Файл: Арховский В.Ф. Основы автоматического регулирования учеб. пособие.pdf

Вычислим Re(co) и Im(co) для ряда значений частоты. Результаты вычис­ лении сведем в таблицу:

По полученным значениям Re (со) и Im(co) можно построить годограф Михайлова [см. рис. 5.9, б (/)]. Годограф проходит два квадранта, а рассмат­ риваемая система описывается уравнением третьего порядка. Кроме того, на­ рушена последовательность обхода: по часовой стрелке. Следовательно, систе­ ма неустойчива.

Пример 5.5. В рассмотренной в примере 5.4 системе заменим усилитель­ ный элемент на более быстродействующий, т. е. с меньшим значением посто­ янной времени 7’2=0,01 с, но с той же формой передаточной функции. Для но­ вого значения вычислим Re (со) и Im(co) и сведем их в таблицу:

номером //. Он проходит по часовой стрелке 3 квадранта. Следовательно, сис­ тема в этом случае уже будет устойчива.

5.3.3. Критерий устойчивости Найквиста

Анализ устойчивости замкнутой системы, т. е. системы с об­ ратной связью, по годографу разомкнутой системы предложил при исследовании радиотехнических усилителей в 1932 г. Найквист. В 1938 г. А. В. Михайлов указал на возможность применения критерия Найквиста для исследования устойчивости систем автоматического регулирования.

Критерий формулируется следующим образом: если разомк­ нутая система устойчива, то она устойчива и в замкнутом состо­ янии при условии, что годограф разомкнутой системы не охва­ тывает точку Re (со) = — 1; 1ш(со)=0.

На рис. 5.10 приведены три годографа устойчивой разомкну­ той системы. Первые два не охватывают точку (Re = — 1; lm = 0), а третий — охватывает. Можно считать годограф полностью замкнутым, если учесть отрезок прямой на вещественной оси от

122

Неустойчивая разомкнутая система, как было показано в разд. 5.2.2 при охвате обратной связью, т. е. при ее замыкании, может стать устойчивой. Однако форма годографа в этих случа-

Рис. 5.10. Годографы Найквиста устойчивой ( а , б ) и неустойчивой (в ) систем

ях столь разнообразна, что трудно определить охватывает или нет годограф точку Re = — 1; lm = 0.

Для этого случая (когда разомкнутая система неустойчива) формулировка критерия устойчивости несколько отличается от. той, которая была приведена для устойчивых разомкнутых сис-

Рис. 5.11. Годографы Найквиста с дополнительной дугой для устойчивых ( а , б , в ) и неустойчивых ( г , д , е ) систем

тем и дается в следующем виде: если разомкнутая система неус­ тойчива, то она устойчива в замкнутом состоянии при условии, что годограф разомкнутой системы, дополненный вспомогатель­ ной дугой, не охватывает точку R e = — 1; lm = 0. Вспомогатель­

123

ная дуга проводится от точки, лежащей на положительной части вещественной оси по часовой стрелке до пересечения с годогра­ фом в последнем квадранте при coj = 0. Причем, если годограф в какой-то части кривой при coj пересекает положительную часть вещественной оси, то эта точка выбирается между со = °° и со = О (пересечение). Если годограф не пересекает положительную часть вещественной оси, то точка выбирается в любом месте по­ ложительной части вещественной оси. Новую точку вспомога­ тельной дуги, выбранную на положительной части вещественной оси, обозначим через со = а>доп. Теперь годограф, дополненный вспомогательной дугой и прямой на вещественной оси от со = °о до со = шДоп полностью подготовлен для определения устойчиво­

система устойчива, а если входит, — то неустойчива.

5.4. ВЫДЕЛЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Устойчивость реальных систем автоматического регулирова­ ния авиационных двигателей зависит от выбора типа чувстви­ тельных элементов, усилительных и преобразующих устройств, от вида исполнительных элементов. Кроме того, устойчивость связана функциональной зависимостью с отдельными парамет­ рами элементов.

