Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 117

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

2. Линейная система второго порядка определенно устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи­ тельны, т. е.

а2> 0, п.1>0, а0> 0.

(5.16)

3. Линейная система третьего порядка определенно устойчи­ ва, если все коэффициенты характеристического уравнения по­ ложительны и произведение двух средних коэффициентов урав­ нения больше произведения крайних коэффициентов уравнения, т. е.

а.з>0, а2> 0, а ,> 0, а0> 1, а^а2> а 0а3.

(5.17)

4. Линейная система четвертого порядка определенно устой­ чива, если все коэффициенты характеристического уравнения положительны и произведение трех средних коэффициентов aia2a 3 больше суммы ao«32+ a i2a/,, т. е.

а4> 0 , а3> 0, а2> 0, «1>0, а0> 0, a laia3'> a3a 31+ a l2ai,..

(5.18)

5. Линейная система пятого порядка определенно устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения положи­

тельны:

 

а5> 0 , а4> 0, аз> 0, а2> 0, a i> 0 , йо> 0

(5.19)

и выполняются следующие два условия:

 

а3а,±—а2а5>0\

(5.19'а)

(а3а4—агаъ) ( а ^ —а0а3) — ( а ^ —aoa5)z> 0 .

(5.19 б)

Пример 5.1. Определить устойчива или неустойчива замкнутая система, характеристическое уравнение которой имеет вид:

a5s5 + a4s4 + a3s3 -f a2s2 + ats + a0= 0,

где a5= 2 с5, щ = 3 c4, a3= 4 c3, a2= 5 c2, a, = 5 c, a0=5.

Для системы с характеристическим уравнением пятого порядка условием устойчивости Рауса— Гурвица является то, что все коэффициенты положи­

тельны

а ;> 0

(£=>1, 2, 3, 4, 5) и выполняются два условия: 1) A i=a3a.i—

—а2а5> 0 ; 2)

Д2= (а3а4—а2а5) ( a ^ —a0a3) — (а ,^ —а0а5) 2> 0 .

В

данном примере:

а) все коэффициенты положительны;

б) Д [=12— 10= 2> 0;

в)

Д2= (12— 10) (25—20) — (45— 10)2= (2) (5) — (б)2= — 15<0.

Система неустойчива, так как определитель Д2 меньше нуля.

Пример 5.2. Рассмотрим устойчивость регулятора, передаточная функция

которого имеет вид:

ki

W ,( s )

s(l+ s'-T l)

при следующих значениях коэффициента усиления й[=25 с-1 и постоянной времени j=0,01 с. Кроме того, для улучшения устойчивости введено последо­ вательно с регулятором звено с передаточной функцией вида:

W2 (s) =

ко (1 — s T 2)

(1 + s72)

117

при ft2= l .

Необходимо выбрать минимальное значение Г2, при котором систе­

ма будет

устойчива. Передаточная функция замкнутой системы будет равна

k\ko О — Т25)

W c (s) =

s (1 + s2^ ) ( 1

+ ST2) 4 - ftjft2 (1 — Т4s)

 

Раскрывая характеристическое уравнение замкнутой системы по s, полу­

чаем:

 

 

T\T2s4 +

+ T 2s 2 +

(1 — kikoT2) s + ftifto = 0.

Из условия устойчивости Рауса— Гурвнца для системы четвертого поряд­

ка

следует,

что все

коэффициенты

должны

быть положительными,

т. е.

Т\Т2 >

0, Т\ >

0, Го >

0,

(1—kifaTo) >

0, k\ki >

0 и

выполняется неравенство

а аа% +

а\а4 <

а ^ а з ,

т.

е.

+

(1 — кфоТо)2 Т\Тч\

< (1 — к ^ Т о ) Т 2Т\

или

после сокращения и объединения получаем

к^ко

< \(т\—

откУда

при

постановке

всех

заданных

значений получаем

То =

0,015 с. g

 

5.3.2. Критерий устойчивости Михайлова

Вторым способом определения устойчивости является крите­ рий, предложенный в 1938 г. советским ученым А. В. Михайло­ вым. Этот критерий в настоящее время находит широкое приме­ нение при исследовании систем автоматического регулирования. Основным уравнением, которое используется для анализа устой­ чивости, является также характеристическое уравнение (5.2).

Метод Михайлова связан с частотным анализом системы, т. е. при воздействии на нее синусоидального возмущающего воздействия с частотой со. Ввиду того, что при решении характе­ ристического уравнения системы могут быть и иррациональные корни, заменим s на /со, как это сделано в разд. 3.5.3:

а п ( / с о ) + CLn ~\ (/со)

+

. . .

+ fli (/со) + flo = Oi

(5 .2 0 )

где со может принимать значения от

+ о о до — оо;

 

/ — соответствует

у

— 1.

 

Следовательно,

/2= — 1,

/3 =

= ■—I f — 1 = —/, /4=

+1

и т. д.

Кроме того, уравнение

(5.20)

должно обращаться в нуль при

подстановке

в него истинных

корней (решений) уравнения.

Если же при исследований в левую

часть уравнения подставить значение s, не равное одному из его корней Su то равенство нарушится, и уравнение не будет равно нулю, а будет являться некоторой функцией s или при замене s на /со

xPU u>)— a n(Jw)n~\~a n -i(Ji0)n 1 +

ао- (5-21)

При этом, например, уравнение шестой степени примет вид:

(/со) = — а всо6 - f а 6/ш5-j- а 4ш4 —asjw3— а гш - f a j u + а 0.

