Файл: Детали из стеклопластика в судовом машиностроении..pdf

Экспериментальные данные по анизотропии прочности при на­ пряженных состояниях— одноосных и чистого сдвига — хорошо ап­ проксимируются формулами преобразования компонент тензора чет­ вертого ранга при повороте осей координат. Эти формулы, назы­ ваемые тензориальными, отвечают экспериментальным 'данным для широкого класса материалов. Тензориальные формулы для плос­ кой задачи имеют вид (см. формулы (47)):

Благодаря своей относительной простоте формулы (57) и (58) нашли широкое практическое применение. Формула (57) была получена А. Л. Рабиновичем в 1946 г. исходя из деформационных допущений.

Для изотропных тел условие прочности при сложных напряжен­ ных состояниях обычно выражается уравнением, связывающим ве­ личину трех главных напряжений с одной характеристикой проч­ ности материала. Для анизотропных тел такое уравнение не решает задачи, так как опасное состояние зависит не только от величины главных напряжений, но и от их ориентировки по отношению к осям симметрии материала. Поэтому уравнение равноопасных напряжен­ ных состояний для ортотропных тел должно содержать не три, а шесть величин, например три главных напряжения и три направ­ ляющих косинуса, фиксирующих их ориентировку по отношению к трем осям симметрии материала.

Условие прочности при сложных напряженных состояниях для ортотропных тел получает более простой и более симметричный вид, если в него входят не главные напряжения, а напряжения, дей­ ствующие по площадкам, перпендикулярным к осям симметрии материала х, у uz. Характеристики прочности при этом определяются в осях симметрии материала. Экспериментальному определению подлежит весь тот комплекс характеристик прочности, который входит в уравнение равноопасных состояний.

Если три главных напряжения произвольно ориентированы по отношению к трем осям симметрии ортотропного материала х, у и z, то по известным формулам сопротивления материалов можно легко вычислить величину напряжений, действующих по площадкам, перпендикулярным к осям симметрии, так же как и в случае произ-

70

вольной ориентировки этих площадок. Обозначения таких напря­ жений с буквенными и цифровыми индексами приведены в табл. 10. Обозначения с цифровыми индексами более удобны для сокращения записи формул. Под цифрой 1 здесь, как и ранее, подразумевается ось X , под цифрой 2 — ось у и под цифрой 3 — ось г. Например, напряжения, обозначенные буквой ах или а и ,— это нормальные напряжения, действующие по площадке, перпендикулярной первой оси симметрии материала х. При сокращенной записи касательные напряжения обозначаются буквой аік, у которой индексы і и k принимают последовательно значения 1, 2, 3.

Напряжения, обозначение которых приведено в табл. 10, обра­ зуют следующие суммы, не изменяющие своей величины при пово­ роте осей координат и поэтому называемые инвариантами:

В этих формулах сначала дана сокращенная запись инвариантных

сумм У{а) и Л а), а затем — подробная. В сокращенной записи сле­ дует придать индексам г и k последовательно значения 1, 2 и 3 и просуммировать по этим индексам. Величины 8ік следует принять равными единице, если і = k, и равными нулю, если і ф k.

На рис. 28 показано, как действуют напряжения ах, оу и тху при одноосном напряженном состоянии растяжения под углом а к оси X в плоскости симметрии материала ху, заданном главными напряжениями ог (ось х совмещена с направлением преимуществен­ ного армирования).

Функция равноопасных напряженных состояний должна быть инвариантной в том же смысле, что и выражения (59) и (60). При повороте осей координат изменяются величины компонент напря­ жений и величины констант материала, но величина функции изме­ няться не должна.

Все известные предложения по условиям равноопасных предель­

71

матизации экспериментальных данных с последующим представле­ нием их в виде аппроксимирующих функций. Единой, физически строго обоснованной критериальной теории прочности пока не существует даже для гомогенных изотропных металлов. Системати­ зация экспериментальных данных, впервые, в сущности, предло­ женная для этой цели Мором, возможна без изучения физических обстоятельств, порождающих переход материала из одного механи­

рассматриваются только однородные напряженные состояния. В слу­ чае неоднородных напряженных состояний с небольшим градиентом напряжений условие прочности относится к опасной точке тела.

Влияние концентрации напряжений в первом приближении может быть учтено соответствующим коэффициентом запаса. При этом следует помнить, что для анизотропных тел коэффициенты концен­

трации зависят от ориентации напряжений в материале и от соотно­ шения между упругими постоянными.

Графическое представление уравнения предельных состояний называется в дальнейшем поверхностью прочности или поверх­ ностью равноопасных (предельных) напряженных состояний. Урав­ нение поверхности прочности анизотропных тел при сложных на­ пряженных состояниях [5] содержит напряжения во второй и в чет­ вертой степенях. Четвертый порядок полинома не только позволяет

72

лучше аппроксимировать экспериментальные данные, чем второй,* но и отвечает природе явления для сильно анизотропных тел: по­ верхность прочности для сильно анизотропных материалов может содержать как выпуклые, так и вогнутые участки в связи с разным характером опасного состояния на этих участках. Наиболее простые для инженерных расчетов формулы получаются при использовании уравнения четвертого порядка, вытекающего из тензориальных формул.

Многочисленными исследованиями установлено, что величина гидростатического давления мало влияет на сопротивляемость ме­ таллов при статических нагрузках, поэтому классические теории прочности, пластичности и ползучести основываются обычно на допущении об отсутствии влияния шарового тензора напряжений на прочность изотропных материалов.

Для гомогенных полимеров зависимость прочности от шарового тензора напряжений (гидростатического давления) установлена в [1 ]. Причиной существенного влияния гидростатического давления на механические свойства полимеров является относительно низкое значение модуля объемной упругой деформации этих материалов.

Вторым обстоятельством, обусловливающим значительное влия­ ние гидростатического давления на прочность материалов, может явиться их деформационная анизотропия. Форма анизотропных тел изменяется под действием гидростатического давления. Если эти изменения достигают таких величин, что не исчезают при раз­ грузке, то наступает предельное (пластическое) состояние.

Таким образом, известный постулат некоторых классических теорий прочности, в соответствии с которым гидростатическое давле­ ние не может перевести металл в опасное состояние, не подтвер­ ждается для анизотропных неметаллических материалов. Написан­ ное для анизотропных материалов условие равноопасных состояний при предельном переходе к изотропным телам не может и не должно поэтому переходить в известные формулы тех теорий прочности изо­ тропных тел, согласно которым гидростатическое давление не может влиять на их прочность. Предельный переход к изотропным телам может приводить к закономерностям теории прочности Мора, к раз­ личным ее обобщениям или к другим теориям прочности, учитыва­ ющим влияние гидростатического давления (шарового тензора напряжений) на прочность изотропных тел. Инвариантное уравне­ ние прочности при сложных напряженных состояниях, удовлетво­ ряющее всем изложенным выше требованиям и вытекающее из тен­ зориальных формул, имеет в сокращенной тензорной записи сле­ дующий вид [5]:

В развернутом виде критерий (61) представляет полином четвер­ той степени относительно напряжений. Инвариантное уравнение

В работе [39] обсуждается «парадокс» критериев прочности второго порядка.

73