Файл: Динамика и управление ядерным ракетным двигателем [Текст] 1974. - 253 с.pdf

ответственно в элемент Q для теплоносителя и в элемент QT для твэла. В дальнейшем в силу малости мы будем пренебрегать коли­ чеством тепла, передаваемого в твэле и теплоносителе посредством теплопроводности в продольном направлении, а также количеством тепла, отдаваемым от твэла окружающим его с внешней стороны элементам. В соответствии с этим q = —qт.

Поскольку члены FBHaK, Ч= — ?т не удается выразить путем формального преобразования через введенные выше средние вели­ чины, воспользуемся общепринятыми при одномерном описании

приведенный коэффициент трения; П — периметр смачивания твэла теплоносителем; а — коэффициент теплоотдачи. Подставляя дан­ ные выражения в систему (П.1.2), получаем полную одномерную систему уравнений, описывающую процессы в твэле и теплоносите­ ле для двигателя с твердым делящимся веществом. Эта система (2.14) приведена в § 2 гл. 2.

В случае двигателя с газообразным делящимся веществом за исходную при осреднении берется система уравнений, получаю­ щаяся упрощением уравнений (5.33) — (5.50). Ниже для конкрет­ ности будем рассматривать струйный газофазный твэл с низкоско­ ростной струей теплоносителя между струями делящегося вещества и высокоскоростного основного теплоносителя, а магнитное поле будем считать цилиндрическим. Осреднение будем проводить в каж­ дой из струй. В итоге получим математическую модель, характери­ зующуюся одномерной распределенностью параметров в продоль­ ном направлении твэла и дискретной распределенностью парамет­ ров в радиальном направлении.

Интегрируя левую и правую части каждого уравнения исход­ ной системы по элементарному объему Q — S dz, преобразовывая полученные уравнения с помощью формулы (П.1.1) и вводя, ана­ логично тому как это сделано выше для двигателя с твердым деля­ щимся веществом, соответствующие 'средние величины, получаем следующую одномерную систему уравнений (индекс осреднения

<3

в единицу времени в объем Q = Sdz вследствие излучения и тепло­ проводности. Первое уравнение введено для пополнения системы.

Если написать для каждой из трех струн (делящееся вещество, низкоскоростная и основная струи теплоносителя) систему уравне­ ний (П.1.3), то полученная общая система уравнений оказывается незамкнутой. Это связано, во-первых, с тем, что в силу круговой

23]

симметрии параметров в твэле при осреднении по Q — Sdz исчеза­ ет уравнение движения в радиальном направлении. В рассматри­ ваемом же случае, когда границы между струями подвижны (сле­ довательно, S — переменная величина), для описания процессов необходимо наличие такого уравнения. Во-вторых, неполнота сис­ темы связана с тем, что член qu не выражен через введенные средние величины.

Анализ показывает, что для пополнения общей системы урав­ нений газофазного твэла необходимо дописать два осредненных урав­ нения движения по оси г (для каждой пары соседних струй), три ос­ редненных уравнения, дающие соотношение между V — Vcp z и Вср г в каждой струе, и одно уравнение, отражающее тот факт, что сумма площадей сечений трех струй равна S2 — площади сечения

ар2 Vr Hz = —âpldr.

Интегрируя это уравнение по г в пределах каждой струи, вводя соответствующие средние величины и складывая полученные таким путем уравнения для каждой пары соседних струй, после некоторых преобразований получим недостающие осредненные уравнения дви­ жения. Например, для делящегося вещества и низкоскоростного теплоносителя получаем (индексы осреднения опускаем):

Аналогичное уравнение получается для низкоскоростной и основной

(индекс осреднения опускаем), например, для делящегося вещества:

232

Здесь индексы I и 2 относятся соответственно к делящемуся веществу и низкоскоростному теплоносителю.

образований <7и этого сделать не удается, для делящегося вещества

была осуществлена соответствующая аппроксимация qm функцией от средних температур соседних струй. Эта аппроксимация основана на анализе решений двумерных стационарных задач, полученных

=dz; Тср — средняя температура обеих струй теплоносителя

(низкоскоростного и основного). Коэффициенты %, п, ш зависят от типа делящегося вещества и теплоносителя и могут быть опреде­ лены по результатам двумерных стационарных расчетов. Прием­ лемые результаты дает также выражение

< ? щ — x S g o K Т \ ,

где х = х (Тг) может быть определена по результатам двумерных стационарных расчетов. Для низкоскоростной и основной струй теплоносителя выражения для членов q^ могут быть получены ана­ логичным образом.

После введения дополнительных уравнений и выражений для qa получаем полную систему уравнений, описывающих процессы в газофазном твэле. Эта система (5.53) приведена в § 18 (гл. 5).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Кочин Н. Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчис­ ления. М., «Наука», 1965, с. 256.

2.Широков М. Ф. Физические основы газодинамики. М., Физмат-

гиз, 1958, с. 135.

3.Там же, с. 141.

4.Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М., Физматгиз, 1959.

5.Абрамович Г. Н. Прикладная газовая динамика. М., «Наука», 1969, с. 35, 72.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Оценка влияния эффекта накопления массы на процессы передачи тепла

В основном материале книги при отыскании передаточных функ­ ций звеньев ЯРД мы пренебрегали членами с производными по t в уравнениях динамики теплоносителя (см. § 3). В данном приложе­ нии для получения качественного представления о характере эф­ фектов, вносимых собственной динамикой теплоносителя, проводит­

2 3 3

ся исследование асимптотических свойств идеального газового потока при стремлении к нулю его числа Маха.

1.Рассмотрим одномерный поток газа постоянного сечения без

теплообмена с внешней средой, без внешних силовых воздействий и без потерь на трение. Тогда уравнения динамики потока прини­ мают вид (см. (2.17)):

234

Определитель входящей в (П.2.3) системы из четырех линейных алгебраических уравнений относительно ß, О, я, а равен

Это позволяет составить систему дифференциальных уравнений от­ носительно изображений по Лапласу величин у, т), і (для нулевых условий):

235