Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

V.28, No. 9.

14.Мак-Лафферти Дж. X. Перспективные концепции ядерных ра­ кетных двигателей. — «Вопр. ракетн. техн.», 1968, №10, с. 25.

15.McLafferty G. Н. Gas-core nuclear rocket engine technology status. AIAA-paper, N 708, 1970.

16.McLafferty G. H. Absorption of thermal radiation in the tran­ sparent wall of a nuclear light bulb rocket engine. AIAA-paper,

N66—619, 1966.

17.Ватажин А . Б. и др. Магнитогидродинамические течения в ка­

налах. М., «Наука», 1970, с. 672.

18.Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика. М., Физматгиз, 1962, с. 248.

19.Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. Пер. с англ. М., Изд-во

V.12, No. 4, p. 321.

21.Кочин H. E., Кибель И. А., Розе H. В. Теоретическая гидро­ механика. М., Физматгиз, 1963, ч. 1, с. 584; ч. II, с. 728.

22.Бай Ши И. Динамика излучающего газа. Пер. с англ. М., «Мир», 1968, с. 323.

23.Тамм И. Е. Основы теории электричества. М., «Наука», 1966, с. 624.

24. Гиршфельдер Дж. и др. Молекулярная теория газов и жидко­ стей. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1961, с. 929.

25.Buckmaster J. Inviscid Layers in Magneto-hydrodynamics. — Phys. Fluids, 1969, v. 12, No. 6, p. 1173.

26.Uberoy M. S., Parbhaker K. J. Magneto-hydrodynamic Flow Past Axisymmetric Bodies with Aligned Magnetic Field. — Phys.

Fluids, 1969, V. 12. No. 10, p. 2083.

27.Годунов С. K-> Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М., «Наука», 1962, с. 340.

28.Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «На­ ука», 1971, с. 552.

29.Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике. М., «Наука», 1968, с. 592.

30.Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач

математической физики. М., «Наука», 1967, с. 195. 31.15Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой

несжимаемой жидкости. М., «Наука», 1970, с. 288.

32.В сб.: «Вычислительные методы и программирование. Численные методы в газовой динамике». М., МГУ, вып. XI, 1968, с. 224.

33.Моисеенко Б. Д., Рождественский Б. Л. Численное решение

стационарных уравнений гидродинамики при наличии танген­ циальных разрывов. — «Выч. матем. и матем. физ.», 1970, т. 10, № 2, с. 499.

34.Моисеенко Б. Д., Рождественский Б. Л. Ортогональная про­ гонка и ее применение к расчету гидродинамических течений с? тангенциальным разрывом. М., Изд-во Ин-та прикладной матем., 1970, вып. 47, с. 35.

35.Пасконов В. М. Разностные схемы на самоорганизующемся мно­ жестве расчетных точек в двумерных односвязных областях

226

36.Минусинский Я. Операторное исчисление. Пер. с англ. М., Изд-во иностр. лит., 1956, с. 366.

37.Преображенский С. С., Чиненков И. А. Экспериментальное исследование влияния продольного магнитного поля на турбу­

лентные струи проводящей жидкости. — «Магнитная гидроди­ намика», 1970, № 2, с. 65.

38.Стеклов В. А. Основы теории интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М. — Л., 1927.

8*

ПРИЛОЖ ЕНИЕ 1

О переходе от многомерных уравнений

кодномерным

Втом случае, когда физически оправдан переход от многомер­ ного описания процессов к одномерному (осреднение), возникает

вопрос о способе получения одномерной математической модели. В § 2 уже отмечалось, что такую математическую модель можно получить либо феноменологически, либо формально и что формаль­ ный путь имеет преимущество в том отношении, что позволяет про­ следить связь вводимых средних величин с локальными величина­ ми, входящими в исходную многомерную модель. Кроме того, в сложных случаях, когда феноменологическое описание может ока­ заться затруднительным, формальный путь более надежен. К этому случаю можно отнести, например, описание процессов в газофазном реакторе, когда граница между делящимся веществом и рабочим

телом подвижная.

Рассмотрим формальный способ осреднения в самом общем слу­ чае. От общего случая затем легко будет перейти к частным (сос­ редоточенное, одномерное или двумерное описание), для чего не­ обходимо соответствующим образом выбрать объем, по которому проводится осреднение.