Отдельные конструктивные решения или даже тип пружин или амортизирующих жидкостей, масса движущихся частей, раз­ меры соединительных каналов и параметры механических, гид­ равлических, пневматических деталей и радиотехнических эле­ ментов (сопротивлений, конденсаторов, индуктивностей, транзи­ сторов, диодов и т. д.) влияют на вид переходного процесса, а в ряде случаев и на устойчивость системы регулирования. Оконча­ тельному изготовлению элементов регулирования обычно долж­ на предшествовать исследовательская работа по определению таких значений параметров, при которых общая система будет устойчива. Полученные единичные оптимальные значения пара­ метров могут оказаться невыполненными по техническим или технологическим причинам. Поэтому, как правило, определяют не отдельные значения параметров элемента, а область их зна­ чений, при которых система устойчива. Выделение области устой­ чивости в функции параметров системы обычно проводят самым наглядным графическим способом. Однако графический . метод изображения ограничивает число отображаемых переменных до двух и в некоторых случаях до трех. Изображение области ус­ тойчивости в функции числа переменных более четырех практи­ чески невозможно.

124

5.4.1. Определение области устойчивости систем первого и второго порядков

Характеристическое уравнение системы первого порядка име­

но можно построить график в функции трех параметров в изо­ метрии.

5.4.2. Выделение области устойчивости систем методом объединения параметров

Графическое представление области устойчивости системы третьего и более высокого порядка не представляется возмож­ ным. Одним из методов, расширяющих область графического представления, является метод объединения параметров. Систе­ ма автоматического регулирования третьего порядка имеет че­ тыре параметра п3, а2, Щ и а0. Графическое построение области устойчивости методом объединения параметров можно осущест­ вить двумя способами.

1. Первый способ заключается в использовании пятого нера­ венства условия устойчивости Рауса—Гурвица (5.17) для систе­

циях обобщенных параметров q i и q2 можно легко построить об­ ласть устойчивости, используя неравенство <7 i -<<7 2 > вытекающее из основного выражения (5.17). На рис. 5.12 приведена заштри­ хованная область устойчивости обобщенных параметров, ограни­ ченная, с одной стороны, осью абсцисс, так-как условие ао= 0 оп­

125

все члены уравнения на а0, то получим уравнение 3-го порядка с тремя параметрами

y43S3+^42S2+yliS +1 —О,

обусловливает границу устойчивости. На рис. 5.13 приведена за­ штрихованная область устойчивости системы 3-го порядка в параметрах В2 и В и границей которой является уравнение гипер­ болы (В 15 2= 1). Приведенный на рис. 5.13 график области ус­ тойчивости является частью диаграммы, предложенной и постро­ енной русским ученым И. А. Вышнеградским, который в 1874 г. впервые поставил и решил задачу построения области устойчи­ вости по параметрам системы.

126

5.4.3. Определение ряда значений одного параметра устойчивой системы

Рис. 5.14. К определению области значения параметра в устойчи­ вой и неустойчивой системах:

а—семейство годографов; б—форма зависимости значения иссле­ дуемого параметра си от удаленности годографа от точки Re(co) =

делить область значений параметра щ в устойчивой системе. Для характеристического уравнения следующего вида;

ctnsn -j- Gn_jSn *-Ь ... —{— —{—... + a iS + flo— 0

необходимо задать ряд значений параметра а,-. По от значениям ai строится т годографов Найквиста (рис. 5.14, а). Значения параметра я; легко разделить в данном случае на две области, в одной из которых система будет устойчива, а в другой неустой­ чива. Это деление удобно изобразить в виде графика, который приведен на рис. 5.14, б для годографов, изображенных на рис. 5. 14, а. Для построения графика значений а* устойчивой и неус­ тойчивой систем нет необходимости строить полные годографы системы при различных значениях щ (от aimln ДО а{ т а х ) , которые приведены на рисунке с соответствующими цифрами Гь Гг, Г3....... Гп, а целесообразно строить только их части, близко рас­

127