Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf

форм переходного процесса, приведенных на рис 5.1,е,з, к, про­ цесс определяется выражением (5.2), а для форм, приведенных на рис. 5.1, г, и, л, — выражением (5.3). Однако целесообразность применения тех или иных звеньев не связана с формой переход­ ного устойчивого или неустойчивого процесса. Использование звеньев с неустойчивой переходной формой процесса в сочетании с другими звеньями часто улучшает некоторые характеристики системы в целом.

5.2.УСТОЙЧИВОСТЬ ПРОСТЕЙШИХ СИСТЕМ

5.2.1.Устойчивость апериодических звеньев

Ряд чувствительных элементов авиационных систем автома­ тического регулирования (дилатометрический термометр и др.), усилительных элементов (магнитный усилитель и др.) и т. д. яв­ ляются апериодическими звеньями. Апериодическое звено описы­ вается уравнением первого порядка (см. разд. 3.6.4) в оператор­ ной форме:

или в функции времени (см. рис. 5.1, в):

4

пользуясь порядком вычислений, приведенным в разд. 1.4, имеем:

при входном воздействии (5.7) переходный процесс монотонно устремляется с постоянной времени Тi к своему конечному зна­ чению хвх0/еа, а при входном воздействии (5.8) — к х Вы Х = 0. Для апериодического звена условие устойчивости наглядно вытекает из решения уравнения (5.5), т. е. из (5.6) или (5.9).

Однако с ростом сложности систем наглядность исчезает. В этих случаях необходимы косвенные способы и методы опре­ деления устойчивости систем.

110

А. М. Ляпуновым был предложен метод определения устой­ чивости систем по знакам корней характеристического уравне­ ния системы (5.2).

Покажем это на простейших примерах апериодического зве­ на. Из выражения (5.5) можно найти характеристическое урав­ нение апериодического звена, которое будет иметь вид:

7'iS+ 1 =0.

Решением характеристического уравнения является корень s \= — 1/ T i= — a t.

Так как число корней (или число решений) соответствует поряд­ ку уравнения, то для данного апериодического звена имеем один отрицательный корень —а. Следовательно, отрицательные корни свидетельствуют об устойчивости системы.

Возьмем в качестве второго примера апериодическое звено со следующей передаточной функцией и соответствующей ей пе­ реходной функцией (лгпхО= 0 — й ) :

Переходный процесс такой системы приведен на рис. 5.1, к при соответствующем входном воздействии (а). По виду переходно­ го процесса такие системы неустойчивы, так как стремятся к бес­ конечно большому значению при t-*-оо. Решением характеристи­ ческого уравнения такого звена будет один корень, так как сис­ тема также первого порядка

S l = + 1 / 7 2 = +СС2-

Следовательно, положительные корни характеризуют монотон­ ную неустойчивую форму переходного процесса в системе [см. уравнение (5.3)].

При решении уравнений, порядок которых больше первого, т. е. при составлении сложных структурных схем, может оказать­ ся, что один или несколько корней характеристического уравне­ ния комплексные:

где р — значение корня (дробное или целое) из действительной части подкоренного выражения, т. е. из р2. В этом случае экспо­ ненциальная форма уравнения переходного процесса во времени по аналогии с рассмотренными выше примерами будет, очевид­ но, иметь вид:

1П

Разделяя и обозначая )/— 1 через/, получаем

е±а< e+w<.

Первый сомножитель — это экспоненциальный член выражений (5.6), (5.9) или (5.10), а второй член — .новый. Рассмотрим, что он собой представляет. Преобразуем выражения, используя фор­ мулу Эйлера:

уравнению (5.10) — колебательно-расходящимся. Следователь­ но, присутствие иррациональных корней есть признак наличия в форме переходного процесса колебаний.

5.2.2. Устойчивость интегрирующего звена

Интегрирующее звено является неустойчивым элементом. Пе­ редаточная функция и переходный процесс во времени интегри­ рующего звена имеют вид:

Таким образом, наличие нулевых корней также указывает на не-

Такое апериодическое звено имеет (коэффициент усиления l/knp и постоянную времени, равную 7^= Гиц/йцр.

112

5.2.3. Устойчивость колебательного звена

Ряд чувствительных элементов систем автоматического регу­ лирования авиационных узлов, например, центробежные регуля­ торы числа оборотов двигателя, основу которых составляют центробежные маятники; гироскопические системы; ряд усили­ тельных элементов, например, электромаши.нные усилители ЭМУ и т. д. описываются уравнением колебательного звена. Колеба­ тельное звено, как отмечалось в гл. III, описывается дифферен­ циальным уравнением второго порядка (см. табл. 3.4):

(7|s'’ -(--7\s-|- 1) МВЫХ= ^КМВХ.

При этом характеристическое уравнение имеет вид:

уравнении колебательного звена два, переходный процесс в сис­ теме может быть апериодический (такое звено иногда называ­ ется апериодическим звеном второго порядка), апериодическиколебательный с затуханием, апериодически-колебательный рас­ ходящийся и периодический колебательный.

