Файл: Ермолов Р.С. Цифровые частотомеры.pdf

только,

если ХфО,

и,

наоборот, Х = 0, если Хф\.

Для

алгебры

логики

справедливы следующие соотношения:

1) 0 - 0 = 0 ;

4)

0 + 0 = 0;

2)

1 1 = 1;

5)

1 + 1 = 0 + 1 =

(3-1)

3)

1 - 0=

0 1

= 0;

логики — операцию логического умножения. При

выполнении операции логического

умножения со многими

переменными результат,

равный

1, будет только в том

случае, когда первый и

второй, и третий, и все

остальные

сомножители равны 1.

другую важнейшую операцию алгебры логики — операцию

логического

сложения.

При выполнении этой операции со многими переменными

результат,

равный 1,

слагаемых, или

несколько

слагаемых

равны 1.

Эта операция

называется

опера­

цией

«ИЛИ».

Еще одной

важной операцией алгебры логики является

операция отрицания

или

инвертирования. Так,

например,

отрицанием

состояния

или

события X

будет

справедливы теоремы,

описываемые

приведенными

ниже соотношениями:

1)

Х

+

0=

X;

6)

Х-Х=

X;

2)

XI

=

X;

7)

(X)

=

X ;

3)

Х

+

1

=

1;

8)

(X)

=

X;

(3-2)

4)

Х 0 = 0 ;

9)

Х + Х = 1;

5)

Х

+

Х

=

Х;

10)

XX

=

0.

Соотношения 1,

2

и 4 подчиняются правилам обычной алгебры и, по-види­

мому, не вызывают

никаких

сомнений. Соотношения

3, 5 и 6 не подчиняются

пра­

ношением

3,

утверждает, что если к некоторой обобщенной переменной X приба­

вить

1, то

в

результате

получим

1. Эта

теорема имеет большое значение в раз­

личного рода алгебраических преобразованиях. Например, пусть состояние Y

некоторого

логического

элемента

определяется

состояниями

его

входных

пере-

п

менных Хі

в

виде функции У =

У] Х(. Тогда,

если какая-либо переменная Xt = 1,

j=i

Y—\.

то последнее

выражение принимает

вид:

Также

важна и теорема, описываемая соотношением 5 в (3-2).

Действи­

тельно, если,

например,

имеется

функция

Y=Xl

+ XiX2+XiXa

+ XlX2,

то

на

осно­

вании

этой

теоремы она

может

быть упрощена: Y~X1+XiXi

+ X1X3.

В

истинности теоремы, описываемой

соотношением 6, нетрудно убедиться, если

иметь в виду, что переменная

X

может

принимать только

два

несовместимых

значения:

Х~0 или Х = 1 . Следовательно,

от умножения переменной X

на

саму

себя никакого

нового результата

не может

получиться.

3 Р . С. Е р м о л о в

49

этих

теорем

вытекают

из

очевидных

соотношений:

если

Х = 0 ,

то Х=1;

если

Х = 1 ,

то

Г = 0 .

Для многих случаев алгебраических преобразований очень полезными оказы­

ваются теоремы, относящиеся к двум и трем

переменным.

Эти теоремы

могут

быть описаны следующими соотношениями:

1)

XY

=

YX;

7)

X + Y + Z = (

X

+

Y) +

Z = X

+ (Y-\-Z);

)

2)

X

+

Y

=

Y

+

X;

8)

XYZ

=

(XY)

Z =

X

(YZ);

3)

X +

XY

=

X ;

9)

X V + * X Z =

X (У +

2);

(3-3)

4)

X

(X

+

Y)

=

X;

10)

(X +

У) (X

+

Z)

=

X

+

YZ;

5)

(X+Y)Y

=

XY;

11)

X ? ~ = X

+

F ;

6)

XY

+

Y

=

X

+ Y;

12)

X +

Y

=

Х У .

j

Теоремы,

описываемые соотношениями

1, 2,

7

и 8,

утверждают

тот

факт, что

Теорема, описываемая соотношением 3, становится

понятной

после

вынесе­

ния X за скобки с учетом доказанного соотношения

7 + 1 = 1.

В

справедливости

теоремы

4 нетрудно

убедиться, переписав

соотношение 4

в следующем

виде:

X (X + Y) = XX + XY = X + XY = X (У + 1) = Х - 1 = X .

Теорема,

описываемая соотношением 5,

доказывается

аналогично:

(X+Y)Y=

= XY+YY=XY,

так как

YY=0.

Докажем справедливость соотношения 6. Левую часть этого соотношения

можно

записать в

следующем

виде;

XY+Y=XY+Y(X+X),

так

как

Х+Х=1,

или XY+Y=XY+YX+YX.

С учетом

соотношения

5^ из

(3-2)_ можем

записать:

YX=YX

+ YX.

Тогда

XY+Y=X~Y+YX+YX+YX

=

X(Y+Y)+Y{X+X)=X+Y.

(X+Y)(X+Z)=X+XY+XZ+YZ.

Но X+XY = X

и

X+XZ=X.

Следовательно,

(Х+У)

(X+Z)=X+YZ.

Соотношение 11 описывает

операцию «НЕ»

по

отношению

к операции «И»,

ными функциями.

Более обще эта теорема может быть представлена в виде,

предложенном

Шенноном [22]:

Ф ( Х Ь

Х 2 ,

Х 3

, * „ , + , -) = ф ( ^ і . X» Х 3 ,

Х „ , - , + )

(3-4)

структуру, чем требуемую, либо же

использование инверсии

на определенном

этапе синтеза существенно упрощает

функцию, а следовательно,

и ее реализацию.