Файл: Агекян Т.А. Теория вероятностей для астрономов и физиков учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 25.06.2024

Просмотров: 170

Скачиваний: 3

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

182

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

[ГЛ. 4

Так

как X; и X j взаимно независимы, то М [(Хг — х 0) х

x ( X j — £о)] = 0, если i Ф /. Следовательно,

 

 

4

(4.24)

Дисперсия выборочного среднего равна дисперсии аргу­ мента статистического коллектива, деленной на п.

Найдем математическое ожидание выборочной дис­ персии

ft

Ма2 = М ± -

S

(Xt -

X)* =

 

 

 

 

 

 

г=1

 

 

 

п

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

 

 

= т-м 2 Г(х4- *0) -

 

4- 2 (х,-- *0)п

 

п

 

i= l

L

 

п

3=0

 

 

 

 

 

 

 

п

 

 

 

= ~ г м [ 2

№

-

xoY - 2 —

2

2 (X, -

х0) (X, -

х0) +

' i= 1

 

 

 

 

г = 1 ; = 1

 

 

 

 

 

 

2 2 (-^i — ^о) {Х} — Xq)

 

 

 

 

 

г = 1

3= 1

 

, ^2,

_

п — 1 с2

 

 

 

 

—

1 г ,2

 

(4.25)

 

 

 

1п ^о —

2о0 -f- <30]

—

п

Таким образом, математическое ожидание дисперсии слу­ чайной выборки меньше дисперсии аргумента статисти­ ческого коллектива. Поэтому дисперсию (4.22) случайной выборки называют смещенной дисперсией и наряду с ней рассматривают величину

П

& =

° а = ТГ^Т 2 № - ^ )2-

(4-26)

для которой согласно (4.25) справедливо равенство

M S 2 - а\.

(4.27)

S2 называется несмещенной выборочной дисперсией. Введем также случайную величину

S 51]

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ

183

математическое ожидание которой

= 4 = 4 (4.29)

'i=l

равно дисперсии выборочного среднего.

Т2 называется приведенной несмещенной выборочной дисперсией, а Т — приведенным несмещенным выбороч­ ным стандартом.

§ 51. Принцип наибольшего правдоподобия. Точечные оценки параметров

На практике функция распределения аргумента (одно­ мерного или многомерного) в статистическом коллективе обычно является неизвестной. Известна лишь случайная выборка из статистического коллектива. Такой случай­ ной выборкой является ряд наблюденных значений ар­ гумента статистического коллектива. Задача состоит в том, чтобы по данным случайной выборки вынести сужде­ ние о распределении аргумента в статистическом коллек­ тиве. При этом возможны два случая.

В первом случае вид функции распределения аргумен­ та в статистическом коллективе известен с точностью до одного или нескольких параметров. Необходимо по дан­ ным случайной выборки произвести оценку неизвестных параметров.

Во втором случае неизвестен сам вид функции распре­ деления аргумента в статистическом коллективе. Необ­ ходимо по случайной выборке произвести проверку ги­ потез о виде функции распределения аргумента в стати­ стическом коллективе.

Сначала рассмотрим первую задачу. Пусть плотность вероятности одномерного аргумента X в статистическом коллективе есть / (х; ах, а2, . . ., ah), где а1: о2, . . ., ak — неизвестные параметры.

Допустим, что получена случайная выборка значений аргумента

184 ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ 1ГЛ. 4

Как отмечалось выше (см. (4.19)), плотность вероятно­ сти, отвечающая данной выборке, равна

L (-^1? -^2» • • м Хп, Uij

 

П

. . ., ft^) ==

/ (-^Ц, &1, б&2, . . .,

 

 

(4.31)

Функция L называется функцией правдоподобия.

Принцип наибольшего правдоподобия состоит в том, что выбираются такие значения параметров аи а2, . . ., ah, при которых функция (4.31) достигает максимума. Эти значения называют точечными оценками параметров

^1» &2, . *•, ак.

Для практического решения задачи вместо L удобно рассматривать In L, и тогда согласно правилу определе­ ния максимума функции многих переменных для нахож­ дения точечных оценок параметров aj нужно решить си­

стему

уравнений

 

 

a In L

_ Y д 1а / (Х У

да-

gfc)

да.

р

;' = 1 , 2 , . . ., к.

?

г = 1

/

(4.32)

 

 

 

§52. Принцип наибольшего правдоподобия

встатистическом коллективе

сдискретным аргументом. Точечные оценки вероятностей

Пусть аргумент статистического коллектива может принимать к значений

хи ж2, . . ., хк.

(4.33)

Соответствующие вероятности равны

TYI.