Апериодический характер протекания переходного процесса без колебаний обеспечивается условием 7’1/Г2^ 2 , когда оба кор­ ня отрицательные.

Апериодическое установление с колебательным характером переходного процесса будет при условии Г1/7'2-<2, когда один корень отрицательный, второй — иррациональный.

Чисто колебательный процесс с периодом Т0 = 2пТ2 или час­ тотой ш = 1/Г2 и амплитудой А=/екл:вхо будет при 71 = 0, т. е. когда оба корня иррациональные.

Колебателы-ю-расходящийся процесс будет при условии отри­

Однако колебательный характер в переходном процессе мо­ жет быть и в системе, не содержащей колебательное звено. Так, например, два апериодических звена с коэффициентом усиления /га1 и /га2 и постоянными времени Tai и 7аг и с двумя пропорцио­ нальными звеньями с £пр1 и knpz в обратной связи (рис. 5.3), пре­ образуются в систему с колебаниями, причем описание системы соответствует уравнению колебательного звена. Действительно,

113

схема (см. блоки, ограниченные штриховой линией), содержа­ щая апериодическое звено (Aai; Т;ц), охваченное положительной обратной связью через пропорциональное звено имеет пе­ реходную функцию

fen

Рис. 5.3. К вопросу об устойчивости колебатель­ ного звена

рез пропорциональное звено с knp2 будет иметь следующую пе­ реходную функцию:

k\______ каЧ

-I)/ (*a i ^a2^np2—^ai^npi + 1)- Переходный процесс такой системы второго порядка, как было указано выше, с постоянной времени при s в первой степени, равной нулю (Тi = 0), имеет вид незату­ хающих колебаний с амплитудой A = x Bxkc и частотой 1 /Т с и соответственно периодом ta = 2nTc.

5.2.4. Предварительные выводы по простейшим системам

1. Любое звено (или узел) с неустойчивой формой переход­ ного процесса, например, колебательное с 7’i = 0, интегрирующее, апериодическое с Тi< 0 можно с помощью дополнительных бло­ ков и обратных связей свести к устойчивой системе с апериоди­ ческой формой переходного процесса.

2. В системе, которая содержит звенья с устойчивыми пере­ ходными процессами, при наличии обратных связей могут воз­ никнуть колебания с установившейся амплитудой или с расхо­ дящейся амплитудой, или непрерывный рост параметра во вре­ мени (интегрирующее звено или узел, апериодическое звено с

114

переходного процесса (или с неустойчивой формой переходного процесса) ие может служить основанием считать систему устой­ чивой (или неустойчивой).

4. Определение устойчивости связано с определением знаков корней характеристического уравнения. Так, если все вещест-

Рис. 5.4. Распределение корней характеристического уравнения в комп­ лексной плоскости устойчивых ( а , б ) и неустойчивых (в , г , д ) систем

венные корни и вещественные части -комплексных корней (а) ха­ рактеристического уравнения отрицательны, то линейная систе­ ма автоматического регулирования устойчива.

5. Наличие комплексного корня свидетельствует о присутст­ вии колебаний в переходном процессе. На рис. 5.4 показаны расположения различных корней характеристического уравнения на комплексной плоскости а—/со для устойчивых и неустойчивьш систем.

Все сказанное относится и к более сложным системам, кото­ рые содержат большое количество звеньев (узлов) и описыва­ ются системой уравнений, а следовательно, требуют детального анализа на устойчивость. Однако с ростом порядка уравнения, описывающего переходный процесс в системе, существенно ус­ ложняется и прямой анализ уравнений по передаточным функ­ циям и переходным функциям.

115

5.3. КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Определение корней характеристического уравнения высоких порядков (выше четвертого-пятого) во многих случаях практи­ чески невозможно. Но даже для уравнений невысокого порядка, определив устойчива или неустойчива система, невозможно оце­ нить степень устойчивости, определить путь повышения устойчи­ вости системы и т. д.

В современной теории автоматического регулирования наш­ ли применение косвенные методы исследования устойчивости САР. Эти методы позволяют судить об устойчивости системы, определять степень и запас устойчивости, позволяют выбирать параметры устойчивой системы. В литературе они получили наз­ вание критериев устойчивости (критерии Рауса—Гурвнца, Ми­ хайлова, Найквиста и др.).

5.3.1. Критерий устойчивости Рауса — Гурвица

Один из первых критериев устойчивости — алгебраический — предложили математики Раус в 1877 г. и Гурвиц в 1895 г. неза­ висимо один от другого.

Так как физические свойства системы, в том числе и устой­ чивость, однозначно связаны с математическими условиями ха­

Порядок раскрытия определителя достаточно подробно изла­ гается в любом учебнике по высшей (линейной) алгебре. Ниже приводятся раскрытые неравенства определителей от первого до пятого порядка характеристического уравнения (5.2), соответстствующие условию устойчивости.

1. Линейная система первого порядка определенно устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи­ тельны, т. е.