Файл: Детали из стеклопластика в судовом машиностроении..pdf

Более высокой симметрией, чем ортогональная, обладают мате­ риалы, у которых все оси, лежащие в одной из плоскостей симметрии, эквивалентны друг другу. Плоскость, проходящая через эти оси, является в этом случае плоскостью изотропии. Такие материалы называются п о п е р е ч н о (трансверсально)-и з о т р о п н ы м и или т р а н с т р о п н ы м и .

Опытные данные позволяют рассматривать все конструкционные материалы в некоторых пределах как упругие и подчиняющиеся закону Гука. Аппроксимация экспериментальных данных законом линейной упругости (законом Гука) приводит при одноосном напря­ женном состоянии для изотропного материала к общеизвестной

где а — нормальное напряжение; е — относительная продольная деформация; Е — модуль упругости, характеризующий упругую деформативность изотропного материала.

При трехосном напряженном состоянии, определяемом тремя главными напряжениями или шестью компонентами тензора напря­ жений в произвольных осях X, у и г, закон Гука принимает вид

Щраг

где р — коэффициент поперечной деформации (Пуассона); G — мо­ дуль сдвига. Здесь составляющие напряжений и деформаций отне­ сены к некоторым декартовым прямоугольным осям координат х, у и г, а упругая деформативность изотропного тела определяется

Для анизотропных тел закон Гука имеет другой вид в связи с тем, что величина деформаций зависит не только от величины действу­ ющих напряжений, но и от направления их действия в мате­ риале.

59

Пусть теперь оси координат х, у и z совпадают с направлениями осей симметрии ортотропного материала. Закон Гука в этом случае может быть представлен вместо (39) следующими формулами:

(41)

Іху

У х у

Уху

lyz

Ууг = ' Gyz

Угх —

которые отличаются от формул (39), в сущности, только тем, что величины характеристик Е, р и G имеют свое значение для каждого направления в материале, что и обозначено соответствующими индек­ сами. Первый индекс у р означает направление действующего напря­ жения, второй — направление деформации. Экспериментально уста­ новлены особенности упругой деформации анизотропных тел, опро­ кидывающие обычные представления. Так, для простого одноосного растяжения в направлении произвольно расположенной оси х' в анизотропном материале получим

упругости, модуль сдвига и коэффициент поперечной деформации материала в соответствующих направлениях, причем первый индекс при коэффициентах р и здесь означает направление напряжения,

чину угловой деформации (сдвига) при действии одних только нор­ мальных напряжений. Обобщенный закон Гука для общего случая произвольной ориентации осей в анизотропном материале приведен, например, в [5].

60

Как следует из формул (42), в анизотропных материалах нормаль­ ные напряжения, действующие в произвольном направлении, вы­ зывают не только продольные, но и угловые деформации, а каса­ тельные напряжения в свою очередь могут быть причиной не только угловых, но и продольных деформаций. Таким образом, отсутствие изменения угла между двумя взаимно перпендикулярными площад­ ками еще не означает отсутствия касательных напряжений на этих площадках, т. е. направление главных деформаций в анизотропных материалах не совпадает с направлением главных напряжений. Оси эллипсоида деформаций только в том случае совпадают с осями эллипсоида напряжений в ортотропном материале, если главные

например в случае гидростатического давления, при котором ох = =' оу = ог = о, а тху = хуг = %гх = 0. Если тело изотропно, то и упругие деформации при этом напряженном состоянии будут одинаковыми во всех направлениях (упругое уменьшение объема при неизменной форме тела). В анизотропном теле, подвергнутом всестороннему сжатию или растяжению, изменение размеров в раз­ ных направлениях не будет одинаковым, поэтому форма тела изме­ нится.

Закон Гука или закон линейной упругости для анизотропного

относительная деформация; oik — напряжения; сіЫт — упругие по­ стоянные, характеризующие материал и определяемые эксперимен­ тально.

Предполагается, что в формуле (43) производится суммирование по индексам, встречающимся дважды в правой части формулы, т. е. по индексам і и k. Знак суммирования в сокращенной записи

£=1 k = l

Вобщем случае ацизотропии (без элементов симметрии) материала или в случае ортотропного материала, если напряжения действуют не по главным осям анизотропии, тензор упругих постоянных со­ держит 21 компоненту. В исходных (главных) осях симметрии отлич­

ными от нуля для ортотропного материала могут быть только те компоненты, у которых индексы по крайней мере равны попарно, т. е. всего 9 компонент.

61

Т а б л и ц а 7

Технические упругие постоянные в осях симметрии ортотропного материала

В табл. 7 выписаны 12 компонент тензора упругих постоянных ортотропного материала в главных осях анизотропии х, у и г. Здесь обязательны три соотношения:

с учетом которых число независимых постоянных в табл. 7 остается равным девяти. Связь между цифровым (тензорным) и буквенным (техническим) обозначениями упругих постоянных в главных осях анизотропии ортотропного материала имеет следующий вид:

62

где E — модуль упругости при растяжении или сжатии в направлен нии оси, указанной в индексе; G — модуль сдвига при действии касательных напряжений по площадкам, параллельным одной и перпендикулярным другой из осей, указанных в индексе; р — коэффициент поперечной деформации. Первые шесть равенств (45) можно коротко записать в таком виде:

В табл. 8 упругие постоянные ортотропного материала пред­ ставлены в другом виде, не содержащем коэффициентов поперечной деформации р. Здесь индексы у скобок означают плоскость симме­ трии, к которой относятся величины, стоящие в скобках. Индексы у обозначений модуля упругости Е и модуля сдвига G указывают на ориентацию соответствующего направления в плоскости симметрии. Ориентация связана с величиной угла а = 0, 90 или 45°, который отсчитывается от направления одной из осей симметрии (х, у или г). Так, модули упругости Е 0, Ем и Еіъ определяются для направлений, составляющих с осью наибольшей жесткости в данной плоскости симметрии углы а, равные соответственно 0, 90 и 45°. Модуль сдвига G0соответствует случаю изменения прямого угла между осями симметрии, а G45 — между диагональными направлениями, лежащими в той же плоскости (см. также далее формулы (47)).

Полный комплекс характеристик упругости ортотропного материала состоит из 9 независимых друг от друга величин (упругих постоянных), подлежащих экспериментальному определе­ нию. Эти величины перечислены в формулах (45) и в табл. 7 и 8. Зная девять величин упругих постоянных в главных осях симметрии ортотропного материала, можно вычислить величину любой постоян­ ной для произвольного направления, что необходимо при определе­ нии деформаций в том случае, когда направление действующих на­ пряжений не совпадает с направлением осей симметрии. Обычно для этого случая даются формулы пересчета, содержащие одновре­ менно различные упругие постоянные. Для общего случая соответ­ ствующие формулы приведены, например, в работах [5, 28].

В главе III приведены поверхности, построенные по этим форму­ лам (с применением ЭВМ) и изображающие изменение величин Е, G и р в зависимости от направлений в анизотропных стеклопластиках.

Следует отметить, что коэффициенты концентрации напряжений в стеклопластиках сильно зависят от анизотропии упругих свойств и от ориентации действующих усилий по отношению к главным осям анизотропии. Теоретические коэффициенты концентрации при некоторой ориентации действующих усилий получаются значи­ тельно более высокими, чем для изотропных материалов.

Одним из возможных способов снижения концентрации напря­ жений около отверстий и надрезов является уменьшение степени упругой анизотропии материала вблизи очага концентрации. Поверх­ ности анизотропии модулей упругости несут информацию, необхо-

63