Ри Рг, • • •, Ph,

(4-34)

К

 

причем Pi =

и

2 j Pi =

 

 

 

i—1

 

 

Допустим теперь, что вероятности (4.34) неизвестны,

но из статистического

коллектива извлечена

случайная

(возвратная,

если

он

ограниченного объема)

выборка,

§ 52]

ТОЧЕЧНЫЕ ОЦЕНКИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

185

давшая

соответствующие частоты

 

 

 

 

к

 

 

 

Щ, П2, ...,Щ

( 2 ni =

П) •

(4-35)

 

 

' г=1

•

 

Нужно определить наиболее вероятные значения (4.34). Вероятность случайной выборки (4.35) равна

L (в1( п2, . .., пк] ри р2, ..., рк) = д1[ noJ”! п] Pi'p? . . . p l k.

(4.36)

Значения рх, р2, . . p h можно рассматривать как пара­ метры распределения статистического коллектива.

Принцип наибольшего правдоподобия для статисти­

ческих

коллективов с дискретным аргументом состоит

в том,

что

выбираются такие значения

параметров

ри р2,

. . ., р к, при которых вероятность случайной вы­

борки (4.33)

максимальна. Вследствие того,

что величины

к

(4.34) должны удовлетворять условию 2 Pi — 1, для Неду­

га чения максимума (4.36) необходимо решить систему урав­

нений

 

к

 

 

 

- g f - f a - T

2

л1 = 0 ,

/ = 1 , 2 , . . . , * ,

(4.37)

L

i=i

J

 

 

где у — неопределенный коэффициент Лагранжа. Выпол­ няя дифференцирование и умножая полученные уравнения

на щ , придем к

системе

уравнений

 

п\

 

п1

п%

• Ркк - - ^ - Ч = 0,

7 = 1, 2, . . . , *.

т\ п<&\... Ti

РгРш

 

 

п}

 

 

г

 

 

 

 

(4.38)

 

 

 

 

 

 

 

Из (4.38)

следует,

что ^ от /

не зависит и, следовательно,

 

 

 

 

Р)

=

cnj,

(4.39)

т. е. согласно принципу наибольшего правдоподобия ве­ роятности р] пропорциональны соответствующим часто­ там выборки.

186

ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

[ГЛ. 4

К

Подставляя (4.39) в равенство ^ й = 1 находим, что

i= l

точечные оценки вероятностей pj нужно принять равными относительным частотам выборки, т. е.

# =

/ = 1, 2, . . к.

(4.40)

Этот результат представляется естественным.

§53. Принцип наибольшего правдоподобия

встатистическом коллективе с нормально распределенным аргументом. Точечные оценки математического ожиданйя

идисперсии аргумента

Статистический коллектив с нормально распределен­ ным аргументом называется нормальным (или нормальной генеральной совокупностью). Он характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием аргумента х 0

и дисперсией аргумента Oq.

 

Пусть получена случайная выборка

 

 

■^1? -^2» • • м

Х п9

(4.41)

ее

выборочное среднее

п

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Х .

(4.42)

и

выборочная дисперсия

2=1

 

 

 

 

 

 

П

 

 

 

 

= 4 - 2

№ -

^ )2-

(4.43)

 

Функция правдоподобия

имеет вид

 

 

In L (х0, а0) = — п In (з0 У 2л) —

П

 

 

2 №

— ж0)2. (4.44)

 

 

 

“ О i= l

 

Находим значение х 0, при котором In L максимален, полагая

д 1ч L

 

п

 

- 4 2

№ - ^ ) = о,

(4.45)

дхо

 

3о

«=г

 

« 54]

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОГО

СРЕДНЕГО

187

поэтому

точечная оценка математического ожидания ар­

гумента

есть

 

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хо = 4 -

2 X, = X,

 

 

 

 

 

i=l

 

 

т. е. равна выборочному среднему значению.

 

Далее,

 

 

 

 

д InL

— — + — у, ( X i - X ) 2= - — + 4 - ° 2 = О,

дзо /

бо

б®

 

60 ~ а?

 

откуда находим

 

 

 

(4.46)

 

 

 

(4.47)

 

 

«о

О 2 ,

 

т. е. выборочная дисперсия есть точечная оценка диспер­ сии нормальной генеральной совокупности.

§54. Распределение выборочного среднего значения

истандарта в выборках из нормальной генеральной совокупности

Плотность вероятности выборки (4.41) из нормальной генеральной совокупности при x t = Х%, i = 1, . . ., п,

равна'

П

/ (Хъ

Х п) =

 

_

2°° i=1

»)■

(а0/ 2я)"пв

. (4.48)

Преобразуем сумму, входящую в показатель экспо­

ненты

(4.48),

 

 

 

 

 

П

 

П

 

 

 

 

2 №

- *о)2 =

2 № -

X) +

(X -

*0)]2 =

 

 

 

 

=

по2 +

п (X — ха)2,

(4.49)

где согласно (4.42) и (4.43) X — среднее значение аргу­ мента, а а — стандарт выборки. Следовательно,

-

( Х - Х о ) 1------- I L - 0‘

 

f(x1, x i, . . . , x n)= е 2а°

2°°

(4.50)

где с = (<з0 V 2л)_п.

Смотрите также файлы