Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.06.2024
Просмотров: 176
Скачиваний: 3
146 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР [Г Л . 3
Вычисляя интеграл и используя выражения для моментов
случайных |
величин, |
получаем |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
п |
|
|
|
|
к |
|
|
___ |
|
|
^ |
= |
2 |
<?« |
~ |
|
2 |
( - 1 У“ |
4 г * . |
(3.64) |
||
|
|
|
к=о |
|
|
г=о |
|
|
|
|||
Для п = 1 |
и |
п = |
2 |
равенство |
(3.64) |
принимает |
вид |
|||||
|
|
- |
|
1 |
, 2 |
= |
|
|
|
|
(3.65) |
|
|
|
4 |
“ |
Т |
+ |
Т |
5» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
ц 2 = |
— + |
— £ 4- — Р |
’ |
|
(3.66) |
|||||
|
|
1 |
|
15 ^ |
15 * |
' |
15 * |
|
|
|||
откуда получаем |
|
|
3 - |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
|
(3.67) |
||
|
|
|
^ ~ |
2 |
11 |
|
2 |
’ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
=о |
|
15 -=■ |
6 — |
1 |
|
(3.68) |
|||
|
|
|
* = |
¥ * > ’! - Т т1 - 8 • |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Находим также |
дисперсию |
|
|
|
|
|
||||||
4 |
= |
i 5- d |
) 2 |
= |
¥ v - | - ( n ) 2- 4 - |
(3.69) |
||||||
Рассматривая скопление галактик как статистиче ский коллектив, измеряя в нем видимые сферичности
галактик и вычисляя ц и ц2, найдем затем при помощи равенств (3.67) и (3.69) среднюю величину и дисперсию квадратов истинных сферичностей.
3 а д а ч а 68. Определить в скоплении галактик функ цию распределения угла между видимым направлением от галактики на центр скопления и видимым направле нием большой оси галактики. Рассмотреть два предполо жения: 1) все ориентации плоскости симметрии галактик равновероятны; 2) все плоскости симметрии галактик
проходят через |
центр скопления. |
Р е ш е н и е . |
Направление видимой большой оси |
галактики есть направление прямой, по которой плоскость симметрии галактики пересекает картинную плоскость (плоскость, перпендикулярную к лучу зрения). Если выполняется предположение 1), то все ориентации види мой большой оси на картинной плоскости равновероят ны и плотность вероятности острого угла между направле
1.37] МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ И ДИСПЕРСИЯ 147
нием на центр скопления и большой осью галактики дает
ся равенством |
|
|
т |
= -§. |
(3.70) |
Пусть теперь выполняется предположение 2). Рассмот рим рис. 14, на котором центр сферы Q совпадает с цент ром скопления галактик. Сфера проведена через галакти ку, находящуюся в точке В. Наблюдатель смотрит в направлении АО, угол между лучом зрения и на правлением из центра ско пления на галактику ра вен г. Картинная плос кость проходит через центр скопления перпендикуляр но к лучу зрения. Боль шие круги, образуемые пе ресечением сферы с плос костью А ОБ и картинной плоскостью, пересекаются
в точке D. В этой точке картинной плоскости наблюда тель видит галактику В. Проходящую через центр скоп ления плоскость симметрии галактики пересекает картин ную плоскость по прямой ОС. Направление ОС есть направление видимой большой оси галактики и, следова
тельно, интересующий нас |
угол р есть угол COD. Из |
сферического треугольника |
BCD находим |
ч * |
<3-7» |
Угол ас есть случайная величина с плотностью вероят ности
Л И = -I • |
(3.72) |
Рассмотрим зависимость между функциями распределе ния случайных векторов (р, i) и (х, г):
Л
g (Р, i) dp di = g1 (x, i) dxdi = — dx sin i di. |
(3.73) |
148 СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТО Р- [ГЛ. 3
Заменяя при помощи (3.71) dx в (3.73) и выполняя интег
рирование по |
i, находим |
|
|
|
2 |
1 |
71/2 |
2 In sin p |
|
Р cos i sin i di |
(3.74) |
|||
я |
cos2 (E |
J cos2 i -f- tg2 P |
Я COS2P |
|
|
|
0 |
|
|
Для того чтобы выяснить, какое |
из предположе |
|||
ний 1) и 2) имеет место в скоплениях |
галактик, |
нужно |
||
сравнивать распределения (3.70) и (3.74) с наблюдае мым распределением. Это часто бывает весьма неудобно, в особенности, если число галактик в скоплении не очень велико.
Есть другая возможность — сравнивать моменты тео ретических распределений с моментами наблюденного распределения в статистическом коллективе. Можно также сравнивать математические ожидания (для каждого рас пределения) какой-нибудь удачно подобранной функции.