Пусть движение некоторой гидравлической (газовой) среды за­ дано определенной трехмерной системой дифференциальных урав­ нений (для определенности пусть эта система записана в системе координат, движущейся с частицами среды). Пусть относительно этой среды произвольно движется некоторый произвольный объем Q (границы объема могут произвольно деформироваться и пересе­ каться частицами среды). Поставим вопрос о переходе от локального трехмерного описания с помощью исходной системы дифференциаль­ ных уравнений к осредненному по Q описанию с помощью соответ­ ствующей системы дифференциальных уравнений.

Первым шагом при решении этой задачи является интегриро­ вание левой и правой частей каждого уравнения системы дифферен­ циальных уравнений по рассматриваемому объему Q. Поскольку исходные уравнения для движущихся сред содержат субстанцио­

J (d&/dt)dQ. Одна из основных трудностей при формальном переходе

Q

2 2 8

к осредненному описанию связана именно с этими членами. Для перехода к осредненному описанию их необходимо представить в бо­ лее удобной для осреднения форме. Для этого воспользуемся выра­ жением

Q

связанного с объемом Q. Это выражение получается в рассматри­ ваемом случае произвольного движения объема Q аналогично тому, как это делается в [1] для более простого случая. В случае, когда все участки границы объема Q неподвижны, в выражении (П.1.1) производную D/dt нужно заменить производной d/dt. В выражении (П.1.1) V — вектор поля скоростей гидравлической среды; S0 — площадь поверхности объема Q; W — вектор скорости среды от­ носительно границы объема Q (W = V — Vs , где Vs — вектор ско­

рости границы объема Q). Выражение (П.1.1) позволяет выразить члены типа j (da./dt) dQ через более удобные для осреднения члены

Q

D ja dQ/dt.

Q

После этого следующий шаг перехода к осредненному описа­ нию — введение соответствующих средних величин, осуществляе­ мое в каждом конкретном случае по-разному. К сожалению, при осреднении далеко не всегда удается получить непротиворечивую осредненную систему уравнений в том смысле, что осреднение одной и той же величины во всех уравнениях производится одинаково. Однако в некоторых случаях возникающая при этом погрешность

незначительна. Так, если (X/Y л) (öl/S/dz)< l (S — сечение кана­

ла теплоносителя) и параметры распределены по сечению достаточно равномерно (вследствие турбулизации потока или других причин), то осредненное описание связано с незначительной погрешностью [2]. Заметим, что указанные условия в каналах твэла рассматриваемых типов двигателей выполняются хорошо.

Перейдем к конкретному получению одномерных систем урав­ нений для процессов в теплоносителе и твэле для двигателей с твер­ дым и газообразным делящимся веществом. Для получения одно­ мерного описания в качестве объема Q необходимо брать в соответ­ ствующей движущейся среде элементарный объем, вырезаемый дву­ мя плоскостями, перпендикулярными оси твэла и отстоящими друг от друга на расстоянии dz. Таким образом, Q --- S dz, где S — пло­ щадь сечения соответствующей среды. При этом границы получен­ ного объема могут считаться либо скрепленными с движущимися частицами среды, либо неподвижными, что влияет на ход преобра­ зований, не влияя на конечный результат. Легко видеть, что рас­ сматриваемое осреднение равносильно осреднению по сечению S.

В случае двигателя с твердым делящимся веществом за исход­ ную возьмем систему уравнений (2.13). Интегрируя левую и правую части уравнений теплоносителя этой системы по объему Q — 5 dz и уравнений твэла — по объему QT = ST dz, преобразовывая затем

229

полученные уравнения теплоносителя с помощью формулы (П.1.1) и вводя с помощью соотношений

Pep Sdz = j pdQ; Ѵср рср Sdz = j pVdQ;

следующую одномерную систему уравнений (индекс осреднения опускаем):

выразить через введенные средние величины. Физический смысл этих членов можно выяснить, преобразовав их с помощью формулы Остроградского — Гаусса. Выражение FBязк dz дает силу вязкого трения на поверхности элемента Q = S dz; далее, qdz и qTdz равны количеству тепла, поступающего вследствие теплопроводности со­

2 3 0