118

Разделим уравнение (5.21) на две части так, чтобы в одной из них, например первой, были бы только действительные члены (без /), а во второй — члены с j:

VF(/(o)=Re((o) + /Im(o)).

(5.22)

Для того же уравнения шестого порядка получим:

'■F (/«>)=( —йвсо6 -)- й4ш4 —а2о>2-(-д0)-)-у(а6шБ— йдЮ3-)-^^),

где ( —а6со6-(-а4ш4 —a2<u2-(-fl:0)= Re(cD); (аБсо6 —

(ш).

Теперь перейдем к графику с координатными осями: абс­ цисса — вещественная ось Re (со), ордината — мнимая ось уТгп(со).

1т(й>) м

 

 

 

 

 

 

 

--------\Н

/N

Рис. 5.5. Изображение точки

 

 

М ц Ш /

 

 

 

V *

 

N в декартовых (прямо­

 

 

/

 

угольных)

( а ) и полярных

 

------А____.

 

 

(б )

координатах

 

J

l

 

 

 

 

 

Re(ai)

 

 

 

 

 

 

 

а)

б)

 

 

 

 

 

Некоторую точку N на графике двух переменных

молено по­

строить в декартовых или полярных координатах.

 

В декартовых координатах точку N определяют

одно значе­

ние одной переменной ReJV(coJv)

и одно,

ей соответствующее зна­

чение второй переменной ВплДсол’)

(рис. 5.5, а).

 

Точку N можно определить другим способом, используя угол

i|jjv(cojv)

и длину отрезка Mjv(cojv),

который начинается из угла

c|)jv(cojv).

Э ти составляющие легко определяются из обозначений,

приведенных в (5,22), и равны

 

 

 

 

 

.

^ H = a r c

t g ^

v

^

L ;

M

„ H = ] / R e

R e Л ' ( “ )

Последнее представление точки (или точек) используется в

полярных координатах (см. рис.

5.5, б), а фя(ацу)

и

MN(a N)

соответственно называются фазой и модулем точки,

в которой

со имеет (V-ое значение. Нулевой

угол ф^(<л)=0

соответствует

нулевой частоте, т. е. со = 0.

 

 

 

Задаваясь различными значениями частоты со, можно постро­ ить кривую (рис. 5.6). Полная кривая, построенная при значениях со от 0 до оо, называется годографом Михайлова и об­ ладает рядом интересных свойств.

Линейная система п-го порядка определенно устойчива, если при изменении частоты со от 0 до оо годограф Михайлова обя­ зательно начинается на положительной части вещественной оси,

119

последовательно обходит против движения часовой стрелки п квадрантов и яигде не проходит через начало координат.

На рис. 5.7 приведены годографы Михайлова для устойчивых систем, описываемых уравнениями от первого до пятого поряд­ ка.

Рис. 5.6. Построение годографа по

Рис. 5.7. Годографы Михайлова

точкам при различных значениях

устойчивых систем

(O i

 

Если не выполняется хотя бы один раз одно пз условий, т. е. годограф Михайлова начинается не на положительной части ве­ щественной оси (как это показано для системы пятого порядка на рис. 5.8, а) или нарушена последовательность обхода (см.

Рис. 5.8. Годографы Михайлова неустойчивых систем

рис. 5. 8 ,г), или нарушено направление обхода (б), или годограф проходит не п квадрантов при системе п-го порядка (д, е), или годограф проходит через начало координат хотя бы один раз (в), система будет неустойчивой.

120

Таким образом, по годографу Михайлова легко определить устойчивость системы.

Пример 5.3. По характеристическому уравнению системы автоматического регулирования, которое является уравнением третьего порядка, построены три годографа Михайлова, но с разными тремя значениями одного параметра,

например, Та.

На рис. 5. 9, а приведены эти годографы

(/— для постоянной

времени Г0 = 0,2 с; //— для Г0=1 с;

/// — для Г0 = 3 с).

Необходимо указать

и объяснить,

при каких значениях

Т0 система устойчива.

Рис. 5.9. Иллюстрации к примерам:

а—пример 5.3; б —пример 5.4

Годограф системы, обозначенный цифрой I, т. е.

при Г0= 0 ,2 с указывает

на устойчивость системы,

так

как соблюдаются все

условия. Годограф

при

7о=1 с (обозначен цифрой

II)

находится на границе устойчивости, так

как

кривая годографа прошла два квадранта, а третий квадрант охвачен только координатной осью. Годограф, обозначенный цифрой III, указывает на не­ устойчивость системы, так как охвачены два квадранта.

Пример 5.4. Рассмотрим устойчивость системы, передаточную функцию которой в разомкнутом состоянии можно представить в виде:

где 6= 50 с-1 — общий коэффициент усиления разомкнутой системы, Т\— 0,4 с—

постоянная времени

исполнительного элемента, Г2=0,1 с — постоянная вре­

мени усилительного

элемента.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

s(l -t-Tis) (1 + T2S) +k=TtiT2S3+ (Ti-i-!r2)s2+s-ГА.

Для построения кривой Михайлова определим вещественную и мнимую части функции:

R e(co)= — (Г1 + Г2) со2+ й= —0,5a2+50,

y'Im(co) = —7’|Г2со3+ со= —0,04co3+ m.

121

Смотрите также файлы