Заметим, что в нашей задаче в случае предположения 2) углы р должны ожидаться в среднем меньшими, чем при предположении 1). Поэтому можно рассматривать,
например, математическое ожидание |
cos2 р, тем более, |
||
что оно просто находится. |
|
|
|
В предположении |
1) |
|
|
cos2 р = |
^cos2 |
= |
0,5. |
|
о |
|
|
В предположении 2) |
|
|
|
[271 |
|
|
|
= - 5cos2 |
|
= |
In2^0,693. |
О |
|
|
|
В зависимости от того, какое из чисел, 0,5 и 0,693, ока жется ближе к найденному из наблюдений,
|
й 'П |
| |
c°s2 р = |
2 |
cos2Pi- |
можно судить о предпочтительности гипотез 1) или 2).
§ 39] |
НЕРАВЕНСТВО ШВАРЦА |
149 |
§ 38. Математическое ожидание функции от случайного вектора
Если f (х1, х2, • • •, хп) есть плотность вероятности случайного вектора (Хг, Х 2, ■■., Х п), а Г] (Хг, Х 2, . . .
. . Хп) — некоторая функция от этого случайного век тора, то величина
|
о о |
с о |
с о |
Мг\(Хи Х2, . . Х п) = |
[ |
^ |
$ Ц{х1, х 2, . . . , х п) х |
|
— о о — о о |
— оо |
|
X |
/ (хх, х2, . .., хп) dxx dx2. . . dxn (3.75) |
||
называется математическим ожиданием т] (Хх, Х 2, ■. ., Хп).
Аналогично тому, как это было сделано для случайной величины в § 20, легко доказать, что математическое ожидание суммы функций случайного вектора равно сумме математических ожиданий этих функций, т. е.
М [тц (Хг, Х 2, . . ., Х п) + 1Ъ (Хг, Х2, . . ., Z J ] =
= Мц1 (Хг, Х 2, . . ., Х п) -f- М у]2 (Xi , Х 2, . . ., Х п). (3.76)
Точно так же очевидно, что
М [сц (Хи Х 2, . . ., Х„)] = сМц (Xlt Х 2, . . ., Х п).
(3.77)
Если X t и Х 2 взаимно независимы, то
оооо
М [тц (Хх) г\2(Х2)] = § \ % 0гх) т]2 (х2) /х (жх) U (х2)dx-г dx2 =
— оо — оо
= Мг\г{Хг)Мх\2(Х2). (3.78)
§ 39. Неравенство Шварца
Докажем неравенство
1М (ZxZ2)P < М (Х\)М (X?), |
(3.79) |
называемое неравенством Шварца *).
•) Неравенство Шварца есть не что иное, как известное нера венство Коши — Буняковского, если рассматривать как элементы гильбертова пространства со скалярным произведением
( X t , X f) = M X , X t .
150 |
СЛУЧАЙНЫЙ ВЕКТОР |
[ГЛ. 3 |
|
Допустим сначала, что МХ\ — 0. |
Это означает, что |
Х г с вероятностью 1 принимает значение 0. Тогда и Х гХ 2
свероятностью 1 принимает значение 0 и, следовательно,
М(ХгХ 2) = 0. Таким образом, в рассмотренном частном случае неравенство (3.79) справедливо.
Рассмотрим теперь общий случай M X 2 0. Ка ково бы ни было" произвольное число к, справедливо неравенство
т. |
е. |
|
М (Х2 - |
nXj)2 > 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
МХ\ |
- |
2кМ (Х,Х2) + |
%2МХ\ > |
0. |
(3.80) |
||
в |
Поскольку (3.80) справедливо при любом к, положим |
|||||||
нем |
|
.. _ м (Х,Х2) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
что возможно, |
так как M X\ |
0, и |
после |
приведения |
||||
подобных членов |
получим |
требуемое |
неравенство |
(3.79). |
||||
§ 40. Характеристическая функция суммы случайных величин
Рассмотрим характеристическую функцию суммы двух независимых случайных величин Y = Х х + Х г. Тогда на основании (3.78)
Ме»У = = м {eiix*eitx*) = MeiiX*MeitX\ (3.81)
т. е. характеристическая функция суммы двух независи мых случайных величин равна произведению характери стических функций этих случайных величин.
Этот результат находит важное практическое приме нение в том случае, когда наблюдения дают функцию распределения суммы двух независимых случайных ве личин и функцию распределения одной из них, а требу ется определить функцию распределения второй случай
ной величины. |
69. Видимая величина т , абсолютная |
З а д а ч а |
|
величина Ш и |
модуль расстояния звезды |
р = [5 'lg г — 5, |
(3.82) |