточно велико, а |
вероятность |
совпа |
|||||||
дений р |
не |
слишком |
велика |
и |
не |
слишком мала . Тогда |
м о ж н о |
||
считать, |
что |
частота |
совпадений |
р |
представляет |
собой |
случайную |
||
величину, функция распределения которой близка к нормальному
закон у распределения . Это допущение |
оказывается |
справедливым |
||||
[18] |
д а ж е при |
не очень больших 'Л/: достаточно, |
чтобы |
величины |
||
Np |
и JV ( 1 — р ) |
были больше четырех. |
Считаем, |
что это |
условие |
|
выполняется . Тогда частоту р м о ж н о |
рассматриват ь |
к а к случай |
||||
ную величину с нормальным законом |
распределения . |
П а р а м е т |
||||
рами этого закона будут. |
|
|
|
|
||
|
|
М[р] = р, |
|
|
|
(2-26) |
|
|
а; = Y~p(\-p)IN. |
|
|
|
(2-27) |
Допустим величина роятность (З и найдем чина р у к л а д ы в а л а с ь
ризвестна. Выберем доверительную ве
такой |
интервал |
(р — єр, р + єр), чтобы вели |
в этот |
интервал |
с вероятностью |
|
|
|
|
Р ( | р - р | < е „ ) |
= р. |
|
|
|
(2-29) |
|||||
Та к |
как величина р |
распределена |
нормально, то |
|
|
|||||||||
|
|
|
Р ( | р - р | < е „ | ) = ф ( ^ > ) |
= |
Р> |
|
(2-28а) |
|||||||
где Фх |
= — 1 = fe~ i , ; 2 dt — |
интеграл |
вероятности. |
|
|
|||||||||
|
|
К2яі> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И з в ы р а ж е н и я |
(2 - 28а) |
получаем |
Є|1 /а- = Ф ( Р ) , |
где |
Ф ( Р ) — |
|||||||||
функция, |
обратная |
интегралу |
вероятности. Отсюда |
имеем |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
г^ = аёФШ. |
|
|
|
|
|
(2-29) |
|||
С учетом |
(2-27) |
в ы р а ж е н и е |
(2-29) |
можно |
переписать: |
|
||||||||
|
|
|
|
^ |
= Ф |
¥ |
) ] |
/ |
^ |
^ - |
|
|
|
(2-30) |
Таким |
образом, |
с вероятностью |
(3 м о ж н о |
у т в е р ж д а т ь , |
что |
|||||||||
|
|
|
\ |
Р - Р \ < Ф Щ ] / Г |
E j |
l f A - |
|
|
|
(2-31) |
||||
Фактически величина р неизвестна. |
О д н а к о в ы р а ж е н и е (2-31) |
|||||||||||||
остается |
справедливым |
независимо |
|
от |
этого. |
Поэтому з а м е н я е м |
||||||||
в в ы р а ж е н и и |
(2-31) |
зна к неравенства |
знако м |
равенства и |
р е ш а е м |
|||||||||
